電靜壓系統用內嚙合齒輪泵流量脈動特性

張玉強， 李 瑤， 姜帥琦， 何 俊， 衡春影

(北京精密機電控制設備研究所， 北京 100071)

引言

電靜壓作動器(Electro-hydrostatic Actuator，EHA)伺服系統具有高效、高功率密度和高可靠等優點，有望替代傳統閥控伺服系統。由于EHA不存在閥控換向沖擊和閥口節流噪聲，適用于靜音要求較高的場合。目前液壓系統內部流體振動引發的機械振動和空氣噪聲已成為EHA的主要噪聲源之一，因此有必要研究降低EHA流體振動的方法和措施。

為降低液壓系統的振動噪聲，主要采取泵源脈動特性優化和液壓流體振動能量消耗2種措施[1-6]。在泵源脈動特性優化方面，得益于國內外學者的廣泛研究，近年來市場上出現了多種低流量脈動的液壓泵，又稱安靜型液壓泵，主要包括直線共軛內嚙合齒輪泵、雙圓弧外嚙合斜齒輪泵和螺桿泵等。

雙圓弧外嚙合斜齒輪泵一般不能四象限工作，因此在EHA伺服系統應用方面受到一定的限制[4]。螺桿泵一般用于低壓系統，不適合高性能EHA伺服系統。直線共軛內嚙合齒輪泵采用直線共軛齒廓和內嚙合設計，工作時具有較小的齒廓相對滑動率和較弱的困油現象，因此噪聲和流量脈動較小[7]；而且該類型的泵可以雙向四象限工作，非常適用于高性能低噪聲EHA伺服系統[8]。

目前國外已開發完成商用的直線共軛內嚙合齒輪泵產品。國內也有類似產品，但對該類泵的流量脈動研究多處于理論分析和仿真分析階段，開展的試驗研究較少。

本研究主要通過理論計算、三維流場仿真和試驗測試的方法，對直線共軛內嚙合齒輪泵出口流量脈動特性進行分析。泵出口流量脈動測試試驗方法按照國際最新的流量脈動測試標準ISO 10767-1—2015執行[7]。

1 瞬時流量理論計算

采用掃過面積法[9]推導直線共軛內嚙合齒輪泵的瞬時流量計算公式。

圖1所示為直線共軛內嚙合齒輪泵的齒輪副嚙合截面圖，O1與O2分別為外齒輪和內齒圈的中心。

圖1 直線共軛內嚙合齒輪泵的齒輪副嚙合幾何示意圖Fig.1 Meshing geometry diagram of linear conjugate internal gear pump

由齒廓嚙合定律及直線共軛內嚙合齒輪泵的幾何關系可得：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

f=r1cosφ-L

(6)

(7)

L=(r1cosθ+r1sinθcosβ)sinβ

(8)

dV=dV1+dV2

(9)

式中，r1，r2—— 外齒輪與內齒圈的節圓半徑

ω1，ω2—— 外齒輪與內齒圈的角速度

α1，α2—— 外齒輪繞圓心O1轉過角度和內齒圈繞圓心O2轉過角度，順著外齒輪旋轉方向取正值

dV1，dV2—— 外齒輪和內齒圈在dt間內排出的油液體積

ra1，ra2—— 外齒輪和內齒圈的齒頂圓半徑

re1，re2—— 外齒輪和內齒圈的嚙合半徑

f—— 齒輪副節點到嚙合點的距離

L—— 外齒輪中心O1到外齒輪齒廓距離

β—— 外齒輪的齒形半角

b—— 齒寬

將式(1)～式(8)帶入式(9)并對時間t求導，可得：

(10)

式中，Qsh—— 直線共軛內嚙合齒輪泵的瞬時流量

外齒輪轉角對應的起始嚙合角[5]：

(11)

式中，e—— 外齒輪和內齒圈的中心距

對應的終止嚙合角：

(12)

直線共軛內嚙合齒輪泵的重合度為：

(13)

本研究采用的直線共軛內嚙合齒輪泵的基本參數見表1所示。

表1 直線共軛內嚙合齒輪泵的基本參數Tab.1 Basic parameters of linear conjugate internal gear pump

根據表1參數，設定外齒輪轉速為750 r/min，齒輪泵容積效率取0.9的情況下，可以繪制得到外齒輪旋轉一周的瞬時流量波形圖，如圖2所示。

從圖2可以看出，直線共軛內嚙合齒輪泵的出口瞬時流量每個周期內存在最小值和最大值。最小值位于排油終止嚙合角對應位置，則有：

圖2 直線共軛內嚙合齒輪泵出口瞬時流量理論計算曲線Fig.2 Theoretical calculation curve of linear conjugate internal gear pump outlet instantaneous flow

(14)

泵出口瞬時流量對α1求導，并令導數等于0，可解得：

(15)

此時可得瞬時流量最大值為：

(16)

泵出口平均流量為：

(17)

則直線共軛內嚙合齒輪泵的流量脈動率為：

(18)

從式(18)可以看出，僅考慮幾何因素的情況下，直線共軛內嚙合齒輪泵的流量脈動率與泵的轉速ω1無關。根據表1中的參數可以計算得到，該型泵的流量脈動率為4.38%。

當前一對齒尚未脫離嚙合，而后一對齒進入嚙合后，兩對齒之間將產生困油容積。困油期間，由于前一對齒尚未脫離嚙合，因此后一對齒實際上是從困油腔吸油(困油腔容積增大)而不是泵的吸油口吸油。同理，由于后一對齒已進入嚙合，前一對齒排出的油液實際上是進入困油腔(困油腔容積減小)而不是泵的出油口。因此，困油腔的容積變化取決于后一對齒吸出的油液體積和前一對齒排出的油液體積之差。又因為后一對齒吸出的油液體積等于其排出的油液體積，因此將困油過程中后進入嚙合的齒與先進入嚙合的齒排出的油液體積的差值稱為困油容積相對值。困油容積相對值與外齒輪轉角的關系為：

(19)

困油容積相對值隨外齒輪轉角變化的曲線如圖3所示。

圖3 困油容積相對值與外齒輪轉角關系Fig.3 Relation between trapped oil volume relative value and outer gear angle

可以看到，困油過程中，困油容積相對值始終為正數，表明后進入嚙合的齒排出的油液體積比先進入嚙合的齒排出的油液多，則困油腔的容積在不斷增大。因此困油腔內的壓力會不斷減小，困油過程中不存在高壓沖擊現象。這也是直線共軛內嚙合齒輪泵噪聲較小和流量脈動較小的重要原因之一。

2 仿真模型

本研究采用商用PumpLinx軟件進行三維流體有限元仿真，設置的主要仿真參數見表2。三維流體仿真模型見圖4。

仿真計算得到齒輪腔內壓力場云圖和泵內流體流線圖如圖5所示。

設置監測點如圖5a所示，監測困油腔的壓力變換情況，如圖6所示。可以看到困油腔的壓力始終沒有高于出口壓力7.5 MPa，說明困油腔不存在高壓壓力沖擊的情況，這與前文理論分析一致。

表2 直線共軛內嚙合齒輪泵的仿真參數Tab.2 Simulation parameters of linear conjugate internal gear pump

圖4 直線共軛內嚙合齒輪泵流體仿真三維模型Fig.4 3D fluid simulation model of linear conjugate internal gear pump

圖5 直線共軛內嚙合齒輪泵的壓力場云圖和流線圖Fig.5 Pressure field cloud diagram and streamline diagram of linear conjugate internal gear pump

圖6 直線共軛內嚙合齒輪泵困油腔壓力變化曲線Fig.6 Pressure change curve of trapped oil cavity of linear conjugate internal gear pump

3 試驗研究

直線共軛內嚙合齒輪泵的出口流量脈動測試試驗現場照片如圖7所示。流量脈動測試方法按照國際標準ISO 10767-1—2015中“第一部分：確定泵源流量脈動和阻抗的方法”的規定執行。

圖7 泵出口流量脈動測試試驗現場照片Fig.7 Pump outlet flow pulsation test sitepicture

3.1 試驗測試基本原理

泵出口流量脈動測試系統的液壓原理圖見圖8。測試管路的詳細原理見圖9所示。壓力脈動測試的基本方法是：分別調節加載閥1和加載閥2進行加載，分別記錄2個脈動壓力傳感器的時域數據，脈動壓力傳感器僅檢測壓力波動的相對值，不檢測絕對值；然后根據時域數據，通過快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform Algorithm，FFT)得到頻域數據；提取被測泵基頻到不低于10倍基頻對應的幅值和相位數據作為有效數據，通過式(1)～式(12)計算得到泵出口的流量脈動。圖9中參考管、連接管和延長管的內徑和長度應與被測泵匹配。本研究所用測試系統主要參數見表3。

圖8 泵出口流量脈動測試系統液壓原理圖Fig.8 Hydraulic schematic diagram of pump outlet flow pulsation test system

圖9 泵出口測試管路的詳細原理圖Fig.9 Detailed schematic diagram of pump outlet test pipeline

表3 泵出口壓力脈動測試系統主要參數Tab.3 Main parameters of pump outlet pressure pulsation test system

依據試驗測試值計算泵出口瞬時流量的公式[11-12]如下：

p0.i=Re(p0.i)+jIm(p0.i)

(20)

p1.i=Re(p1.i)+jIm(p1.i)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中，

c—— 管路內部聲速

B—— 液壓油彈性模量

ρ—— 液壓油密度

ωi—— 壓力脈動的角頻率，ωi=2πfi

fi—— 壓力脈動的第i次諧波頻率

r0—— 參考管路的內徑

σi—— 參考管路的聲波傳播系數

ξ(ωi) —— 非定常黏性摩擦效應的復系數

μ—— 液壓油的運動黏度

Zc.i—— 測試管路的特征阻抗

Qs.i—— 標準Norton模型下的第i次流量脈動諧波

Zs.i—— 標準Norton模型下的第i次泵源阻抗諧波

qt—— 泵出口流量脈動時域紋波

n—— 最高諧波次數，要求n≥10

Re —— 復數的實部

jIm —— 復數的虛部

3.2 試驗測試數據分析

圖10 脈動壓力傳感器原始采集信號Fig.10 Original acquisition signal of pulsating pressure sensor

從圖10可以看到，脈動壓力傳感器采集值存在低頻周期波動現象，頻率約為3 Hz。分析可能是由于加載閥閥芯節流口大小隨周期輕微變化導致加載壓力波動，與測試管路系統耦合后產生低頻干擾，雖然幅值較高但頻率遠低于泵的基頻(當泵轉速750 r/min 時，基頻為125 Hz)，因此不影響后續數據分析及測試結果。

對原始信號進行快速FFT變換后的頻域信號見圖11，可以看到基頻f為124.4 Hz，對應外齒輪的轉速為746.4 r/min，與設定值750 r/min基本一致。提取基頻及其倍頻對應的數據如圖12所示。為提高計算精度，本研究提取的最高頻率為16倍基頻。

通過圖12中的數據，可以計算得到標準Norton模型下的流量Qs.i和管路阻抗Zs.i的頻域特性如圖13和圖14所示。

圖11 壓力脈動傳感器原始信號進行FFT變換得到的頻域信號Fig.11 Frequency domain signal obtained by FFT transformation of original signal of pressure pulsation sensor

圖12 脈動壓力基頻及各階次倍頻諧波信號Fig.12 Fundamental frequency of pulsating pressure and harmonic signals of each order double frequency

從圖16可以看到，理論計算、三維流體有限元仿真和試驗測試得到的泵出口瞬時流量波動周期和波形趨勢基本一致。其中，理論計算瞬時流量時，容積效率取0.9。從試驗測試數據， 可以得到瞬時流量最大值和最小值分別為6.98 L/min和6.55 L/min，平均流量為6.77 L/min，可得流量脈動率為6.35%。

圖13 標準Norton模型下的流量頻域特性Fig.13 Test results of amplitude and phase spectra of flow ripple Qs in standard Norton model

圖14 標準Norton模型下的管路阻抗頻域特性Fig.14 Test results of amplitude and phase spectra of impedance Zs in standard Norton model

試驗測試值較理論計算值大，分析是因為流量脈動除受泵本身幾何因素的影響以外，還受油液彈性模量、泵的內泄漏和齒腔內高低壓轉換產生的回流等多種因素的綜合影響。

三維有限元仿真數據的流量脈動最大，分析是由于三維有限元仿真雖然考慮了油液彈性模量和泵的內泄漏等因素， 但沒有考慮卸荷孔和卸荷槽等結構對流量脈動產生的削弱作用[13-14]。

圖15 修正模型下的泵出口流量頻域特性Fig.15 Test results of amplitude and phase spectra of pump flow ripple Qs* in modified model

圖16 泵出口流量脈動時域特性Fig.16 Measured time history waveform of source flow ripple

理論計算曲線與三維有限元仿真曲線的重合性比較好，但與試驗測試曲線的重合性稍差，分析是由于試驗時選擇的測試管路內徑為26 mm，大于標準要求的14 mm，導致測試管路容腔較大，脈動壓力的波動范圍較小。而選擇的脈動壓力傳感器量程和精度有限，僅測得基頻對應的幅值比較理想，各階倍頻對應的幅值太小，測試值不理想。因此，后續通過改善測試管路內徑與被測泵的匹配性，可以進一步提高試驗測試的精確度。

4 結論

本研究通過理論推導方法給出了直線共軛內嚙合齒輪泵的出口瞬時流量和困油腔容積相對值計算公式。通過建立三維流體有限元模型和仿真計算的方法給出了直線共軛內嚙合齒輪泵的內部壓力場云圖、流線圖和困油腔的壓力變換曲線。搭建流量脈動測試系統，通過試驗測試方法得到了直線共軛內嚙合齒輪泵的出口流量脈動數值。試驗測試某型排量10 mL/r的直線共軛內嚙合齒輪泵，在轉速750 r/min和出口壓力7.5 MPa的情況下，流量脈動率約為6.35%，流量脈動較小，適合應用于低噪聲電靜壓伺服系統及其他類似的場合。