小學數學教學中的數形結合

◎盧 浩 (懷遠縣唐集鎮金輪小學,安徽 蚌埠 233400)

在小學階段，數學是一門以客觀理性思維為要求的學科，因此教師必須在數學課堂上培養學生的數學思維.其中，數形結合思想是少數適合兒童接觸的數學思想之一，數形結合是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種思想方法，數形結合思想也是一種常用的解決問題的思路.在小學數學中充分發揮數形結合思想，可以將數學的抽象部分具體化、形象化，幫助學生建構清晰的直觀概念.然而，在實際教學中，數形結合的應用面臨諸多問題.下面筆者結合自己的教學實踐，談談在小學數學教學中如何應用數形結合思想.

一、數形結合的概述

運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力是中小學生數學能力的基本內容.運算能力離不開數和數量關系，空間想象能力與圖形有關，數與形的對應有利于提升學生的邏輯思維能力.

1.數形結合的內容分類

教材涉及的數形結合內容大致分類如下.(1)數的認識.如：借助數軸、直尺、幾何圖形、統計圖等認識分數、小數，用幾何模型表示計數單位等，用百數表理解數的排列規律等.以數軸為例，數軸是數形結合最基本的載體，學生可結合對數的認識體會數軸上的點與數的對應關系.數軸是數形結合思想方法最基礎的滲透工具.(2)計算算理.如：有余數除法、筆算乘法、分數的加減乘除計算等.(3)運算定律.如：加法乘法運算律、乘法口訣、完全平方和等.(4)認識圖形.如：平面圖形、幾何體周長面積體積的計算公式，面積單位的轉化，多邊形內角和的計算等.(5)函數思想.如：用數對表示平面圖形中點的位置，初步體會數與點的對應關系；利用正反比例關系繪制圖像，理解兩個變量的變化規律與趨勢等.(6)典型問題.如借助線段圖解決問題等，利用圖形描述和分析問題、理解數學問題.利用圖形描述和分析問題的最直接方式是用線段圖或示意圖把抽象的數學問題直觀的地表示出來，使條件與條件、條件與問題的關系等準確地呈現出來.(7)統計圖表.如：條形、折線、扇形統計圖等.(8)探尋規律.尋找數與形的變化規律.如：和的奇偶性、探索圖形、數與形、等比分數求和等.

2.數形結合的內涵界定

數形結合與幾何直觀存在怎樣的關系？兩者之間有重疊、有不同.在涉及的對象方面，幾何直觀的“形”包含數形結合的“形”.幾何直觀是借助圖形展開的思維活動，直觀思維是核心.在應用目標指向上,二者都是分析、解決問題的手段.幾何直觀指向借助圖形展開的思維活動，能使學生理清解決問題的思路.數形結合指向解題結果，有“解題化”傾向.《義務教育數學課程標準(2011年版)》中指出，“幾何直觀”一詞“主要是指利用圖形描述和分析問題”.數形結合一般指數學研究的兩類對象(數和形)之間的關系，數形結合思想是通過數和形之間的對應關系和二者的相互轉化來解決問題的思想方法.人們一般把小學數學里利用圖形(幾何圖形，如線段圖、平面圖形或獨立圖形等)來描述和分析問題的方法稱為幾何直觀，把利用數和形之間的關系(如數軸、數對確定位置或正反比例圖像)來分析和解決問題的方法稱為數形結合.其實，很難說前者不是數形結合，后者不是幾何直觀.

基于以上認識，我們可以將小學數學數形結合內涵界定如下：(1)從廣義層面來說，可將幾何直觀看作數形結合思想的初級階段，看作滲透數形結合思想的嘗試；(2)數形結合研究的基本對象是數與形，教師要用一定的方法把“數”和“形”統整起來，借助“形”理解“數”，運用“數”或“式”準確表達“形”的特征，從而解決問題；(3)數形結合研究的基本方法是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形結合起來進行思考.

3.數形結合教學的價值取向

教師在小學數學課堂中運用數形結合的思想方法進行教學，可以培養學生的數學思維；通過從不同的角度分析問題，培養學生思維的靈活性和獨特性.

二、數形結合思想的應用意義

1.數與形的相互轉化

數形結合思想，顧名思義，就是在解決實際數學問題時將數與形有機結合起來，實現數與形之間的相互轉化.通過數與形的相互印證、相互補充，學生能更加高效、準確地解決一些數學問題.運用這一思想解決代數問題時，教師要將抽象繁雜的數量關系轉換成直觀形象的圖形呈現給學生，使一些數學問題變得更加生動和具體，從而幫助學生實現高效學習.

數形結合的數學思想不僅可以用于將代數問題中的抽象概念具體化，還可以用于量化幾何問題中的空間概念.在解決代數問題時，教師需要有意識地引導學生將數字轉化為圖形，將題干給出的條件具體化.而在幾何問題中，教師應要求學生將圖形與數字(或特定的公式)結合起來，將已知的圖形條件轉化為數字關系.例如，將三角形的周長轉化為三條邊長度之和，從而量化幾何問題中的空間概念，提高解題效率.

2.數學規律形象化

在小學階段，數學是一門邏輯性較強的學科，因此學生對各種數學規律的熟悉程度在一定程度上就代表了學生對數學這門學科的整體掌握情況.故而數學規律對小學階段的數學教學而言格外重要.那么，教師該如何在小學數學教學過程中引導學生更好地學習數學規律呢？筆者在此就不得不強調數形結合的重要性.以小學數學中“方向與位置”這一知識點的學習為例，在筆者看來，多數學生并不具備學習這一部分知識所需的方向感及空間想象力，然而這一點并沒有引起一些教師足夠的重視，他們更多時候只是照本宣科，并不能夠使學生準確地理解這部分知識，常常會導致學生一頭霧水.然而，數形結合思想能很好地解決這一問題.為了避免教學過程中出現抽象性問題，教師可以引導學生將自己熟悉的建筑物的位置或方位口述出來或把校園及周邊的村莊、道路等以平面簡圖的形式畫下來并標出標志性建筑物的名稱，口述建筑物的方位(如朝南的大門、西邊的操場、東邊的教學樓等).如此一來，學生通過繪圖、講述等方式，練習表達建筑物的具體方向與位置，通過數形結合有效掌握“方向與位置”這一數學知識點.

3.降低計算難度

在小學階段，數學計算可謂重中之重，其也是學生運用所學知識解決實際問題的基礎.但是，學生常常感到數學計算是一大攔路虎.在筆者看來，將數形結合思想運用于數學計算中，可以大大降低數學計算的難度，同時有效提升學生解決綜合問題的能力.例如，在教學“長方體與正方體”時就可以運用數形結合思想.教師在上課前用硬紙板制作出一個長方體和一個正方體模型并向學生展示，然后將模型展開，利用長方形、正方形的面積公式對它們的每一個面進行計算，從而獲得正方體與長方體的面積.這樣計算就被簡化了，學生能快速、準確地掌握這一知識點.

三、數形結合思想在小學數學教學中的運用舉例

在實際的教學過程中，教師可引導學生通過在紙上畫圖形，簡單地還原出題目中的情景，以解決問題.

分析：上述例題是小學階段典型的“數”問題，即我們常說的代數問題.對于剛結束學前教育、尚未建立系統的數學思維的小學生而言，想通過數字運算來解決此類問題是很難的.但是，如果教師教會學生用將“數”轉化為“形”來思考，那么學生就能很容易地解決這一問題.因此，在此類問題的教學中，教師要有意識地培養學生數形結合思想.以上述代數問題為例，在實際的教學過程中，教師可引導學生通過在紙上畫圖形簡單地還原出題目中的情景.畫一個正方形表示小紅同學，畫一個圓代表一位同學，先從左往右畫，第一個位置畫圓，第二個位置畫正方形，再從右往左畫圓，直到正方形成為第三個圖形.這樣便可直觀地再現題干中描述的情景，學生能輕易地得出答案.由此可見，數形結合的思想不但有助于將抽象的問題具體化，而且能培養學生的思考能力，幫助學生探索出更多新穎的解題方式.

對于幾何圖形的計算問題，在實際教學過程中，教師要有意識地將“數”的相關概念引入幾何問題中，一步步引導學生將數字與圖形結合在一起，即數與形結合.

看這樣一道例題：現有一個直角三角形，兩條直角邊的長分別是 3 cm、4 cm，斜邊長是5 cm.請求出該三角形的面積及周長.

分析：事實上，在使用數形結合思想解決數學問題時，不僅可以如前文一樣利用圖形來具體化數字，還可以用數字量化圖形，這也是數形結合在數學問題中的運用方法之一，這種“逆向使用”在幾何問題中尤為重要.在上例中，求三角形的周長時還可以用直尺量，但是做所有求面積的題目時只靠眼睛觀察或直尺測量是不行的.因此在教學時，教師就要有數形結合的意識，將“數”的相關概念引入幾何問題，一步步引導學生將數字與圖形結合在一起，讓學生知道三角形的周長等于所有邊長之和，三角形的面積可通過底和高的乘積再除以2來求得，最后將具體的數字代入公式，即可做到數與形相結合.

四、數形結合要注意的問題

1.提高畫圖水平

在運用數形結合思想的過程中，教師在短時間內畫出特定的圖形，這就對教師的繪畫水平有一定的要求.一些數學專業素養極高的教師在繪畫方面的能力有待提高.隨著當今社會科技的快速發展，多媒體逐漸廣泛應用于教學活動中，甚至在教學過程中替代一部分板書，但是多媒體不能完全取代教師板書.因此，在運用數形結合思想進行教學的過程中，一些教師的繪畫水平較低可以說是現存的問題之一.

2.方法的運用

處于小學階段的學生對知識點的歸納和總結能力不足，同時缺乏總結意識.這導致學生在遇到可以用數形結合思想解答的題目時，可能一時間無法想到使用該方法.這和學生的做題量較小及數學思維不夠系統有關，教師要引導和提醒學生用數形結合解決相關的問題.一些教師不能提醒是數形結合在小學數學教育過程中應用存在的問題之一.

綜上所示，高校大學生自我效能感與志愿、基層服務動機呈相關性。自我效能感越高越能激發高校大學生的志愿和基層服務動機，進而將志愿和基層行為付諸實際行動，在個人自信心、榮譽感、自豪感在志愿和基層活動中可獲得滿足，這種被滿足感能夠激發和提升了自我效能感，進而產生積極正面的引導和良心循環。自我效能感與志愿、基層動機之間起到相互促進的作用，因而引導高校大學生進行志愿與基層服務時，可以從滿足其自信能力、榮譽感等方面入手，從而提高其參與志愿和基層服務的積極性。

3.無相關教材可供參考

一般地，數形結合這一思想在初中階段才被系統地運用于數學學習.事實上，很多學生早在小學階段便開始運用數形結合思想.而這種運用更多的是無意識、不自知的.一些小學教師沒有系統地向學生講述過該理論，同時市面上沒有系統的有關小學數學中數形結合思想運用的教材，導致一些教師在教學過程沒有相應的教材可以參考.這也是在小學數學課堂教學中有效運用數形結合思想的困難之一.

五、數形結合的教學建議

1.教師努力提升數形結合意識及作圖能力

在小學教學階段，教師的教學水平決定課堂教學的質量，高素質的教師對課堂教學重要性不必過多贅述.想要讓數形結合思想更好地運用于小學數學教育的過程中，首先必須從源頭出發，切實提高教師對數形結合思想的理解和掌握程度，同時提高教師的作圖水平.為此，學校相關部門有必要組織教師進行專項培訓，以提高教師的相關能力.隨著時代的進步與經濟的發展，不斷更新教育理念也是當代教師的要求之一.

2.引導學生從基礎性習題著手

小學階段的學生在理解題意能力和知識儲備上都有限，不能快速總結出有效的題干信息和概括出較為抽象的數學概念.故而，教師在使用數形結合思想引導學生認知和判斷數學語言、理解抽象的數學概念時，應該從基礎性習題著手.降低例題的難度，將重點放在數形結合思想的應用上.當學生對數形結合思想的運用達到一定的熟練程度時，教師再視情況增加例題的難度，最終提高學生運用這一思想的能力.

3.帶領學生動手操作，將數字“實物化”

在引導學生運用數形結合思想解決實際問題時，教師還可以帶領學生動手操作，將題干中的有效信息轉化為更加直觀的實物.以下述題目為例：現有一張長方形紙條，第一次剪去它的1/2.，第二次剪去剩余部分的1/2.，這時，剩下的部分占原紙張的幾分之幾？顯而易見，在此類題目中，學生利用上述方法能更加直觀地找出一般性的解題思路，并且能夠更加直觀地理解分數乘法運算規律.因此，在運用數形結合思想解決實際問題時，在條件允許的情況下，學生可將題干中的有效信息轉化為實物，從而更加直觀地解決此類問題.

4.促進數形結合有機融合

形是數的直觀呈現，數是形的邏輯表達.教師要引導學生將形象思維與邏輯思維有機結合起來，做到數中有形、形中有數，提高辯證思維能力.

如利用面積模型推導計算公式：有一個邊長為a的正方形，將它的邊長增加b，得到一個邊長為(a+b)的正方形.學生自主分割圖形，發散思維，通過數與形的對應關系印證結果，感受數學的魅力.因為面積相等，所以可以證明(a+b)2=a2+2ab+b2.教師引導學生利用面積模型來推導完全平方公式，感受用數形結合的直觀性與簡捷性，提高數學思維能力.數形結合實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數和形之間的內在聯系.

如著名的“雞兔同籠”問題.雞兔同籠，共有8個頭、26條腿，雞、兔各多少只？

分析：這道題目可以用兩個長方形來表示.如圖1，a表示兔的只數，b表示雞的只數，a與b的和是8，即雞兔共有8只.右邊的2表示每只雞有2條腿，左邊4表示每只兔有4條腿.小長方形表示雞的腿數,大長方形表示兔的腿數，兩個圖形的面積之和26表示雞兔一共有26條腿.

圖1

如圖2，假設全是兔，腿的總數是4(a+b)，比實際總腿數多2b條，所以4(a+b)=26+2b，即4×8=26+2b，b=3.

圖2

同理，如圖3，假設全是雞，腿的總數是2(a+b)，比實際總腿數少2a條，所以2(a+b)=26-2a，即2×8=26-2a，a=5.

圖3

當“雞兔同籠”與數形結合有機融合，思維過程就一目了然了.

六、結 論

數形結合是小學數學教學中的重要數學思想之一，利用數形結合思想解決相關問題可以幫助學生建構具體、形象的數學概念.雖然在此過程中仍然存在一些問題，但是數形結合思想在小學數學教學中的重要性是不言而喻的.隨著時代的發展,處于教學一線的教師要不斷增加自身的知識儲備，以求達到良好的教學效果.