含有初始彎曲的功能梯度輸流管的平衡分岔分析

宮亞飛， 甄亞欣

(華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 102206)

在實(shí)際的工程問(wèn)題中，流體流動(dòng)引發(fā)輸流管系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象非常普遍。1987年，Pa?doussis[1]對(duì)輸流管系統(tǒng)的線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了綜述。考慮泊松耦合和摩擦耦合，曾國(guó)華[2]基于中線可伸長(zhǎng)定理,應(yīng)用哈密爾頓變分原理推導(dǎo)了輸流管道軸向以及橫向運(yùn)動(dòng)方程。基于高階梁模型，朱晨光等[3]推導(dǎo)了管內(nèi)外表面剪應(yīng)力為零的邊界條件下輸流管系統(tǒng)的控制方程。

日本科學(xué)家井平敏雄于1984年提出功能梯度材料(functionally graded material)的概念。功能梯度材料是一種新型復(fù)合材料，其體積分?jǐn)?shù)連續(xù)平穩(wěn)變化，因此沒(méi)有明顯的材料界面[4]。功能梯度材料具有抗高溫且保持結(jié)構(gòu)完整性等優(yōu)良性質(zhì)。現(xiàn)如今，功能梯度材料已廣泛應(yīng)用到很多領(lǐng)域[5]。鄒儉鵬等[6-9]也針對(duì)功能梯度輸流管的非線性行為進(jìn)行了很多有意義的研究。

均勻直流管常用于對(duì)輸流管系統(tǒng)的研究，但在現(xiàn)實(shí)生活中，由于制造、安裝等問(wèn)題，大多數(shù)管道都是含有初始彎曲的管道[10]。因此對(duì)含有初始彎曲的輸流管道的研究是非常必要的。Li等[11]對(duì)含有幾何缺陷的輸送脈動(dòng)流體管道的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。在油氣開采過(guò)程中，深海油氣輸送結(jié)構(gòu)得到了廣泛的應(yīng)用，張澤超等[12]分析了初始彎曲和管道長(zhǎng)度等因素對(duì)系統(tǒng)屈曲過(guò)程中動(dòng)態(tài)效應(yīng)的產(chǎn)生及影響的變化規(guī)律。

輸流管系統(tǒng)流速較高時(shí)，通常會(huì)產(chǎn)生屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象[13-14]，如大型水壓機(jī)中的壓力管道以及核電廠中的熱交換管道都存在此現(xiàn)象。高國(guó)華等[15]通過(guò)對(duì)微元體變形進(jìn)行受力分析，推導(dǎo)出彎曲井眼中受壓管柱的屈曲方程。高德利等[16]基于管柱屈曲微分方程，給出在彎扭載荷作用下受井眼約束管柱的正弦屈曲和螺旋屈曲的臨界載荷。劉祥康等[17]的研究為延長(zhǎng)油管柱壽命和優(yōu)化現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)工藝提供了理論依據(jù)。

目前，針對(duì)有初始彎曲的功能梯度輸液管的屈曲分岔行為分析尚不多見(jiàn)。本文基于哈密爾頓原理和歐拉-伯努利梁理論，研究了兩端固支邊界下含有初始彎曲的功能梯度輸流管屈曲行為，給出了超臨界平衡位形和臨界流速的解析表達(dá)式，探究了功能梯度材料及初始彎曲幅值等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。

1 數(shù)學(xué)建模

對(duì)含有初始彎曲的功能梯度輸流管進(jìn)行建模：其中管道內(nèi)、外半徑分別表示為rl、ro，平均半徑為r。

假設(shè)功能梯度管道的材料性能服從冪律分布[18]

E(r)=ViEi+VoEo，

ρp(r)=Viρi+Voρo

(1)

式中：E是功能梯度管道楊氏模量;ρp是功能梯度材料的組合密度;下標(biāo)o和i分別表示外層和內(nèi)層。

材料的體積分?jǐn)?shù)表示為

(2)

式中,n為冪律指數(shù)。

圖1給出了含有初始彎曲的功能梯度輸液管的示意圖，其中x和z分別表示軸坐標(biāo)和徑向坐標(biāo)。L表示管道的長(zhǎng)度，t是時(shí)間坐標(biāo)。假定流體為無(wú)黏不可壓縮流體，Γ為流速。v0表示管道的初始彎曲。

圖1 兩端固定支撐的功能梯度輸流管示意圖Fig.1 Schematic diagram of a functionally graded transport pipe with fixed ends

管道動(dòng)能與流體動(dòng)能可以表示為

(3)

(4)

式中：u(x,t)和v(x,t)分別表示管道的縱、橫向位移；ρf表示流體密度；Ap為管道截面積;Af表示流體的橫截面積;下標(biāo)x和t分別表示關(guān)于x和t的偏導(dǎo)數(shù)。

工程應(yīng)變?chǔ)?可以表示為[19]

(5)

式中，ds0和ds分別表示變形前后梁中心線的長(zhǎng)度微元。

(6)

根據(jù)梁的一階剪切變形理論，彎曲應(yīng)變?chǔ)舃表示為

εb=-zv,xx

(7)

總應(yīng)變由式(5)和式(7)中工程應(yīng)變和彎曲應(yīng)變之和可得

(8)

管道的彈性本構(gòu)關(guān)系為

σx=Eεx

(9)

變形功的變分為

δW=-?VσxδεxdV

(10)

由初始張力P0引起的管道的勢(shì)能和流體壓力引起的勢(shì)能分別為

(11)

(12)

(13)

式中，p為單位面積流體壓力。

基于哈密頓原理

(14)

將式(3)、(4)、(10)、(12)、(13)代入到式(14)，導(dǎo)出了含有初始彎曲的輸流管道的非線性控制方程

(15)

式中，Ip為慣性矩。EAp和EIp可以表示為

由于兩端固定支撐，管道的縱向位移遠(yuǎn)小于橫向位移，因此假定u=o(v2)。令

(16)

將式(16)積分兩次并代入邊界條件可以得到

(17)

將式(17)代入到式(15)中，可以得到系統(tǒng)橫向振動(dòng)積分-偏微分型動(dòng)力學(xué)方程

(ρpAp+ρfAf)v,tt+2ΓρfAfv,xt+ρfAfΓ2v,xx-

(Afp+P0)(v0,xx+v,xx)+EIv,xxxx-

(18)

固支邊界條件為

(19)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入無(wú)量綱參數(shù)

(20)

將式(20)代入到式(18)中推導(dǎo)出輸流管橫向振動(dòng)無(wú)量綱控制方程為

v,tt+2γMrv,xt+γ2v,xx-Λ(v,xx+v0,xx)+v,xxxx=

(21)

邊界條件為

(22)

2 直流管道的非平凡靜態(tài)平衡位形

由于系統(tǒng)的平衡位形僅依賴于空間坐標(biāo)，忽略控制方程中時(shí)間t和v0，輸流管平衡方程轉(zhuǎn)化為

(23)

其邊界條件為

(24)

將式(23)整理為

v,xxxx+λ2v,xx=0

(25)

其中：

(26)

由式(24)，設(shè)式(25)的解為

v(x)=C1[1-cos(2mπx)]

(27)

將式(27)代入式(26)中可得

(28)

將式(24)與式(25)代入到式(22)中解得

(29)

由此得到功能梯度輸液管平衡位形的解析解

v(x)=

(30)

由式(30)可得功能梯度輸液管的臨界流速表達(dá)式

(31)

取表1中的參數(shù)值，繪制不同冪律指數(shù)下，管道中點(diǎn)隨流速變化的平衡位形圖。從圖2可以得到，隨著冪律指數(shù)的增大，系統(tǒng)屈曲失穩(wěn)的臨界流速變小。

表1 物理參數(shù)Tab.1 Physical parameter

圖2 不同冪律指數(shù)下位移隨流速變化的分岔圖(直流管)Fig.2 Bifurcation solutions of mid-point displacement with fluid velocity for different power law exponents (straight pipe)

根據(jù)臨界流速的表達(dá)式(30)，繪制臨界流速隨功能梯度材料的冪律指數(shù)的變化圖。顯然圖3驗(yàn)證了圖2的結(jié)論，即冪律指數(shù)越大時(shí)臨界流速越小。且當(dāng)冪律指數(shù)較小時(shí)，對(duì)臨界流速的影響越明顯。

圖3 臨界流速隨冪律指數(shù)的變化圖(直流管)Fig.3 Critical velocity variation with power law exponent (straight pipe)

取定n=5，圖4和圖5描述了管道長(zhǎng)度和初始軸向力對(duì)管道平衡位形的影響。從圖4、圖5可以看出，隨著管道長(zhǎng)度和初始軸向張力的增大，系統(tǒng)的臨界流速減小。

圖4 不同管道長(zhǎng)度下位移隨流速變化的分岔圖(直流管)Fig.4 Bifurcation solutions of mid-point displacement with fluid velocity for different power law exponents different pipe lengths (straight pipe)

圖5 不同初始張力下中點(diǎn)位移隨流速變化的分岔圖(直流管)Fig.5 Bifurcation solutions of mid-point displacement with fluid velocity for different initial axial force (straight pipe)

圖6和圖7研究了不同冪律指數(shù)下，管道中心點(diǎn)的位移及系統(tǒng)臨界流速隨流體密度的變化。圖6表明，冪律指數(shù)越大，系統(tǒng)分岔點(diǎn)越小；在圖7中臨界流速隨流體密度的增大而減小，驗(yàn)證了圖6中所得結(jié)論。

圖6 不同冪律指數(shù)下位移隨流體密度變化的分岔圖(直流管)Fig.6 Bifurcation solutions of mid-point displacement with fluid density for different power law exponents (straight pipe)

圖7 不同冪律指數(shù)下臨界流速隨流體密度的變化圖(直流管)Fig.7 Critical velocity variation with fluid density for different power law exponent (straight pipe)

3 含有初始彎曲的輸流管道的非平凡平衡位形

忽略時(shí)間t，式(18)簡(jiǎn)化為含有初始彎曲的歐拉-伯努利梁靜力平衡方程

γ2v,xx+v,xxxx-Λ(v,xx+v0,xx)-

(32)

將式(32)整理為

v,xxxx+λ2v,xx=(H2+Λ)v0,xx

(33)

其中

(34)

λ2=γ2-Λ-H2

(35)

為了描述功能梯度管道的初始彎曲，我們選擇無(wú)量綱函數(shù)

v0=A0[1-cos(2πx)]

(36)

式(33)的解可以表示為

(37)

將式(37)與式(35)聯(lián)立，得到

(38)

為了得到臨界屈曲速度的解析解，將式(37)代入到式(33)中，可得關(guān)于C2的一元三次方程為

(39)

由一元三次方程根的判別式，給定參數(shù)A0等可導(dǎo)出確定的臨界流速

(40)

其中

d=4A0Λπ2

(41)

選取表1中的數(shù)據(jù)，對(duì)含有初始彎曲的功能梯度輸液管進(jìn)行屈曲分析。

在圖8中，選取初始彎曲振幅A0=0.001，根據(jù)式(38)繪制屈曲分析圖，結(jié)果表明：隨著流速的增大，當(dāng)冪律指數(shù)n=1時(shí)比n=5時(shí)穩(wěn)定。

圖8 不同冪律指數(shù)下的分岔對(duì)比圖(有初始彎曲)Fig.8 Bifurcation comparison for different power-law exponents (with initial curvature)

圖9描繪了不同初始彎曲幅值下，冪律指數(shù)對(duì)臨界流速的影響。從圖9可以看出，隨著冪律指數(shù)的增大，系統(tǒng)的臨界流速減小，且隨著冪律指數(shù)對(duì)臨界流速的影響隨冪律指數(shù)的增大而減小。同時(shí)，冪律指數(shù)不變時(shí)，初始彎曲振幅越大，臨界流速越小。

圖9 不同初始彎曲幅值下臨界流速隨冪律指數(shù)的變化圖(有初始彎曲)Fig.9 Critical velocity variation with power-law exponent for different initial curvature(with initial curvature)

選取確定的流速Γ=100 m/s以及初始彎曲的振幅A0=0.001,圖10描述了管道長(zhǎng)度對(duì)分岔點(diǎn)的影響。結(jié)果表明：管道長(zhǎng)度取L=11 m時(shí)比取L=13 m時(shí)穩(wěn)定，即管道越短，輸液管系統(tǒng)越穩(wěn)定。

圖10 不同管道長(zhǎng)度下位移隨流速變化的分岔圖(有初始彎曲)Fig.10 Bifurcation solutions of mid-point displacement with fluid velocity for different pipe lengths (with initial curvature)

由于初始彎曲幅值較小時(shí)臨界流速數(shù)值差距不明顯，為了更清晰地體現(xiàn)出初始彎曲項(xiàng)對(duì)管道臨界流速的影響，因此選用表2呈現(xiàn)初始彎曲對(duì)系統(tǒng)臨界流速的影響。結(jié)果表示：直流管比具有初始彎曲的輸流管道更穩(wěn)定，與圖9所得結(jié)論一致。

表2 不同初始彎曲幅值下臨界流速隨冪律指數(shù)的變化Tab.2 Variation of critical velocity with power law exponent under different initial curvature amplitude

圖11繪制了兩端固支和兩端簡(jiǎn)支兩種邊界條件下含有初始缺陷的功能梯度輸流管在不同冪律指數(shù)條件下臨界流速隨初始彎曲幅值的變化趨勢(shì)。結(jié)果顯示，兩端簡(jiǎn)支條件下，臨界流速隨初始彎曲的增大而減小；同時(shí)冪律指數(shù)越大臨界流速越小，管道越不穩(wěn)定；兩端固支條件下輸流管模型臨界流速趨勢(shì)同兩端簡(jiǎn)支條件下變化趨勢(shì)一致，且兩端簡(jiǎn)支條件下臨界流速恒大于兩端固支條件下，即兩端固支情況下輸流管系統(tǒng)更為穩(wěn)定。

圖11 臨界流速隨初始彎曲幅值的變化圖(有初始彎曲)Fig.11 Critical velocity variation with initial curvature amplitude (with initial curvature)

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)含有初始彎曲的功能梯度輸流管平衡分岔問(wèn)題進(jìn)行解析研究，得到如下結(jié)論：

(1) 應(yīng)用廣義哈密頓原理以及歐拉-伯努利梁理論導(dǎo)出了固支邊界條件下含有初始彎曲的功能梯度輸流管的縱橫耦合的非線性方程。

(2) 對(duì)不含初始缺陷的功能梯度輸流管模型進(jìn)行解析求解，給出了輸流管道非平凡平衡位形及臨界流速的解析表達(dá)式，并分析了各物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔的影響。結(jié)果顯示隨著冪律指數(shù)、管道長(zhǎng)度以及初始?jí)毫Φ脑龃竽Ｐ偷姆植睃c(diǎn)越小，且流體臨界流速隨著冪律指數(shù)以及流體密度的增大而減小。

(3) 推導(dǎo)出含有初始彎曲的功能梯度輸流管模型的非平凡平衡位形及臨界流速的解析表達(dá)式，并分析各物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。結(jié)果顯示隨著冪律指數(shù)、管道長(zhǎng)度的增大模型的分岔點(diǎn)變大。流體臨界流速隨著冪律指數(shù)的增大逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值。

(4) 將直流管與含有初始彎曲的輸流管系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明初始曲率越小，臨界流速越大，管道越穩(wěn)定。當(dāng)初始彎曲幅值為0的時(shí)候，臨界流速最大，管道分岔發(fā)生得越晚。

(5) 選取不同冪律指數(shù)，在兩種邊界條件下對(duì)輸流管系統(tǒng)進(jìn)行研究。結(jié)果顯示，臨界流速隨著初始曲率的增大逐漸變?yōu)?；兩端固支條件下臨界流速恒大于兩端簡(jiǎn)支，即兩端固支比兩端簡(jiǎn)支更加穩(wěn)定。