淺析高中數學立體幾何教學問題及對策建議

◎孫雅琪 (吉林師范大學,吉林 四平 136001)

一、高中立體幾何知識結構及地位作用

(一)高中立體幾何知識的結構分析

中學數學課程知識本著螺旋式上升、層層遞進、逐步深化的原則，一步步加深學生對理論知識的已有認識，在學生本階段能夠理解的層次水平，揭開知識本質面紗，讓學生感受到知識的魅力和探索世界的趣味.高中學生在初中階段，已經學習了大量的平面幾何知識，對三角形、矩形、圓形等圖形的性質有了初步的了解，對角的大小、直線或線段的位置關系、圖形的全等與相似等知識能夠正確把握，可以說，他們已經步入了幾何世界的大門，具有了一定的幾何思維和圖形意識，能夠處理簡單的圖形問題.這對于開展高中數學的教學起到基礎鋪墊的作用.

本著螺旋式上升的知識安排，在高中立體幾何課程設置上，首先學習了空間幾何體，這對應著初中幾何知識中的基本平面幾何圖形.在空間幾何體這一章中，學生先認識多面體和旋轉體的幾何結構特征，并且能夠將簡單組合體進行拆分，得到對立體幾何初步的感性認識.然后，學生學習認識三視圖和直觀圖，在這一部分，學生接觸到中心投影和平行投影，嘗試畫出立體幾何的三視圖和直觀圖，并能夠根據圖形的三視圖和直觀圖，想象出立體幾何的構造.這一部分的知識一方面檢驗著學生前面的學習成果，一方面投影知識對后面定理定義的把握，立體幾何的作圖都大有幫助.同時，科學的想象方法為學生增強空間想象能力提供了遵循.最后，學生學習了空間幾何體的表面積和體積，這一部分建立在學生能夠掌握基本的立體幾何圖形性質的基礎上，并且與實踐生活緊密聯系.

在第二章節中，學生進一步深入探索立體幾何世界中，點、直線和平面之間的位置關系.這對應著初中平面幾何中對線與線平行、垂直、夾角等知識的學習.在這一部分知識的學習中，學生先學習三者之間的位置關系，這是深入認識立體幾何中各部分的基礎，即想要準確把握一個立體幾何圖形的性質，必須弄清里面點、線、面的位置關系.接著，學生細致學習直線、平面平行的判定與性質，直線、平面垂直的判定及其性質.這部分內容無論是知識結構上，還是課程地位上，抑或是從高考角度來看，都是高中立體幾何知識的重中之重，并且也是難點所在.這部分知識在結構上，是前面學習的立體幾何有關知識的綜合呈現，是研究立體幾何圖形的重要切入點，也是把握立體幾何的重要研究對象.教師需要以一種立體幾何全局的視角串聯立體幾何知識，讓學生做到立體幾何知識結構框架胸有成竹.

(二)高中立體幾何知識的作用與地位

1.高中立體幾何知識的作用

立體幾何知識可以培養學生嚴謹的數學思維.中學幾何知識對圖形性質的把握和判定條件的要求，都是非常嚴謹的，我們需要對應上每一個適用條件和判定條件，在分析幾何圖形時絕對不允許存在“看起來像”“感覺是”等想法，尤其是高中立體幾何知識，我們要具有嚴謹治學的學習態度.這可以培養學生嚴謹的數學思維，即從高中立體幾何知識的學習上，學生體會到多種必要的位置限制對確定概念的重要性，每一個限制條件都對圖形的位置性質發揮著決定作用，同時在解決立體幾何題目時，感受到嚴謹思維帶來的豐富立體幾何世界.

立體幾何知識可以發展學生邏輯推理能力.學好立體幾何知識，很重要的就是學生能夠在多樣的抽象立體幾何圖形中，根據直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置和性質關系，按照定理公理，運用邏輯思維，推導出一系列的結論.學生倘若對基礎的立體幾何知識掌握不充分，邏輯關系了解不熟練，則在邏輯推導中會比較被動.在立體幾何知識中，逆向邏輯推導也發揮重要作用，比如學生需要由面面關系推導出線線關系，根據線面角、面面角等推導出線面關系、面面關系等.

立體幾何知識具有重要的現實意義.立體幾何圖形主要是從現實圖形中抽象而來的，是描述現實空間的重要工具，是用數學解讀空間物體的語言，必然與現實環境緊密聯系.現實生活中的幾何體需要借助立體幾何知識進行深度挖掘和改造，同時現實生活中的需要也在加深人們對立體幾何的認識，促進人們挖掘還未探究到的幾何奧秘.這也說明，立體幾何具有很強的工具性，對學好理學、工學等其他知識，處理日常生活中的基本空間問題大有裨益.學生建立起來的數學模型是解決實際問題的重要方法.

2.高中立體幾何知識的地位

在與初中知識的聯系上，高中立體幾何知識是對初中簡單的平面幾何知識的進一步探究，是對幾何知識結構的系統完善，豐富了學生對幾何世界的認識，提高了學生探索世界的興趣和信心.在高中知識上，立體幾何知識與向量知識、解析幾何知識聯系密切.在整個高中數學課程的排版上來看，立體幾何知識安排最靠前，可以說是高中幾何知識的啟蒙，與后面的知識相互影響，相互呼應，有些單純靠立體幾何難以解決的問題，為以后新思路、新方法的使用埋下伏筆，一些點、直線、平面之間的位置關系，又為后面知識的吸收提供著啟發.從高考角度來看，立體幾何知識分值主要集中在第二章，但在選擇題、填空題上，也會考直觀圖和三視圖、立體圖形表面積和體積的求法，甚至可以將立體幾何與函數、集合等知識綜合考查，這足以說明立體幾何知識在高中數學課程中地位之高，聯系之廣泛.

二、高中數學立體幾何教學存在的問題

(一)教學與生活聯系不夠密切

立體幾何應該說是與社會生產生活聯系非常密切的知識，很多圖形可以直接由實物例子抽象而來，并且立體幾何在實際生活中的應用也非常廣泛.正因為如此，教師容易產生“直接拿出立體幾何抽象圖形，學生能夠自己對應出來相應的實物圖形”“對于學習的幾何知識，學生能夠理解知識的外延，順理成章地應用到立體幾何實際問題中”的錯誤想法.由此導致，立體幾何教學與社會生產生活上的聯系不夠緊密，部分教師在教學中，欠缺通過圖片、實物展示引入立體幾何圖形的意識，或者不能及時通過解決實際問題強化學生對立體幾何知識的認識，造成學生不能將學習的知識用于實際生活的局面.

(二)教學使用的教學用具陳舊單一

立體幾何知識豐富、生動、活潑，變形變式多.知識的多樣性，結構的空間性，直接要求教師在教學中，要想辦法豐富學生的認識，幫助學生構建、完善空間圖形結構，鍛煉學生的空間想象能力.但是在教學中，很多教師，尤其是教齡較長的教師，普遍習慣于使用傳統的教具教授課程，如尺子、模型等，教學用具相對陳舊、單一.這些用具在展示靜態立體幾何圖形時，尚且可以應付，但是在展示立體幾何圖形的變化變形，分析立體幾何圖形內部構造，學生親自動手操作等方面，則顯得應付不來，在調動學生學習興趣，激發好奇心和探索欲上的表現，也難以令人滿意.

(三)教師授課時割裂立體幾何知識結構

難題主要集中在第二章，空間點、直線、平面之間的位置關系上，教師和學生將教授和學習的火力點集中在空間圖形的運算上，這對于突破立體幾何知識重難點而言無可厚非，并且這一章確實對學生整體把握立體幾何知識至關重要.但是在教學中，很多教師忽略學生對空間幾何體的認識、直觀圖三視圖的認識和畫法、立體幾何圖形的表面積體積求解等知識，可能會通過讓學生自學、小組討論等方式完成這部分內容甚至不教.這種教法顯然割裂了立體幾何的知識結構，不利于學生形成完整的豐富的立體幾何認識，甚至影響其獨立解決立體幾何實際問題的能力.

(四)教師教學中學生學習的主體性體現不足

立體幾何這部分知識對于學生而言，相對較難，尤其是初步接觸這部分知識時，很多學生難以想象立體幾何圖形內部的關系，難以接受解決立體幾何問題的思維方式，這些都是學生完善思維認識和認知結構建設的必要階段.有部分教師面對這種現象，出于比較功利的教學想法，過多地采用教師講授甚至全盤托出的方法開展教學活動，知識密集，強行灌輸，讓學生硬生生地接受新知識、新思維，違背了學生的學習認知規律，忽視了學生在學習活動中的主體性.這種教學不是以人為本的教學.揠苗助長的方式，不僅得不到本以為的教學進度，反而丟失了教學效果和學生學習的積極性.

三、淺析高中數學立體幾何教學對策

(一)知識來源于生活，知識回歸到生活

教師在教學中要樹立知識來源于生活，知識回歸到生活的理念.教師在導入環節，可以選擇學生平時學習生活經常遇到的立體幾何圖形進行導入，組織學生通過觀察、比較等方式，引發學生的認知沖突，激發學生的探索欲望，這也豐富了學生對立體幾何圖形的感性認識.教學過程中，學生抽象活動遇到阻力時，教師要將生活作為形象向抽象過渡的素材，及時借助實例，幫助學生順暢開展思維活動，將感性認識轉化為理性認識.教師要有針對性地挖掘本堂課的教學知識在現實生產生活和科學研究中的重要作用，提高學生的應用意識，也豐富立體幾何知識的價值意義.

(二)熟練使用新型教具，激發學生學習興趣

新型教學工具如多媒體、可拆卸模型等，對于提高學生的學習興趣，理解立體幾何的抽象知識、提高空間想象能力具有重要作用.熟練使用新型教學工具，給教師自身接受并掌握新鮮事物的能力、組織和控制課堂教學活動、加強學科知識認識帶來挑戰.首先，教師要從心理上接受并且積極地學習、掌握新型教學工具的基本知識，這是熟練使用它們的前提.其次，教師要找到新型教具與課堂教學內容的有機結合點，最大限度地發揮教具價值，避免教具出現得不合時宜，分散學生的注意力，干擾學生有序的思維認識過程.最后，教師還需要提高課堂組織管理能力，這樣他們就能夠掌控課堂教學節奏，及時應對多種教學狀況了.

(三)全面把握立體幾何知識結構，完善立體幾何知識系統

教師在教學時，要全面、綜合、系統地把握立體幾何知識，要充分認識到平面圖形對于學生獲得準確的立體幾何感知發揮的重要作用.比如，求解立體圖形表面積需要展開圖形，射影在構造線面角、二面角上發揮的頓悟作用等.教師需將所有的立體幾何知識甚至是幾何知識統一起來，完善學生的立體幾何知識系統，提高學生對立體幾何各部分之間緊密而豐富關系的認識.

(四)課堂交給學生，樹立以人為本的教學理念

學生是一個獨立的人，有獨特的思維認知規律.教師在教學時，要樹立以人為本的教學理念，將課堂交給學生，充分發揮學生學習的主體性作用.教師要注意通過變式、比較等方式，引導學生產生矛盾的認知，繼而發現相同或相似事物的規律，積極總結規律，形成對規律的認識，接著嘗試用數學語言表達數學規律.教師還要幫助學生切身感受嚴謹抽象的數學邏輯語言，最終借助題目練習，形成對數學立體幾何知識的全面掌握.在這一過程中，教師需要在以人為本的理念下，時刻監控著教學活動和學習活動，及時糾正、總結學生出現的問題.

四、淺議高中數學立體幾何教學建議

(一)積極使用教學理論指導教學活動

APOS是由美國教育家杜賓斯基提出來的一種以建構主義學說為基礎的教學模型.我們通過總結國內外研究成果和實踐成果，可以證明基于APOS開展數學教學，尤其是數學概念教學具有比較好的教學效果.APOS分別指操作、過程、對象和圖式四個階段，如圖所示.教師的教學活動可以按照這四個階段，在適應學生心理結構發展規律的基礎上開展，最終幫助學生在不知不覺中獲得數學概念.

“操作階段”是個體把接觸到的數學實體對象充分感知的過程，在這一階段，學生要對數學對象有概括性的感性認識，獲得感性的數學素材.“過程階段”是個體歸納反思數學活動的階段.在這一階段，學生逐漸熟悉并且在不借助實物獨立感知的基礎上，逐漸開展思維的內化，在老師的引導下，一點點提煉出事物的本質特征.在“對象階段”，學生要進一步轉換和操作所得到的數學規律，使其成為規范概念.“圖式階段”是APOS的最后一個階段，這一階段學生已經形成了單個圖式，教師要將新形成的圖式與原有的圖式相聯系，最終形成概念體系.

(二)重視基礎知識教學，切勿好高騖遠

教師在教學過程中，要將主要的教學目標放在教授基礎知識上，要將教學活動設計成每個學生都能從中學到適合自己的數學，都能得到發展的教學.教師需要關注攻克難題，更需要把重要精力投入講授新課、講解基礎知識和題目上來.基礎立體幾何知識，不僅是大部分學生可以接受、適應的知識，能夠滿足大多數學生的學習需要，同時，也是學生攀登立體幾何高峰的基石.學生要能夠從基本的立體幾何中，梳理出立體幾何知識的脈絡，掌握研究立體幾何的基本思路和方法，感受到立體幾何的教育價值，進而將其內化到自己的認知結構中，成為自己知識體系的一部分.只有這樣，學生在接下來的學習過程中，才算是掌握主動性，能夠在遇到困難問題時，及時將其轉化為多個簡單問題，并且借助已經形成的立體幾何思維，熟練掌握各學科知識和知識之間的聯系，積極嘗試解決幾何難題，進而在生活中能夠主動利用幾何知識甚至是立體幾何思維解決問題.

(三)培養學生自信心，提高學生學習效能感

很多學生反映立體幾何知識難，內心產生畏難情緒，甚至原本可以學會的知識、解決的問題，在這種情緒下，也學不會，解決不了，這樣便失去了學習的主動性.教師在教學過程中，要時刻疏導學生的畏難情緒，提高學生能夠學會學好立體幾何知識的自信心和效能感.教師的教學要循序漸進，由淺入深，由表及里，先從觀察、回憶等比較容易吸引學生注意力、引導學生輕松思考的教學活動入手，激發學生探究欲望.在教學活動中，面對學生產生疑惑、迷茫的知識，教師要及時進行反思，通過提示、學生復述、答題等方式，幫助學生理解知識，這一過程教師要關注學生情緒，對于畏難、抵觸、煩躁等情緒，要及時疏導，并且有針對性地調整自己的教學設計.學生對立體幾何知識的學習不是一蹴而就的，當學生出現畏難情緒時，教師不應該產生過多的負面情緒，影響班級整體的教學和學習氛圍，而應該以積極、祥和、樂觀的態度對待學生的學習.