基于Vine Copula的投資組合風險度量和相關結構研究

閆海波，李明明

摘 要：本文選取了滬深300下六個行業指數，分別用C-Vine、D-Vine、R-Vine進行相關結構建模。研究發現：D-Vine結構對相關結構的擬合程度最好，在不斷引入新行業指數后，可以明顯地發現降低其結構的相關性。然后對其投資組合進行風險性度量，VaR經常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產的一致性風險測度和無法捕捉尾部極端風險，故使用CVaR作為投資組合風險的指標。綜上，資產之間的相依結構能起到優化投資組合的效果，在降低投資組合風險的同時增加了回報率。

關鍵詞：Vine Copula;GARCH-EVT;CVaR;投資組合

中圖分類號：F830.59? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）05-0040-05

引言

投資組合問題一直是投資者所關注的問題，隨著金融一體化的進行，市場間的波動相依性逐漸加強。尤其是在全球疫情期間，全球經濟低迷，給投資者帶來了巨大的損失。因此研究投資組合風險和相關結構具有重大的意義。

自從Sklar在1959年引入Copula的概念以來，Copula在金融領域的應用逐漸趨于成熟。鑒于股票市場間的波動相依是非線性和條件相關的事實，學者引入了Vine Copula的圖形化思想來構建資產間的條件相依結構。馬薇、馬會元、鄧夢馨[1]對亞洲國家進行條件相依性結構穩健性分析。林宇、梁州、林子梟、吳慶賀[2]用R-Vine Copula對全球代表性的七只股票進行相依性結構分析。結果表明：在資產的風險和結構性不一的情況下，投資組合可以有效地降低風險，同時也可獲取可觀的收益。吳玉寶、汪金菊[3]用ARFIMA-GARCH-Copula模型對滬深股市的相關結構與投資組合風險度量進行分析。邢可可[4]使用Vine-Copula模型對原油、黃金等六種資產進行相關結構研究和投資組合風險度量。羅華健[5]運用馬爾可夫Copula模型對不同經濟時期的量價關系進行研究。葉五一、郭人榛、繆柏其[6，7]基于R藤Copula分析金磚四國的主要股指與全球指數之間的相依性結構，繼而對各個國家的穩定性和風險傳染進行研究。張幫正、魏宇、余江、李云紅[8]基于EVT，分別C-Vine、D-Vine、R-Vine綜合探討中國不同金融市場之間的凈相關關系。梁州、李昊、林宇[9]用Vine-Copula對全球的七大股指期貨進行相依結構研究，更加準確的測量其投資組合的風險。佘笑荷、王曉芳、楊來科[10]基于藤式Copula對股票、黃金、能源類資產以及美元等六種資產進行資產間的相依性和組合波動風險研究。Han X， Liu Z， Wang S[11]使用R-vine copula方法研究了倫敦金屬交易所有色金屬商品期貨之間的依賴結構，重點比較了結構斷裂前后的依賴結構。楊坤、于文華、馬靜[12]運用Vine Copula和滾動時間窗的蒙特卡羅模擬方法刻畫資產間的相依性和動態風險測度。

通過上述學者對Vine Copula研究的梳理，從中可以發現一些不足部分。許多學者注重對Vine Copula建模的研究，而忽略了對邊緣分布擬合的精確性和尾部風險的捕捉。因為金融時間序列經常出現尖峰厚尾的特征，可能還會出現長期記憶性，故本文使用EVT的廣義帕累托分布來對標準殘差進行擬合。VaR經常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產的一致性風險測度和無法捕捉尾部極端風險，故本文使用CVaR作為投資組合風險的指標。使得本文研究更加具有現實意義。

1 理論部分

1.1 Sklar定理

設H（x1，x2，…，xn）為n維隨機變量x1，x2，x3，…，xn的聯合分布函數，其對應的邊際分布別為F1（x1），? F（x2），…，F（xn），則存在一個函數C（·）滿足：

H（x1，x2，…，xn）=C（F1（x1），F（x2），…，F（xn））

若F1（x1），F（x2），…，F（xn）是連續的，則C是唯一的。否則C僅在Rank（F1）×Rank（F2）…×Rank（Fn）上唯一。

1.2 Vine Copula模型

參數估計Vine Copula模型常用于資產投資組合的相關結構研究。Vine Copula模型是由節點和邊組成的一系列樹的組合，n維的Vine Copula結構含有n-1棵樹和n-1個節點，設n維的Vine Copula的邊集合為Ei，節點集合為Ni，任意邊為e= j（e），k（e）/D（e）∈Ei。其中D（e）表示兩個節點之間的連接條件。k（e）和j（e）分別代表邊e和樹T（i）的兩個節點。cj（e），k（e）/D（e）可以表示邊e的pair-Copula的密度函數，Y={Xi}，i=1，2，…，n，YD（e）表示D（E）的條件向量。Fi和fi分別為Xi的邊際分布和邊緣密度函數，則Y的聯合密度函數可以表示為[1]：

f（y，y，…，y）=■fk（yk）■■cj（e），k（e）/D（e）（F（yj（e）/yD（e）），F（yk（e）/yD（e）））

其中yj（e）/yD（e）和yk（e）/yD（e）為條件分布函數。

1.3 參數估計

本文選用ARMA-GARCH-EVT模型對邊緣分布進行模擬，因為金融數據一般會出現尖峰厚尾的特征，故使用EVT中的廣義帕累托分布對其經驗分布函數進行擬合。估計Vine Copula參數使用全局似然估計方法，其函數表達式如下所示：

■■■ln（c■）（F■

（x■，t），F■（x■，t））

算法步驟如下：

（1）計算資產間的Kendall相關系數，采用最大生成樹的方法確定第一棵樹結構。

（2）先對其進行獨立性檢驗，進而采用獨立的Copula函數擬合數據，然后應用AIC準則為第一棵樹的邊確立Copula函數的類型。

（3）通過第一棵樹的Copula函數運用確定條件觀測值，從而又可以采用最大生成樹算法來確定第二顆樹的結構[7]。

（4）不斷迭代下去直到所有結構及參數確定[7]。

（5）用全局似然估計方法計算模型的最終參數值。

2 實證部分

數據來源：該數據來自wind數據庫中滬深300指數中金融指數、醫療指數，材料指數，能源指數，工業指數，房地產指數六個指數。選取2011年11月16日到2021年11月15日，共5092組數據。

2.1 ARMA-GARCH-EVT的建模

選取2011年11月16日到2019年11月15日的日收盤價數據，先對其日收盤價進行對數收益率計算，然后對其進行單位根檢驗，其ADF檢驗的結果如下：

從上表可以看出，該六組資產都通過了單位根檢驗，說明該序列為平穩序列。

對數收益率進行GARCH模型建模的前提就是要保證該數據具有ARCH效應。經檢驗，該六組數據都具有ARCH效應，在此對這六組數據進行ARMA-GARCH模型的建模，根據AIC，BIC等指標，選取最佳的ARMA-GARCH模型。基于篇幅的原因，我將最后的建模結果列于下表：

對其對數收益率進行ARMA-GARCH模型建模后，提取其標準殘差進行邊概率積分變化，因其分布常常呈現尖峰厚尾的特征，故使用極值理論中的廣義帕累托分布對其經驗分布函數進行擬合，為下一步vine-copula的建模奠定基礎。

2.2 C-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造C-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在C-Vine Copula模型第一層樹中，能源指數（4）處于樹的結點的位置，說明能源指數（4）與其它指數之間的相關性是最大的。可以發現工業指數（2）和能源指數（4），房地產（1）的Kendall相關系數均為-0.01，上下尾部對稱，故它們的連接Clayton copula函數旋轉90度來描述。從第一層樹中可以發現能源指數（4）和醫療指數（5）具有很強的正相關性，當股市處于熊市時，能源指數（4）和醫療指數（5）很大可能性會出現同時下跌，會大大地增加投資的風險。其上下尾部相關系數相同，故可以用t copula函數來進行連接。能源指數（4）和材料指數（6）的Kendall相關系數為負值，則表明能源指數（4）和材料指數（6）進行投資組合降低了整體的風險，使用Frank Copula函數來描述它們的相關結構。

在第二層結構中，引入能源指數（4）的情況下，工業指數（2）、金融指數（3）與材料指數（6）之間的相關結構均用t Copula函數來銜接。可以發現引入能源指數（3）后，整體的風險降低了，尤其醫療指數（5）和材料指數（6）之間更加明顯。從第三層樹到第四層樹中可以發現，隨著新的行業指數的進入，整體的風險逐漸降低。但在第五層樹中，隨著房地產指數（1）和醫療指數（5）的加入，整體風險增加了。這是在于房地產指數（1）和醫療指數（5）與其它指數之間的相關系數為正值，它們的加入，非但沒有降低風險，反而增加了風險。因此在進行投資過程中，盡量避開相關性較強的資產進行組合，這樣才能有效地規避風險。

2.3 D-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造D-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在D-Vine Copula模型第一層樹中，它沒有中心節點，金融指數（3）和材料指數（6）處于樹的邊緣部分，表明金融指數（3）和材料指數（6）與其他四個指數關聯程度不大。據模型可以看出：工業指數（2）和金融指數（3）、能源指數（4）和醫療指數（5）均用t Copula函數進行相關結構研究。在第二層樹中，在引入能源指數（4）的情況下，醫療指數（5）、材料指數（6）和能源指數（4）的投資組合有效地降低整體風險。在引入房地產指數（1）和醫療指數（5）的情況下，房地產指數（1）和能源指數（4）及工業指數（2）和醫療指數（5）均用Clayton copula函數旋轉270度來描述其相關結構。在第二層樹到第五層樹從中可以發現，引入一個新的市場指數之后，都有效地降低了其投資組合的風險。

2.4 R-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造R-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在R-Vine Copula模型第一層樹中，它與D-Vine模型一樣沒有中心節點。醫療指數（5）和材料指數（6）處于樹的邊緣部分，表明醫療指數（5）和材料指數（6）與其他四個指數關聯程度不大。從中可以看出每兩個行業指數之間的Kendall系數都為正值，其意味著當熊市來臨時，任何兩個資產進行投資組合在很大可能面臨同時下跌的危險。從中可以看出工業指數（2）和材料指數（6）、金融指數（3）和房地產指數（1）、能源指數（4）和醫療指數（5）之間均用t Copula函數來描述其相關結構。在第二層帶第五層，可以明顯地看到，隨著資產數量的不斷增加，資產間的Kendall系數逐漸變小，其風險的逐漸變小。

2.5 Vine Copula模型的擬合效果比較

本文使用極大似然估計對Vine Copula模型進行擬合效果比較，結果如下表所示：

從上表可以看出：根據AIC、BIC、對數似然比可以看出，D-Vine模型的擬合程度最好，能相對準確的描述資產組合的相關結構。

2.6 CVaR的度量

VaR經常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產的一致性風險測度和無法捕捉到尾部極端風險，故使用CVaR作為投資組合風險的指標。

從上表可以看出，金融指數屬于低風險產品，而其它五個指數都屬于中高風險產品，當對其進行投資組合時，其明顯降低了投資風險。對于不同的置信水平，假如投資者是一個風險偏好者，可以選擇比較高的置信水平，同時也會面臨比較大的損失。

2.7 Kupeic檢驗

將使用2019年10月25日到2021年11月15日的數據，共500組數據，對CVaR進行回溯檢驗，使用Kupeic檢驗。

從上表可以看出D-Vine模型的擬合效果最好，更能對投資組合風險進行相對準確的刻畫。

3 結論及建議

（1）合理配置資產比例。從Vine Copula結構可以看出，每個資產之間的Kendall系數不一樣的，材料指數的風險較高，可以適量減少其資產投資比例。金融資產的風險較低，可以適當的增加其資產投資比例。這樣可以有效地規避其投資風險。

（2）合理選擇和分散投資風險。從Vine Copula模型的結果可以看出，引入一個新的行業指數之后，整體的風險逐漸降低。但各個資產之間的相關性不同，在進行投資組合時，盡量避免將相關性強的資產進行投資組合。例如工業指數和材料指數之間的相關性很強，在熊市時，會出現同時下跌的可能性，這樣不能分散其投資風險。因此在進行投資時，要選擇相關性較弱或者相關性為負的產品種類，這樣可以有效地規避風險。

（3）重視小概率事件風險。CVaR對不同投資組合的反應更為敏感，也就是在小概率下的風險值。忽視小概率事件會導致嚴重后果，如恒大公司的瀕臨破產等“黑天鵝”事件。因此注重小概率事件是很有必要的。

參考文獻：

〔1〕馬薇，馬會元，鄧夢馨.基于R Vine Copula模型的條件相依結構穩健性研究[J].統計與決策，2021， 37（20）：30-34.

〔2〕林宇，梁州，林子梟，吳慶賀.基于高維R-vine Copula的金融市場投資組合優化研究[J].系統工程理論與實踐，2019，39（12）：3061-3072.

〔3〕吳玉寶，汪金菊.滬深股市的相關結構分析與投資組合風險度量——基于ARFIMA-GARCH -Copula模型[J].運籌與管理，2016，25（02）：220-225.

〔4〕邢可可.基于Vine Copula的投資組合相關結構和風險測度研究[D].安徽財經大學，2021.

〔5〕羅華健.基于Copula金融市場間的相關性及風險預測[D].山東科技大學，2020.

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〔7〕葉五一，郭人榛，繆柏其.基于R藤copula變點模型的金磚四國金融傳染性與穩定性檢驗[J].中國科學技術大學學報，2018，48（08）：655-666.

〔8〕張幫正，魏宇，余江，李云紅.基于EVT-Vine-copula的多市場相關性及投資組合選擇研究[J].管理科學，2014，27（03）：133-144.

〔9〕梁州，李昊，林宇.R-Vine Copula、極值理論與股票市場組合風險測度[J].南方金融，2018，34（07）：28-38.

〔10〕佘笑荷，王曉芳，楊來科.基于極值理論與藤式Copula模型的多市場投資組合選擇[J].統計與決策，2017，37（20）：49-51.

〔11〕Han X， Liu Z， Wang S. A R-Vine Copula Analysis of Non-ferrous Metal Futures with Application in Forecasting Value-at-Risk[J]. SSRN Electronic Journal， 2020.

〔12〕楊坤，于文華，馬靜.基于vine copula的股市風格資產組合風險預警研究[J].武漢金融，2019，25（11）：51-59.