用“點差法”解題．切記嚴謹

甘志國

“點差法”是平面解析幾何中的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點弦所在直線的斜率時很簡潔且程序化，備受青睞，但本文欲闡述的觀點是：用“點差法”解題，切記嚴謹！

對此“解”的分析 由“線段AB的垂直平分線與x軸相交”可得直線AB的斜率存在，所以②在這里成立（但在解題過程中應交代清楚）.

當且僅當直線AB的斜率不為0即x1+x2≠0時③成立，從④推得⑤還要說明y1+y2≠0.當然這可由⑤推理得結論成立（但在解題過程中應有所交代），此時以上解答正確.

當直線AB的斜率為0即x1+x2=0時，由橢圓的對稱性及“線段AB的垂直平分線過點P（ x0，0）”可得x0=0，此時欲證結論也成立.

綜上所述，可得欲證結論成立，平分線l即y軸，它經過拋物線的焦點.

綜上所述，可得當且僅當x1 +x2 =0時，直線l經過拋物線的焦點.

總之，用“點差法”解題，切記嚴謹：

（1）把等積式變成比例式時（比如把①變成②，⑥變成⑦，⑧變成⑨，⑩變成（11）），要注意分母不為0（若分母的值為0，則中點弦所在直線的斜率不存在，須另行研究，比如例4）;

（2）除非題設中有“中點弦所在的直線與圓錐曲線交于不同的兩點”（比如例2，例4與例5）.否則要檢驗中點弦所在的直線與圓錐曲線確實交于不同的兩點（比如例1與例3）;

（3）遇到中點弦的垂線問題時，中點弦所在直線的斜率為0的情形要單獨討論，因為此時中點弦的垂線的斜率不存在（比如例2與例5）.

下面的例6-8均是用點差法來求解的，且均是嚴謹的.5B0AD55F-5C46-41EA-AA26-BB19484B50A0