基于壓縮感知的旋轉聲源多普勒效應消除方法

張小正， 李銀龍， 張永斌， 畢傳興

(合肥工業大學 噪聲振動工程研究所， 合肥 230009)

在工業生產領域中，零部件工作狀態下的噪聲通常作為設備故障監測與運行維護的重要指標。但是直接采集處于旋轉運動狀態下的零部件(如螺旋槳、鼓風機和風扇等)所產生的聲信號，往往會得到錯誤的分析結果。該錯誤結果產生的根本原因在于靜止測點與旋轉零部件之間存在由相對運動引起的多普勒效應，該效應會造成所采集聲信號的幅值畸變和頻散現象。因此，消除旋轉聲源的多普勒效應是對旋轉機械設備進行工作狀態有效監測與噪聲源準確定位的前提。當前用于消除旋轉聲源多普勒效應的方法大致分為頻域方法與時域方法兩類，Lowis等[1-5]采用頻域旋轉框架技術消除旋轉聲源的多普勒效應，該技術通過對環形靜止傳聲器陣列所采集的聲壓頻譜進行旋轉模態分解，求解出與聲源同步旋轉的虛擬旋轉傳聲器位置處的聲壓頻譜，因為旋轉聲源同虛擬旋轉傳聲器之間無相對運動，由此完成了多普勒效應的消除，之后即可通過頻域波束形成等技術直接進行旋轉聲源識別。在時域處理方面，Dougherty等[6]和Herold等[7]提出了時域插值方法，該方法使環形傳聲器陣列虛擬地和聲源同步旋轉，之后計算各個時刻下虛擬旋轉傳聲器所處的位置，借助于與虛擬旋轉傳聲器相鄰的真實靜止傳聲器所測得的聲壓信號進行線性插值，求解出虛擬旋轉傳聲器的聲壓信號，在時域內實現多普勒效應的消除。Ma等[8-9]對上述兩種多普勒效應消除方法的理論進行了對比，提出頻域旋轉框架技術本質上是傅里葉插值方法，而時域插值法為線性插值方法。

在上述消除旋轉聲源多普勒效應的方法中，頻域旋轉框架技術在周向均勻布置的傳聲器個數是所分析最高周向模態階數的兩倍，即應當滿足采樣定理；時域插值方法的處理效果依賴于周向均布傳聲器的數量，在傳聲器數量較少時往往存在較大的誤差。因此，現有的兩種方法都需要在周向布置較多的傳聲器才能獲得理想的多普勒效應消除效果，這不僅會導致測量經濟成本的提升，還會大大增加測量工作量。

針對現有消除旋轉聲源多普勒效應方法的不足，本文提出了一種基于壓縮感知理論的旋轉聲源多普勒效應消除方法，該方法通過引入壓縮感知理論，突破了采樣定理的限制，因此該方法可以減少傳聲器的使用數量，且不要求傳聲器必須均勻分布，同時該方法還可以保證精度較高的多普勒效應消除結果。

1 基于壓縮感知的旋轉聲源多普勒效應消除理論

圖1 測量陣列與旋轉聲源在柱坐標系下的示意圖Fig.1 Sketch of the microphone array and rotating sound source in cylindrical coordinates

假定兩坐標系在t=0時刻重合，則第n個測點在兩坐標系下的坐標對應關系為

(1)

將靜止柱坐標系下各測點在t時刻所接收到的含有多普勒效應的聲壓信號寫成列向量Ps(rs,φs,zs,t)，對其進行周向模態展開得到

Ps(rs,φs,zs,t)=ΨsAm(t)=

(2)

式中：Ψs為靜止柱坐標系下N×N階空間變換矩陣；Am(t)為t時刻下周向模態幅值；j是虛數單位；φn(n=1,2,…,N)表示第n個測點的周向角度；mn(n=1,2,…,N)代表第n個周向模態階數。根據Shannon-Nyquist采樣定理，周向模態階數mn應當滿足下式

-|1-N|/2≤mn≤N/2

(3)

從N個測點中隨機選取H個安裝傳聲器，通過隨機1-0矩陣來構建H×N階壓縮感知測量矩陣B

(4)

則H個傳聲器所測得的聲壓信號可以寫為

PH(rs,φs,zs,t)=BPs(rs,φs,zs,t)=

BΨsAm(t)

(5)

按照壓縮感知理論[10-12]，BΨs只有滿足約束等距特性，才能確保Am(t)得到精確重構。Candes等[13-14]提出，若BΨs大概率滿足約束等距特性，則測量矩陣B的行數H滿足

H≥CKlg(N/K)

(6)

式中：K為信號稀疏度；C為感知常數。Huang[15]針對感知常數的取值與重構成功率進行了數值仿真，結果表明感知常數取3已經有較高重構成功率，且隨著數值的增大，重構成功率越高。肖志成等[16]同樣根據數值試驗結果對C的取值進行評定，在信號稀疏度一定的情況下，感知常數超過3.5時，重構的成功率大于90%。

基于等式(5)，通過迭代加權方法求解如下l1-范數最小化問題

(7)

(1) 設置最大迭代次數gmax，輸入PH(rs,φs,zs,t)與BΨs；

(4) 將加權系數矩陣中第n個對角線元素更新為

(8)

式中引入δ>0是為了避免出現所求模態幅值為0的情況；

(5) 更新迭代次數g=g+1，如果迭代次數g達到所設置的最大迭代次數，則停止迭代，否則返回至步驟(3)繼續迭代。最終輸出結果是Am(t)。

基于旋轉柱坐標系和靜止柱坐標系之間的關系，以及重構出的周向模態幅值，可以求解出虛擬傳聲器采集到的聲壓信號

Pu(rs,φs,zs,t)=

(9)

由于虛擬傳聲器與聲源同步旋轉，因此其采集到的聲壓信號不包含多普勒效應，因而實現了多普勒效應的消除。

2 數值仿真

為了驗證文中所提方法的有效性，下面進行數值仿真探討。在仿真中使用一個單極子聲源作為旋轉聲源，聲源的起始位置在如圖1所示的靜止柱坐標系下為(0.2 m, 0 rad, 0.05 m)，旋轉角速度Ω=120 π rad/s，聲源輻射信號的表達式寫為

Q(t)=sin(2πft)

(10)

式中，聲源頻率f為500 Hz。周向均勻分布的36個測點組成環形測量陣列，陣列位于zs=0的平面上，陣列的中心即為靜止柱坐標系的原心，陣列的半徑設置為0.3 m，陣列與聲源旋轉面之間的間距設置為0.05 m。從36個測點中隨機選取15個測點布置傳聲器，基于所提方法完成多普勒效應的消除。時域信號的采樣頻率設置為12.8 kHz。

通常情況下，為了獲得聲壓信號的各階周向模態幅值，應遵循Shannon-Nyquist采樣定理在周向均勻布置傳聲器。然而基于壓縮感知的理論，可以突破采樣定律，通過隨機布置較少的傳聲器來重構各個模態階數所對應的模態幅值。如圖2所示，按照Shannon-Nyquist采樣定理周向均勻布置36個測點和基于壓縮感知的原理隨機設置15個測點，在0.78 ms時各模態階數所對應的模態幅值，由圖中可以得知，基于壓縮感知原理可以在較少測點的條件下，精準識別主要模態階數，同時重構出各模態階數的幅值。

圖2 均布36個測點與隨機選取15個測點模態幅值對比Fig.2 Comparison of mode amplitude between 36 measurement points uniformly distributed and 15 measurement points randomly selected

此次數值仿真選取測點1(0.3 m, 4 π/9 rad, 0 m)和測點2(0.3 m, 13 π/9 rad, 0 m)對聲壓信號進行比較。圖3(a)和圖3(b)分別是測點1和測點2處的聲壓時域信號對比圖。從圖中可以看出，直接測量得到的聲壓信號在時域內存在由多普勒效應導致的幅值畸變現象，基于壓縮感知的原理隨機選取15個測點同遵循Shannon-Nyquist采樣定理均布36個測點在消除多普勒效應的效果上基本一致，都能夠修正信號在時域內的幅值畸變現象。

(a) 測點1

(b) 測點2圖3 兩測點處聲壓時域信號對比Fig.3 Comparison of sound pressure signals at two measurement points

圖4(a)和圖4(b)分別為測點1和測點2處的聲壓頻譜對比圖。從圖中可以看出，直接測量得到的聲壓頻譜存在因多普勒效應導致的頻散與幅值畸變現象，基于壓縮感知的原理隨機選取15個測點同遵循Shannon-Nyquist采樣定理均布36個測點都能夠實現較為理想的多普勒效應消除效果，可以修正聲壓頻譜的頻散和幅值畸變現象。

(a) 測點1

(b) 測點2圖4 兩測點處聲壓頻譜對比Fig.4 Comparison of sound pressure spectra at two measurement points

在測點布置方式相同的情況下，將本文的方法同現有的時域插值方法進行信號恢復對比，選取測點1處的信號進行分析。圖5(a)為兩種方法的時域信號比較，從中可看出，時域插值法相較于本文所提方法在幅值恢復上同理論信號有較大偏差，從圖5(b)的信號頻譜對比結果中也能直接得出，時域插值法無法較好地消除多普勒效應引起的頻散現象，并且500 Hz對應的幅值和理論信號相比有明顯失真，而本文所提方法可有效解決因多普勒效應導致的信號幅值畸變和頻散問題。

(a) 時域聲壓信號

(b) 聲壓信號頻譜圖5 基于壓縮感知的多普勒效應消除方法和時域插值法的信號恢復對比Fig.5 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

為了進一步探討本文所提方法的抗噪聲能力，在不同信噪比條件下，對此次仿真所使用單頻信號在500 Hz時對應的幅值恢復誤差進行評定，恢復誤差Er計算公式為

(11)

式中：pt是聲源靜止時理論信號的幅值；pc為恢復后的信號幅值。如圖6所示，在信噪比范圍為20～35 dB的仿真條件下，測點1位置處的信號幅值恢復誤差始終維持在較低水平，這表明所提方法具有一定的抗噪聲能力。

圖6 不同信噪比下信號的恢復誤差Fig.6 Signal recovering errors under different signal-to- noise ratios

從數值仿真的效果來看，本文所提方法在使用較少傳聲器且隨機布置的條件下可以完成多普勒效應的消除，同遵循Shannon-Nyquist采樣定理周向均勻布置傳聲器的方法對比有基本相同的處理效果。并且和時域插值法比較可知，本文的方法能更好地消除多普勒效應帶來的信號幅值畸變和頻散問題。同時，此方法在不同信噪比條件下仍能維持較小的恢復誤差，證明所提方法具備一定的抗噪聲能力。

3 試驗研究

為了進一步驗證本文所提方法的有效性，采用兩個旋轉音箱進行試驗研究。此次試驗在半消聲室內進行，兩個音箱固定在電機上作為旋轉聲源，聲源旋轉半徑為0.16 m，電機旋轉角速度是8.8 π rad/s，兩聲源輻射的聲信號都設置為500 Hz的正弦信號。試驗所使用是北京聲望MPA416系列的1/4英寸傳聲器，此傳聲器的頻率響應是20 Hz～20 kHz。如圖7(a)所示，測量陣列為一個環形陣列，周向均勻布置36個傳聲器，陣列半徑是0.4 m，陣列同聲源旋轉面之間的間距為0.05 m，具體的試驗布置場景如圖7(b)。試驗的采樣頻率設定為25.6 kHz，本次試驗從均勻布置的36個傳聲器中隨機選取15個進行分析，基于15個傳聲器所采集的數據完成多普勒效應的消除。

(a) 測量陣列

(b) 試驗情景圖7 試驗布置圖Fig.7 Test setup

圖8展示了試驗中均布36個傳聲器與隨機選取其中15個傳聲器在0.025 s時得到的各模態階數對應的模態幅值，從圖中可以看出，基于壓縮感知的方法隨機選取15個傳聲器可以重構出主要模態階數的幅值。

圖8 均布36個傳聲器與隨機選取15個傳聲器模態幅值對比Fig.8 Comparison of mode amplitude between 36 microphones uniformly distributed and 15 microphones randomlyselected

此次試驗選取傳聲器1(0.4 m, π/2 rad, 0 m)和傳聲器2(0.4 m, 17 π/18 rad, 0 m)對聲壓信號進行對比。圖9(a)和圖9(b)分別是傳聲器1和傳聲器2處的聲壓時域信號對比圖。由圖可知，直接測得的聲壓信號在時域內表現出明顯的幅值畸變現象，隨機選取15個傳聲器和均布36個傳聲器均能消除多普勒效應引起的幅值畸變，且二者有基本相同的修正效果。

(a) 傳聲器1

(b) 傳聲器2圖9 兩傳聲器聲壓時域信號對比Fig.9 Comparison of sound pressure signals at two microphones

圖10(a)和圖10(b)分別為傳聲器1和傳聲器2的聲壓頻譜對比圖。從頻譜對比可知，直接測量獲取的聲壓頻譜有明顯的頻散和幅值畸變現象，采用本文提出的方法能有效修正上述現象，且同周向均布36個傳聲器的方法有相似的處理效果。

(a) 傳聲器1

(b) 傳聲器2圖10 兩傳聲器聲壓頻譜對比Fig.10 Comparison of sound pressure spectra at two microphones

為了進一步證明本方法的信號恢復優勢，采用15個傳聲器在相同布置的條件下，比較本文方法和時域插值方法在傳聲器1處的信號恢復結果。從圖11(a)可知，使用時域插值方法所恢復的時域信號同理論信號相比有很大誤差，而本文方法恢復出的信號更接近理論值。由圖11(b)的信號頻譜比較可得，時域插值方法無法準確重建出真實的幅值，而本文所提方法能有效消除多普勒效應的影響，得到的信號與理論信號幾乎一致。

(a) 時域聲壓信號

(b) 聲壓信號頻譜圖11 時域插值法和基于壓縮感知的多普勒效應消除方法的信號重建對比Fig.11 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

此次試驗結果進一步驗證了本文所提方法的正確性，在實際應用中能夠基于壓縮感知的理論使用較少傳聲器完成多普勒效應的消除。

4 結 論

本文對消除旋轉聲源多普勒效應的方法進行研究，提出了一種基于壓縮感知理論的多普勒效應消除方法。該方法采用少量且隨機分布的傳聲器準確重構出信號的各階模態幅值，之后借助于靜止柱坐標系和旋轉柱坐標系之間的運動關系，求解獲得旋轉框架下不含多普勒效應的聲信號。文中通過數值仿真和試驗研究對所提方法的有效性進行驗證，結果表明采用較少傳聲器隨機布置的方法同基于采樣定理均勻布置傳聲器的方法在消除多普勒效應的效果上基本一致。因此本文所提方法可以在保證多普勒效應消除效果的同時，降低測量成本和測量工作量。