阿波羅尼斯圓及其逆向問題

甘志國

本文對阿波羅尼斯圓給予了深入研究：給出了其平面解析幾何解法及平面幾何解法，還解決了其逆向問題，并給出了它們在解答高考題方面的應用.

題1 （普通高中課程標準實驗教科書《數學2.必修.A版》（人民教育出版社.2007年第3版）（下簡稱《必修2》）第140頁例）已知點P（2，0）， Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q距離的1/5，用“幾何畫板”探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程

題2（與《必修2》配套使用的《教師教學用書》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《必修2.教師教學用書》）第142頁第三題第2題，即普通高中教科書《教師教學用書》（數學·選擇性必修·第一冊（A版））（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《選擇性必修第一冊·教師教學用書》）第156頁第三題第15題）在△ABC中，已知|BC|=2，且|AB|/|AC|=m，求點，A的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形，

注《必修2.教師教學用書》第144頁- 145頁給出題2的答案是：由題設可得m>0.以BC所在直線為x軸，BC中點為原點建立直角坐標系，當m=1時，所求軌跡方程是x=0.軌跡是y軸（筆者注：應改為“所求軌跡方程是x=O（y≠0），軌跡是，軸（但要去掉坐標原點）”）;當m>0且m≠1時，所求

這兩道題中的圓就是阿波羅尼斯（ Apollonius ofPerga，公元前262 -公元前190）圓：在平面上與兩個定點A.B的距離之比為定值λ（λ>0且λ≠1）的動點軌跡是圓，通常把這個圓叫做阿波羅尼斯圓.

定理1在平面上與兩個定點A.B（ |AB| =2a，a>0）的距離之比為定值λ（λ>0且λ≠1）的動點

D.早于公元前6000年

解析 由題意可畫出示意圖，如圖2所示，其中AO⊥BO（BO代表骨笛），λO= 10. 00，BC=9.40.BO= 16. 00.故OC=6.60.

設黃赤交角為θ.由題意得∠BAC= ∠CAD=θ.故θ= ∠BAO - ∠CAO.

對照題中表2.由0.455<0.457<0.461.得該骨笛的大致年代早于公元前6000年，故選D.

點評 本題讀懂題意畫出示意圖，通過解直角三角形和兩角差的正切公式，計算出黃赤交角的正切值，對照題中的表格而得解，

證法1 （平面解析幾何法）如圖l所示，以線段AB的中點為坐標原點O.線段AB所在的直線為X軸建立平面直角坐標系xOy，得點A（-a，0），B（a，0）.

定理2若在平面上圓心為點C、半徑為r的定圓r上有三個點到兩個定點A，B的距離之比為定值A，則A>O且A≠1：且三點A，B，C在一條直線上（設該直線l與圓廠的兩個交點是D，E，可得兩點D，E中有且僅有一個（不妨設為點D）在線段AB上）且兩點A，B可由直線l及AB=（1+A）DB=（1

解法 2√2由于AB為定長，因此△ABC的面積由AB邊上的高決定，而動點C滿足AC=√2-BC，所以可如圖6所示以直線AB為x軸，線段AB的中垂線為'，軸建立平面直角坐標系xOy來求出點C的軌跡方程，

題5（2013年高考江蘇卷第17（2）題）如圖7所示，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線/：y= 2x -4.設圓的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA= 2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍，9C0360F5-2860-426A-AA25-A4706205BFAB