定點問題在圓錐曲線背景下的拓展探究

張秀春

一、教學目標：通過探求橢圓與直線綜合問題的定點問題，體驗圓錐曲線中變化中的不變性，發現特殊中的一般性，學會運用類比猜想探究問題，并加以拓展與推廣，培養直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養。

二、教學重點與難點

（1）教學重點：通過探求橢圓與直線綜合問題的定點問題，梳理圓錐曲線中動直線過定點問題的常見思路，在具體問題中學會靈活的設參、用參、消參，綜合、靈活地使用轉化與化歸、數形結合、特殊到一般、設而不求、消元等基本思想方法。

（2）教學難點：處理參數的技巧及求解問題的方法，提高運用類比方法探究一般性問題的能力。

三、教學方式：啟發探究式

四、教學過程：

【環節1】問題引入

1、若直線過定點，有什么特征？（什么在變化，什么不變）

2、已知直線系方程，如何判斷直線是否過定點？

引例、下列直線是否經過一個定點？若是，求出該定點;若不是，請說明理由。

【問題1】（變式拓展）能否將例1的條件、結論與方法進行變式推廣？

【問題1-1】將例1中的 改成 ，結論如何呢？

變式1：直線 與橢圓E： 交于 （不與上下頂點 重合）兩點，若 ，判斷直線 是否經過定點？若是，求出定點的坐標;若不是，說明理由

【問題1-2】將例1中的 改成 ，（t為常數）結論如何呢？

拓展1：直線 與橢圓E; 交于 （不與上下頂點 重合）兩點，若 （t為常數），判斷直線 是否經過定點？若是，求出定點的坐標;若不是，說明理由

問題拓展：（透過條件看本質）

【問題2】如果把例1的已知條件中的斜率之和為定值改成斜率之積為定值，結果又如何？

【問題2-1】將例2中的 改成 ，結論如何呢？

變式2：過橢圓 的上頂點A作兩條直線分別交橢圓于M、N（不與上下頂點 重合）兩點，且 ，則直線MN恒過定點嗎？

【問題2-2】若例2中 的改成 ，結論又如何？

拓展2：過橢圓 的上頂點A作兩條直線分別交橢圓于M、N（不同于上下頂點）兩點，且 （且不等于 ），則直線MN恒過定點嗎？

【問題3】若例2中的橢圓 的上頂點A改成橢圓上任一已知點P ，結果如何？

【拓展3】過橢圓 上一已知點P 作兩條直線交橢圓于M、N（不同于P點）兩點，若 （且不等于 ），則直線MN是否經過定點？

【拓展4】歸納總結：過橢圓 上一點P 作兩條直線交橢圓于M、N（不與點P重合）兩點，若? ，（或 ），則直線MN必經過一定點。

設計意圖：

通過一步步引領學生感悟問題的一般性，給學生創設探索問題的深度和廣度，通過一系列的問題探究，培養學生養成“從經驗中探索規律”的意識，直觀形象的動態演示，引領學生感悟思想，養成“從思想的高度考察具體事例”的意識和“透過現象看本質”的能力;同時引導學生學會發現問題和探索問題一般性的意識，培養學生分析問題、解決問題的能力。

【環節4】課堂小結

【問題4】你能簡單說說本節課的收獲嗎？

師生共同概括本節課的學習要點：

1：定點問題及其本質和拓展

2：數學思想方法：從特殊到一般、數形結合法、先猜后證法。

3：發現問題、發現問題、解決問題的能力和探究問題意識。

【課后作業及目標檢測略】96891B18-0265-4205-8155-DA70F665DDAF