活用指、對數函數的“單調性”巧解題

孫琳

指數函數和對數函數是高考數學必考重要知識點，難度適中，側重考查其“單調性”在解題中的靈活運用.基于此，現通過歸類舉例解析，著重說明這兩類函數的“單調性”的解題應用，目的在于幫助學生加深對這兩個常用函數的“單調性”的理解與認識.

類型一活用單調性.比較大小

遇到有關涉及指數式或對數式的比較大小問題，應在充分觀察其外在結構特征的基礎上，靈活運用相關指數函數或對數函數的單調性解題.

評注 本題側重考查了指數函數和對數函數的單調性，在比較大小問題中的綜合運用，同時還需要關注特殊數字“0”、“1”等的橋梁作用，

類型二 活用單調性，解不等式

分析、解決有關涉及指數式或對數式的解不等式問題時，應注意在適當化簡的基礎上，將指數函數或對數函數的單調性加以靈活運用，以便順利求解目標問題，

評注 處理指數不等式（或對數不等式）常用步驟是：化成底數相同的形式，再利用對應指數函數（或對數函數）的單調性.此外，必須關注“對數的真數大于零”這一隱含條件.

類型三 活用單調性.證明恒等式

如果題設條件中涉及指數式、對數式，那么證明有關恒等式時，往往需要考慮指數函數、對數函數，以便靈活構造新函數，并在適當變形的基礎上，利用新函數的單調性進行證明.

類型四 活用單調性.求解含參“恒成立”問題

分析、解決涉及指數式或對數式的不等式恒成立問題時，往往需要在分離參數的基礎上，靈活利用指數函數或對數函數的單調性進行求解，

評注一 般地，若函數f（x）和g（x）在同一區間A上都是增函數（或減函數），則函數f（x）+g（x）在該區間A上必為增函數（或減函數）.

類型五活用單調性.求解含參“最值”“不等式”問題

處理有關涉及指數函數或對數函數，且含有參數的最值問題或者解不等式問題時，往往需要根據指數函數、對數函數的“單調性”進行靈活分析，有利于迅速求解目標問題.

評注本題求解的關鍵點有兩個：一是由函數f（x）存在最大值，準確判斷得到參數a與1的大小關系;二是利用指數函數y=a x（0

類型六活用單調性（涉及復合函數），求參數的取值范圍

遇到給定復合函數的單調性，且涉及指數式或對數式問題時，應注意復合函數的單調性法則與指數函數或對數函數的單調性在解題中的靈活、綜合運用.

評注 設復合函數y =f[g（x）]的內函數為u=g（x），外函數為y=（u），則有如下規律：如果其中某兩個函數的單調性一致，那么另一個函數是增函數：如果其中某兩個函數的單調性不一致，則另一個函數是減函數，

類型七活用單調性（涉及抽象函數）.求參數的取值范圍

遇到給定抽象函數的奇偶性、單調性，且涉及指數式或對數式的解不等式問題時.應關注抽象函數的性質與指數函數或對數函數的單調性在解題中的靈活、綜合運用.

評注 本題求解關鍵點：一是利用f（x）為偶函數，對題設不等式進行化簡、變形;二是利用函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，靈活求解題設不等式，具體求解時，靈活運用對數函數y= 1nx的單調性，有利于幫助我們準確求解參數的取值范圍.

總之，關注指數函數和對數函數的“單調性”的常用解題功能，不僅能夠幫助提高對所學數學知識和方法的靈活、綜合運用能力，而且也能夠幫助積累解題經驗，提高解題的能力，進而提升學生在數學抽象、數學運算以及邏輯推理方面的核心素養.