對(duì)一道立體幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思考

劉海濤

一、問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)解題的目的是什么？是求出問(wèn)題的答案嗎？是，但不全是！解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不能為了解題而解題，而應(yīng)該在解完一些典型問(wèn)題后，及時(shí)予以反思，問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景是什么？問(wèn)題包含的命題的逆命題是否成立？能否予以變式拓展？等等！

二、試題呈現(xiàn)與分析

題目 如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC.∠ADC= 90°，AD =2BC =2CD =2.P為四邊形ABCD所在平面外一動(dòng)點(diǎn)，且PA= PB，∠APB= 90°.設(shè)M為PD的中點(diǎn)，則CM的值為_(kāi)____，

分析 該題是筆者所在學(xué)校高三的一道模考填空題，試題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了.形式上為求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，主要考查了空間中的平行與垂直關(guān)系，解三角形等知識(shí)，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但筆者發(fā)現(xiàn)該題內(nèi)涵豐富，題中并未說(shuō)明平面PAB與平面ABCD所夾角的大小，即P為空間中一動(dòng)點(diǎn)，于是M亦為動(dòng)點(diǎn)，但為何線段CM長(zhǎng)度卻為定值呢？遂筆者對(duì)該題深入剖析，現(xiàn)與讀者分享交流，

三、解法的探究與評(píng)注

思考1 由題意知線段CM的長(zhǎng)度為定值，因?yàn)椴恢娼荘-AB -D的大小，所以無(wú)法得到線段PC，PD的長(zhǎng)度，因此難以在△PCD中解出線段CM長(zhǎng)度，而由題設(shè)條件可以確定等腰直角△PAB的各邊長(zhǎng)度，故考慮利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化到△PAB中求解.

解法1 如圖2所示，取PA，AD中點(diǎn)分別為Q，，N，連結(jié)QB，QM，NC.易知△DCN中，DN⊥DC，且DN= DC=1.則NC=√2.由AN∥BC，且AN= BC=1.得四邊形ABCN為平行四邊形，則AB=√2，又P=PB，且∠APB= 90°，得PA= PB=1.

評(píng)注 解答該題的關(guān)鍵是將長(zhǎng)度為定值的線段CM，平移到一確定△PAB內(nèi)求解，在解一些有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的立體幾何問(wèn)題時(shí)，常用的解題策略即為將動(dòng)直線放入一確定的平面內(nèi)，將一動(dòng)線段放入一確定的平面多邊形中，這樣就能達(dá)到“以靜制動(dòng)”的解題效果.如2021年全國(guó)甲卷立體幾何題的第（1）問(wèn).

評(píng)注 解法2實(shí)為對(duì)解法l的優(yōu)化，將長(zhǎng)度為定值的線段CM構(gòu)造為一確定三角形的一條邊，直觀展示出線段CM的長(zhǎng)度不受二面角P-AB-D大小的影響.實(shí)際上，立體幾何中有很多這樣的例子，如下面這道問(wèn)題.

如圖5所示，已知矩形ABCD中，AB= 4/3 BC =8，△BAC沿AC翻折，使B到達(dá)P點(diǎn)的位置，連接PD，得到三棱錐P-ACD，則其外接球的體積為_(kāi)____，

分析 題中并未說(shuō)明二面角P-AC -D的大小，也就是三棱錐P -ACD是一個(gè)不定三棱錐，而由題目的設(shè)問(wèn)可以確定該三棱錐的外接球半徑為定值，這是為何呢？如圖5，在矩形ABCD中，連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，則OA=OB=OC=OD =5.而隨著△BAC的翻折，注意到O為定點(diǎn)，且其到三棱錐P -ACD四個(gè)頂點(diǎn)長(zhǎng)度保持不變，因此O為三棱錐尸-ACD的外接球的球心，5為半徑，所以外接球體積為4/3π×5 3：500π/3.

思考3 利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，可以大大降低空間思維難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)分析點(diǎn)P.從而分析出點(diǎn)M的情況.

評(píng)注 引入空間向量解決立體幾何問(wèn)題，避開(kāi)了傳統(tǒng)方法中對(duì)平行、垂直、角、距離等問(wèn)題所進(jìn)行的大量繁瑣的“定性分析”，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行“定量分析”.使得立體幾何問(wèn)題得到很大的優(yōu)化，降低了對(duì)空間想象能力的要求，如下面這道問(wèn)題

分析 該題要想做出點(diǎn)M的軌跡，難度很大，一來(lái)不知道其軌跡為何種曲線，二來(lái)純粹的幾何方法對(duì)學(xué)生的空間想象思維能力要求很高，因此考慮利用建立空間直角坐標(biāo)系的方法，利用向量對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析.由題設(shè)不難

五、反思總結(jié)

本文所探究的立體幾何題，雖然學(xué)生的得分率很高，從考試的角度來(lái)說(shuō)是一道中等難度的題，甚至說(shuō)一道簡(jiǎn)單題，但是從教學(xué)的角度來(lái)說(shuō)它又是一道難題，一道難得的好題，其包含的背景豐富，變化中包含著不變，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡實(shí)為圓錐底面的圓.筆者認(rèn)為，廣大一線教師在教學(xué)中，要教會(huì)學(xué)生挖掘問(wèn)題所蘊(yùn)含的背景，看透問(wèn)題的本質(zhì)，弄清問(wèn)題底層的邏輯，甚至教會(huì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式，這樣學(xué)生才能跳出題海，學(xué)會(huì)總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)方法.通過(guò)做一道題達(dá)到會(huì)一類(lèi)題的學(xué)習(xí)效果，從而減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率和解題能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

（收稿日期：2022 -03 - 11）