排列組合解題中的“物理”操作

魯和平

排列組合是高中數學的重要學習章節，它對考查學生思維的嚴密性、深刻性、廣闊性等具有不可替代的作用，也為學生進一步學習“組合數學…‘概率統計”奠定了堅實的基礎.但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式，卻超出了數學的范疇.如果僅僅停留在數學苑網“深挖洞”，可能最終導致無功而返.如果進一步拓廣思維視野，跳出數學的方寸天地，就會豁然開朗，姑且把這種思維方式，稱為“物理”操作.簡而言之，就是要通過一系列的“物理”操作，才能完成解題過程.

一、重構操作

即根據題目的意思，在保持原題本質不變的前提下，重新設計操作程序，使新的操作設計更加貼近題意，更具“數學化”.

例1 袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個.每種顏色的10個小球分別標有數字1、2、3、4、…10.若從中任取4個小球，這4個小球顏色互不相同，且所標數字互不相鄰的不同取法共有多少種？

解析首先假想準備10個無顏色無標號的10個大小相同的小球.①將其中的6個球擺好，這6個球連同左右兩邊一共形成7個空位，②在上述7個空位中，插入另外4個小球，共有C7種，并將這4個小球做好記號，③將上述10個小球從左到右標上序號：1，2，3，…10.④將插入并做好記號的4個小球取出，給小球依次在“紅、黑、白、黃”四種顏色中任選一種涂色，則4個小球的涂色方法數為：A4.⑤則合乎題意的不同取法共有：Ⅳ=C4.A：= 840種.

例2從1，2，3，…，9中任取5個數字組成無重復數字的五位數，要求其中僅含有兩個連續的數，且這兩個連續的數相鄰的五位數有多少個？

解析①將余下的4個數，當作4個相同的小球擺成一排，則一共留出（包括左右兩邊）5個空位.

②將連續的2個數看作2個小球，捆綁成1個小球，插入5個空位中的1個空位.

③將余下的4個空位中插入另外3個小球.

④標記插入的4個單位的“球”，

⑤將這8個小球（實質上是9個）從左至右依次編號1、2、3、…、9.

⑥取出插入的4個單位的“球”，

⑦將這有編號的4個單位的“球”全排列成五位數.

⑧依題意，滿足要求的五位數共有：G3.C4.A2.A4=960個，

二、退步操作

對于有范圍限制的排列組合問題，可以先退步思考，滿足題設條件，使限制范圍變得單一常規，再根據組合模式，尋找進一步的解題方法.

例3將15個大小相同的小球放人標有“1，2，3，4”編號的盒子里.則每個盒子里放入的球的個數不小于該盒子的編號數的放法一共有多少種？

解析①如圖l所示，預先在2號、3號、4號盒子里依次投入1個、2個、3個小球，則剩余9個小球，②將剩余的9個小球擺成一排，中間留出8個空位，③在上述8個空位里，任意插入3塊隔板.④則滿足題意的方法一共有：C8=56種.

例4已知M={l，2，3，…，12}，從集合M中任取4個數，要求這4個數中，至少有2個數相鄰，問共有多少種取法？

解析①從集合M中任取4個數，共C12 種.②將剩余的8個數，當作8個相同的小球擺成一排，一共留出包括左右兩邊9個空位，③在9個空位中插入4個小球，并標上記號，④將上述12個球，從左至右，按1，2，3，…，12編號.⑤將標上記號后插入的4個小球取出，則這4個小球號碼各不

三、配位操作

對于“搭配”問題，可以先進行配位操作，使之成為一個“大單位”的“元素”，再按照常規思路考慮.

例6公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

解析①先將不坐人的5把椅子排成一排，中間一共留下4個空位.②將3個人安排，每人坐一把椅子，③將“人+椅子”看作1個單位的“人”，在上述4個空位中選擇3個空位推進去，④滿足題意的坐法共有：A4= 24種.

四、無為操作

對于有些題目，表面上看是有序排列問題，但深入細究，卻是組合問題.因為各個元素是相異的，本身就存在天然的次序，這就需要“無為而治”，相反地，如果真正“有為操作”，則會弄巧成拙.

例7把五位數abcde中滿足“a>b>c.c

解析①從“0，1，2，3，…，9”中任取5個數，共有c5。種，將取出的5個數中最小的數賦給c.②從取出的5個數剩余的4個數取出2個數，共有C2種，將取出的2個數中較大的賦給a，較小的賦給b.③將5個數中還剩余的2個數，較大的數賦給e，較小的賦給d.④綜上所述：五位“凹數”一共有：C10.C4= 1512個，

五、筑巢操作

對于有些排列組合問題，單從表面思考，很難找到突破口.若將此問題放置在一個大的背景下思考，則會迅速迸發出思維的火花，給一個較難的問題，安置一個大背景，形象地稱之為“筑巢操作”.

例8在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點，，軸正半軸上有3個點，將x軸上這5個點與y軸上這3個點，連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點最多有多少個？

解析如圖3所示，①從x軸正半軸上的5個點中任選2個點，共有C5種.②從y軸正半軸上的3個點中任選2個點，共有C3種.③以上選出的4個點，共可構成C3.C2=30個四邊形，④每個四邊形的對角線都有1個交點.⑤滿足題意的交點最多有30個，

六、符號操作

對于題目所描述的現象，可以抽象為用數學符號來闡釋，把這一類操作稱為“符號操作”，它的好處在于能迅速建立操作與數學符號的有機聯系，為數學化解決問題做好鋪墊.

例9 A，B，C，D，E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.由A開始傳出（算作第一次），經過10次傳球后又回到A的傳球方式共有多少種？

解析記向左傳為“+1”，向右傳為“一l”.由A開始傳出10次球后，又回到A，就是在10個“1”前面添加正號或負號，使其代數和為10，或0.或- 10.

①當代數和為“10”時，全是“+”，有1種，

②當代數和為“- 10”時，全是“一”，有1種.

③當代數和為“0”時，即有5個“+”.5個“一”，共有C510= 252種，

④綜上所述：滿足題意的傳球方式有：1+1+252= 254種.

（收稿日期：2022 -03 - 12）