透視圖形內(nèi)涵 發(fā)掘解題途徑

李昌成 關(guān)惠惠

最近在某資料上看到一道去年的模考題，題設(shè)簡單，背景常見，問題常規(guī)，但是仔細(xì)推敲此題出口甚廣，可以依托二次函數(shù)、三角函數(shù)、均值不等式、向量、正余弦定理、平面幾何、解析幾何等知識解答，對于鞏固基礎(chǔ)知識，開拓解題思路，提高解題的實(shí)戰(zhàn)水平均有一定的意義，

一、題目呈現(xiàn)

（2021年江西模擬）在等腰△ABC中，AB =AC，BD是腰AC的中線，且肋=√3，則△ABC面積的最大值為_____ .

評析 設(shè)邊長變量，巧用余弦定理，把面積最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即可求出面積的最大值.

評析 等式②是在研究同一個角，從而產(chǎn)生等式，學(xué)生一般不太在意，平時教學(xué)應(yīng)當(dāng)多多強(qiáng)調(diào)，多角度看待問題，思考問題，尋找隱形等量關(guān)系是一種技巧.

評析 輔助角公式的應(yīng)用使得關(guān)于面積的不等式應(yīng)運(yùn)而生，顯得十分自然，運(yùn)算也簡潔，最值成立的條件也一目了然.

評析 等式（*）容易出現(xiàn)視而不見的狀況，而高考命題專家恰好經(jīng)常在這個技巧上做文章，平時教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)到位.這個關(guān)系式還可以通過四點(diǎn)共圓產(chǎn)生，有異曲同工之妙.

評析 引進(jìn)變量a建立三角函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)簡單，最值易求.對學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識要求較高，等價轉(zhuǎn)化的能力要求較高.

評析 重心的引入非常巧妙，學(xué)生需要長時間的修煉方可達(dá)成這種意識，形成這種能力.等價轉(zhuǎn)化思想顯得尤為重要.解法7、8、9屬于非常規(guī)的巧妙解法.

評析 解法10、11引入了解析幾何，解法新穎.不僅可以訓(xùn)練學(xué)生三角問題，也能鞏固解析幾何的核心知識，思維顯得十分發(fā)散，對學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)不可小覷.

三、解后反思

對于習(xí)題的處理，通常有兩個誤區(qū)：一是做對就好，二是多多益善（刷題）.殊不知，很多問題的背后還有豐富的內(nèi)涵，有知識的，有方法的，有能力的.數(shù)學(xué)各個模塊之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，這種聯(lián)系只有在主動應(yīng)用中才能織密織牢，只有掌握了理解了這些內(nèi)在的聯(lián)系才能應(yīng)對千變?nèi)f化的試題，才能培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，才能有創(chuàng)新的意識，才能在將來的工作中得心應(yīng)手，高分高能.因此，解題研究，一題多解是教學(xué)的一個重要工作.