巧用向量法處理幾何體外接球問(wèn)題

趙澤民

簡(jiǎn)單幾何體的外接球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，解題過(guò)程中需借助幾何直觀(guān)理解問(wèn)題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)問(wèn)題，通過(guò)邏輯推理分析問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象與邏輯推理素養(yǎng)有積極作用.筆者針對(duì)我校一道高三模擬考試題，從綜合法和向量法兩個(gè)角度分析問(wèn)題并給出相應(yīng)的解題策略，然后通過(guò)對(duì)一些模擬試題的研究，側(cè)重拓展向量法解決與幾何體的外接球有關(guān)的弦長(zhǎng)、表面積、體積問(wèn)題，以期拋磚引玉.

例1 在三棱錐A -BCD中.AB⊥平面BCD，BC上CD.AB =BC=1，BD=√2，三棱錐A- BCD的所有頂點(diǎn)都在同一球O的表面上，若點(diǎn)M，N分別為△BCD與△ABD的重心，直線(xiàn)MN與球O的表面相交于Q、G兩點(diǎn)，則|QG|：|MN|=（? ? ）.

評(píng)析 把三棱錐補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體解決外接球問(wèn)題是常用方法，本例借助幾何圖形中的幾何關(guān)系及數(shù)量關(guān)系證明線(xiàn)線(xiàn)平行、垂直，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，這也是解決與球的切、接有關(guān)問(wèn)題的基本思路.運(yùn)用公理化的方法處理此類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生能力有一定要求，但有利于培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).垂直關(guān)系的幾何體作為載體的立體幾何問(wèn)題，可以?xún)?yōu)先考慮向量法，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于拋開(kāi)了繁雜的推理論證，僅通過(guò)計(jì)算即可獲得一些平行、垂直的關(guān)系以及空間距離和角.尤其是本例中重心特征明顯，用坐標(biāo)更容易表達(dá)，且線(xiàn)段MN、ON的長(zhǎng)度和垂直關(guān)系更容易得到，從而降低了思維要求，優(yōu)化了解題過(guò)程：同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生依托空間向量建立幾何體的外接球問(wèn)題中圖與形的想象能力.下面借石攻玉，觸類(lèi)旁通，巧用向量法處理一些幾何體外接球問(wèn)題.

例2 三棱錐p - ABC中，平面PAC上平面ABC，AB⊥AC，PA =PC =AC =2，AB =4.則三棱錐P -ABC的外接球的表面積為（? ）.

利用向量法解決與幾何體的外接球有關(guān)的弦長(zhǎng)、表面積、體積問(wèn)題能刺激學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生神秘感，引發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，促使學(xué)生在主動(dòng)鉆研問(wèn)題的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)解題能力.教師不只是強(qiáng)化綜合法解決幾何體的外接球問(wèn)題，而且提供向量法解決此類(lèi)問(wèn)題的思路，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，能促使學(xué)生形成系統(tǒng)、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式.利用向量法解決幾何體的外接球問(wèn)題既體現(xiàn)了知識(shí)和方法的創(chuàng)新，拓寬了對(duì)高考的認(rèn)知，又提升了學(xué)生的解題能力，擴(kuò)大了高考備考的視野.1DED2D5E-61F9-4C09-9C08-B4D7D867A388