一道解析幾何定點問題研究的心路歷程

王彩玲

處理有關直線與圓錐曲線交匯中的定點問題時，往往需要靈活運用“設而不求”技巧，該技巧的關鍵之處就在于獲得關于“x1+x2，x1x2”形式的代數式，或者獲得關于“y1+ y2，y1y2”形式的代數式，利用根與系數的關系，進一步分析、解決目標問題，但有時不會出現這樣顯性的代數式，讓人舉步維艱，這就需要結合題設問題進行大膽地探尋，創新解題思維，有利于獲得目標問題的巧思妙解，

思路一 分兩種情況進行討論，特殊情形是直線MN的斜率不存在;一般情形是直線MN的斜率存在，此時可利用直線方程的點斜式設出直線MN的方程，根據“x”的二次方程、根與系數的關系以及直線方程的點斜式加以靈活分析.

思路二將直線MN的方程設為x=my+n的形式，充分根據關于“y”的二次方程、根與系數的關系以及直線方程的點斜式靈活分析，其優點在于可以避免討論，優化解題過程.

2.解決問題：

由于本題第（2）問是證明題，所以目標結論是肯定的，如此可從考查特例人手，先獲得該定點的坐標，然后在一般情形下據此逆推，以便具體考查是否成立.

至此，就可以給出第（2）問的完整解答過程，請讀者自行完成，

綜上，結合舉例剖析可知：處理直線與圓錐曲線交匯中的“有關直線恒過定點問題”時，如果不能直接獲得關于“x1+x2，x1x2”形式的代數式，或者獲得關于“y1+y2，y1y2：”形式的代數式，那么就可借助“分析法”的思想進行逆推，以便發現隱藏在其中的具有完美形式的恒等式（如思路一中的解決問題），有利于目標問題的順利解決;亦可借助“特例開路，逆推探尋”的思維進行求解（如思路二中的解決問題）.

一言以蔽之，圓錐曲線中有關“定點”問題的處理，往往具有一定的綜合性、技巧性，需要在解題過程中不斷積累經驗（例如：直線方程的設法技巧，數形結合思想的運用，分類與整合思想的運用），同時需要進一步強化邏輯推理能力（特別是“分析法”思想的靈活運用）以及字母形式的代數運算求解能力，進而提高解題技能，提升數學核心素養.A372DB7D-5E8D-4FE2-B36F-7AA81FC73141