基于DBSCAN算法的改進確定-隨機子空間模態參數識別算法

2022-06-17 03:04:02單豪良陳永高孫澤陽

振動與沖擊 2022年11期

單豪良，陳永高，孫澤陽

(1.浙江工業職業技術學院，浙江紹興 312000； 2.東南大學土木工程學院，南京 211189)

隨著橋梁健康檢測系統[1]的不斷發展和完善，現階段，幾乎所有大型橋梁結構上均布置了一套完整的檢測系統。該檢測系統的基本原理是，首先通過布置于橋梁結構上不同位置的傳感器采集該結構的各種響應信號[2]；其次將采集的響應信號作為某種數學算法的輸入以實現對該結構的模態參數識別[3]，獲取對應的固有頻率值、阻尼比及模態振型；最后對所得模態參數結果進行對比分析，以判別該結構的健康狀態。可見橋梁結構健康檢測系統的核心計算算法在于模態參數識別算法，不同的識別算法對應著不同的識別進度，以致直接影響結構健康狀態的評估結果。

目前，已被廣泛運用于橋梁結構的參數識別算法有兩種，分別是隨機子空間算法(stochastic subspace identification,SSI)[4]和確定隨機子空間系統識別方法(combined determine-stochastic subspace identification,CDSI)[5]。通過對比兩種算法的基本原理，可知CDSI算法是基于SSI算法所得，實際應用中因該算法不僅能夠考慮結構的輸入信號和輸出信號，并且還能考慮系統的過程噪聲[6]和測試噪聲，在一定程度上彌補了SSI算法在實際運用中的不足之處。

隨著CDSI算法被廣泛運用于橋梁結構模態參數識別中，人們發現該算法和SSI算法一樣存在缺陷，即需要識別者參與到穩定圖[7]中模態的辨識，這一環節大大的降低了參數識別的效率，同時還會因為識別者的主觀意識導致最終辨識出的模態帶有一定的主觀性。為了避免模態參數辨識過程中的“主觀性”，湯寶平等[8]提出將固有頻率、阻尼比、模態振型以及模態能量作為譜系聚類算法的聚類因子對真實模態進行智能化篩選；周思達等[9]提出對模態參數結果進行模糊聚類分析以實現有效模態的自動化篩選；Ubertini等[10]直接對穩定圖進行譜系聚類分析以篩選真實模態。雖然這些自動化識別算法均能在一定程度上完成有效模態參數的智能化識別，但均是基于SSI算法建立的識別算法。

鑒于此，本文通過將基于密度的全局領域算法(density-based spatial clustering of application with noise,DBSCAN)[11]運用于CDSI算法所得穩定圖中模態參數的辨識，避免人為參與帶來的弊端，提高參數識別效率，進一步推進CDSI算法在橋梁結構模態參數識別中的實際運用。文中將首先分別簡單介紹CDSI算法和DBSCAN聚類算法的基本原理，其次介紹DBSCAN聚類算法的大致實現步驟及如何將該算法與CDSI進行融合，最后將改進的CDSI算法運用于識別某大型橋梁結構的模態參數結果，并通過將所得結果與理論值進行對比分析，以驗證所提改進算法的可靠性。

1 CDSI算法基本原理

確定-隨機子空間方法[12]能夠將系統的輸入信號(u1,u2,…,uk)和輸出信號(y1,y2,…,yk)用于構建特定的Hankel矩陣，并對該矩陣進行行空間投影，同時對投影矩陣作奇異值分解，進而獲得可觀測矩陣和狀態序列的卡爾曼濾波估計[13]，確定最終的系統矩陣A，B，C，D以求得系統的固有頻率值、阻尼比及振型。具體實現步驟如下：

步驟1圖1為確定-隨機子空間算法的系統圖，通過使用狀態空間模型來描述該系統圖，可得式(1)如下

(1)

圖1 確定-隨機子空間算法的系統圖Fig.1 Combined determine-stochastic system flowchart

式中:uk∈Rm和yk∈Rl分別代表系統的輸入和輸出數據;wk∈Rn×l和vk∈Rl×l分別表示環境激勵和傳感器自身帶來的噪聲數據;k表示該系統所處的具體時刻;xk∈Rn為系統狀態向量;A∈Rn×n為狀態矩陣；B∈Rn×m為輸入矩陣;C∈Rl×n為輸出矩陣;D∈Rl×m為中途傳遞矩陣。

步驟2定義系統的輸入矩陣和輸出矩陣，式(2)為該系統的輸入矩陣，同理可得該系統的輸出矩陣，其中i為馬可科夫更新過程步數，j代表數據的具體長度。

(2)

步驟3根據以下式子定義系統的狀態序列。

Xi=(xi,xi+1,…,xi+j-1)

(3)

步驟4基于輸入和輸出信號及狀態序列，建立含系統矩陣的線性方程

(4)

步驟5基于矩陣A求解得到該系統的固有頻率值和阻尼比，并結合矩陣A和矩陣C求得該系統的模態振型結果。

2 DBSCAN聚類算法

在利用CDSI算法對橋梁結構進行模態參數識別時，需要人工參與到最后穩定圖中模態的辨識，為了避免這一環節帶來的弊端，引入DBSCAN聚類算法，該算法是一種基于密度的聚類算法，通過將緊密相連的樣本劃為一類，進而得到一個聚類類別；同時也通過將所有各組緊密相連的樣本劃為各個不同的類別，進而得到最終的所有聚類類別結果。

選擇該聚類算法的主要原因如下：

(1) 相比K-Means算法[14]而言，該算法無需輸入類別數；同時該算法能夠實現任意形狀的聚類簇，而K-Means僅能實現凸的樣本集聚類；

(2) 相比譜系聚類和模糊聚類算法[15]而言，該算法無需定義各項參數間的相對權重值；

(3) 該算法的主要優點在于：可對任意形狀的稠密數據集進行聚類；聚類的同時可找出異常點，且對異常點不敏感；不受初始值的影響，即聚類結果不存在偏倚。

以下將首先分析DBSCAN聚類算法中的相關定義[16]，其次將詳細介紹如何將該算法運用于CDSI識別算法中。

2.1 DBSCAN的相關定義

定義1：領域閥值(Eps)，可將其看作為半徑數據，即以點p為中心對象，以Eps為半徑的區域：

NEps(p)={q∈D|Dist(p,q)≤Eps}

(5)

式中:D代表需要聚類的數據集合;Dist(p,q)表示對象q距離中心對象p間的距離值。

定義2：距離Dist(p,q)，假定對象p為n維向量(p1,p2,…,pn)，q為n維向量(q1,q2,…,qn)，則兩對象間的距離公式采用歐幾里德函數求解，即：

(6)

定義3：核心對象，對于聚類數據集D，假定密度閥值MinPts，當存在對象p∈D，且滿足式(7)時，則可定義對象p為核心對象。

|NEps(p)≥MinPts|

(7)

式中，|NEps(p)|為p在Eps領域內的對象數量。

定義4：密度直達，對于聚類數據集D，若存在q∈NEps(p)且滿足式(7)，則稱定義q是從p密度直達的。

定義5：密度可達，對于聚類數據集D，若存在鏈p1,p2,…,pn∈D，其中pi(0

定義6：密度相連，對于聚類數據集D，若對象o∈D，使得p從q是從o密度可達的，則定義p和q是密度相連的。

定義7：簇，對于聚類數據集D，當數據集合C是屬于D的一個非空子集，且滿足如下兩個條件時，則可定義集合C為一個簇：

(1) 對任意q，若核心p∈C且q是從核心p密度可達的，則定義對象q∈C。

(2) 對任意p,q∈C，p和q是密度相連的。

定義8：噪聲點，對于聚類數據集D，若p游離于任何一個簇，則將其定義為噪聲點。

2.2 參數配置

在利用DBSCAN聚類算法對數據集進行聚類時，僅需要確定兩個參數即可，分別是領域閥值(Eps)和密度閥值(MinPts)。現階段，傳統的DBSCAN聚類算法中的這兩項參數，均需根據經驗進行設置。為了避免根據經驗定參數帶來的弊端，以下將結合CDSI算法分析如何根據穩定圖來智能化確定這兩項參數，實現聚類分析和模態參數識別的一體化智能操作。

2.3 穩定圖定階

穩定圖定階的基本原理[17]是通過分析相鄰兩階模態對應參數結果是否滿足事先假定的容差來辨識系統階次，計算式如下，式中MAC代表模態置信因子。

(1-MAC(j,j+1))×100%<Δψ(振型容差)

(8)

式中:fj代表第j階的頻率值；ξj代表第j階的阻尼比。

根據式(8)可知，穩定圖選擇的辨識因子包括頻率值、阻尼比以及振型。

2.4 DBSACAN與CDSI的結合

本節將詳細介紹如何將DBSCAN聚類算法與CDSI算法進行有效的嵌套使用，并合理地確定DBSCAN聚類算法中兩大參數值-領域閥值(Eps)和密度閥值(MinPts)，進而實現模態參數的高效識別。

步驟1通過事先布置在橋梁結構上的加速度傳感器采集對應的輸入信號和輸出信號，假定單位時間t內的輸入信號為u1,u2,…,un，輸出信號為y1,y2,…,yn，其中下標n代表單位時間t內采集的數據長度。

步驟2采集多組單位時間(t1,t2,…,tN)對應的輸入和輸出信號數據，且各組時間長度均相同，其中N代表共采集的時間組數；

步驟3將各組輸入信號(u1,u2,…,un)和輸出信號(y1,y2,…,yn)作為CDSI算法的系統輸入，并基于第1章所示算法流程識別得到共N組的模態參數結果，即得到N幅穩定圖。假定每組參數結果為Xi={Fi,wi,Φi}(i=1,2,…,N)，其中F為頻率值，w為阻尼比，Φ為模態振型，各參數結果均為m×n的矩陣，其中m數值大小等于1/2系統真實階次。

Fi=fi(m,n)

wi=ξi(m,n)

Φi=Ψi(m,n)

(9)

步驟4基于Matlab軟件捕捉各組穩定圖各自對應的穩定軸數據(即穩定圖中的頻率值)，并保存；假定第i幅穩定圖中的穩定軸為wi=(w1,w2,…,wj)，其中j代表對應的穩定軸的總個數；

步驟5基于DBSCAN聚類算法對第i組參數結果和第i+1組參數結果進行聚類分析，具體實現步驟如下：

(1) 選取第i組參數結果和第i+1組參數結果中對應的wi和wi+1作為初始的對象pj，j代表兩組參數結果中所有穩定軸的總和數；

(2) 根據置信區間[-0.95,0.95]定義各對象pj對應的領域閥值(NEps(pj))；

(3) 根據穩定圖定階原理確定系統真實階次為NN，即各穩定軸上對應的最大階次數為NN。由于在利用穩定圖定階時，人們常常根據穩定數大于0.8NN來辨識該穩定軸是否為系統的真實穩定軸[18]；于此，可定義DBSCAN聚類算法中的密度閥值MinPts=0.8NN，即當密度超過系統真實階次的80%時，可定義為一簇；

步驟6基于如下步驟實現對N組模態參數結果的聚類分析：

(1) 基于步驟5能夠實現對第1組參數結果(X1)和第2組參數結果(X2)進行聚類分析，得到聚類結果X1-2；

(2) 以X1-2和第3組參數結果(X3)為DBSCAN聚類的輸入數據進行聚類，得到聚類結果X1-3；

(3) 基于相同的原理，實現對N組模態參數結果的聚類分析，得到最終的聚類結果X1-N；

(4) 統計X1-N中各聚類模態是由多少組相應模態聚類而成的；并將聚類組數大于0.8N的模態作為有效模態繪制于穩定圖中。

綜合上述，可將DBSCAN聚類算法與CDSI算法進行有效地結合，得到改進后的D-CDSI模態參數識別算法，該算法的一般流程圖如圖2所示。

圖2 D-CDSI識別算法流程圖Fig.2 Flowchart of D-CDSI

3 實際橋梁結構的模態參數識別

本章將以某大型試驗橋梁結構為研究對象，首先分別運用CDSI算法和SSI算法識別各工況下的模態參數結果，其次綜合DBSCAN聚類算法以實現模態參數的智能化篩選，最終將兩種算法所得結果與MIDAS軟件所得理論值作對比分析，以驗證所提D-CDSI算法較SSI算法而言具有更好的識別精度。

3.1 試驗橋的概況

試驗室中的橋梁結構模型是按照實際橋梁結構尺寸的1/20來設計的，其橋跨尺寸如圖3所示。其中主跨長度為1 900 cm，邊跨長度650 cm，全長3 200 cm，主梁上共布置11處加速度傳感器用于采集主梁的振動響應信號，采樣頻率為256 Hz，即每秒采集次數為256次。主墩采用門式雙柱結構，每個主墩的頂點處共設計12根斜拉索，各邊跨處各設計兩處橋墩用于支撐橋面系。該橋梁結構各構件的材料，主體結構采用M15微粒混凝土，包括索塔和橋墩；混凝土中的受力鋼筋采用直徑6 mm的圓鋼；采用5 mm厚的鋼板模擬主梁；斜拉索為直徑為10 mm的鋼絲。

圖3 橋梁模型(cm)Fig.3 Bridge model (cm)

3.2 地震波信號

通過承臺下方的振動臺來施加相應的地震波，地震波的方向為橫橋向，峰值加速度在0.02g～0.1g之間，每組地震波持續時間為1 min。表1為各工況下地震波的相關參數表，圖4為峰值加速度為0.06g地震波在前20 s對應的加速度響應時程曲線圖。

表1 試驗工況表Tab.1 Working conditions of test table

圖4 加速度時程曲線(W3)Fig.4 Time-curve of acceleration(W3)

3.3 參數結果理論值

利用MIDAS軟件建立該斜拉橋的模型，如圖5所示。其中主塔采用鋼筋混凝土材質，彈模取2.06×105N/mm2，泊松比取0.17；主梁和承力索均采用鋼材材質，彈模取3.43×104N/mm2，泊松比取0.3；橋墩墩頂均采用固結；全橋模型節點數共計771，單元共計735。對其進行相關的模型修正，得到其在特征值分析下的前5階模態振型和固有頻率值，圖6為該斜拉橋前2階的模態振型圖，表2為前5階的頻率理論值。

圖5 3D實體模型Fig.5 Bridge model in three dimensions

(a) 一階豎向彎曲振型(f1=1.13 Hz)

(b) 二階豎向彎曲振型(f2=2.46 Hz)圖6 前2階模態振型圖(MIDAS)Fig.6 Modal pattern of the first two orders (MIDAS)

表2 自振頻率Tab.2 Natural frequency Hz

3.4 各工況下CDSI算法識別結果

試驗過程共輸入5種工況對應的地震波，且各工況對應的試驗時間為1 min，經大量試驗后發現，可將每種工況分為12組，即每次以5 s對應的輸入信號和輸出信號作為CDSI識別算法的輸入。圖7為W1工況下0～5 s和5～10 s對應的穩定圖。

(a) 穩定圖(時間：0～5 s)

(b) 穩定圖(時間：5～10 s)圖7 CDSI識別算法所得穩定圖(W1工況)Fig.7 Stabilization diagram under CDSI (working condition: W1)

3.5 各工況下SSI算法識別結果

根據3.4節可知，CDSI識別算法需要以每5 s對應的輸入信號和輸出信號作為參數識別的輸入數據。而采用SSI算法識別時，僅需要將每5 s對應的輸出信號作為參數識別的輸入即可，圖8為SSI識別算法所得W1工況下0～5 s對應的穩定圖。

圖8 SSI識別算法所得穩定圖(W1工況,時間：0～5 s)Fig.8 Stabilization diagram under SSI (W1, time:0～5 s)

3.6 穩定圖聚類分析結果

基于圖2所示D-CDSI聚類算法的步驟實現對W1工況下共12組模態參數結果的聚類分析，得到圖9所示聚類穩定圖，根據該圖可清晰的看到相關的模態都聚集到了一起，即所提算法能夠在一定程度上實現同類模態參數間的聚類。

圖9 D-CDSI聚類穩定圖(W1工況)Fig.9 D-CDSI Clustering Stabilization diagram (W1)

基于圖2所示D-CDSI聚類算法的步驟，將CDSI算法更換為SSI算法可以得到D-SSI聚類算法以實現對W1工況下共12組模態參數結果的聚類分析，得到圖10所示聚類穩定圖。由圖10可知，系統的第一階模態存在嚴重的遺漏現象。

圖10 D-SSI聚類穩定圖(W1工況)Fig.10 D-SSI Clustering Stabilization diagram (W1)

基于圖2所示算法對D-CDSI聚類所得5種工況下共60組模態參數結果進行DBSCAN聚類處理，并采用各穩定軸的平均值為最終的頻率值繪制最終的聚類穩定圖，結果如圖11所示。

圖11 D-CDSI聚類穩定圖Fig.11 D-CDSI Clustering Stabilization diagram

同時基于圖2所示算法對D-SSI聚類所得5種工況下共60組模態參數結果進行DBSCAN聚類處理，并采用各穩定軸的平均值為最終的頻率值繪制最終的聚類穩定圖，結果如圖12所示。

圖12 D-SSI聚類穩定圖Fig.12 D-SSI Clustering Stabilization diagram

對D-SSI聚類算法結果、D-CDSI聚類算法結果以及MIDAS軟件所得理論值作對比分析，結果見表3。對比表中數據可知：

表3 頻率對比分析結果Tab.3 Comparative analysis results of frequency

(1) D-SSI聚類算法無法識別出該斜拉橋的第一階真實模態頻率值；

(2) 對比D-SSI聚類算法結果與MIDAS理論值可知，最大誤差百分比為9.2%，最小誤差百分比為3.4%；

(3) 對比D-CDSI聚類算法結果與MIDAS理論值可知，最大誤差百分比為6.6%，最小誤差百分比為1.1%；

(4) 對比D-CDSI聚類算法結果與D-CDSI聚類算法結果可知，最大誤差百分比為8.2%，最小誤差百分比為1.1%；

綜合上述可知所提D-CDSI算法所得頻率值的聚類結果與MIDAS理論值間具有更高的匹配度。

3.7 模態振型結果

橋梁結構的模態參數識別主要包括三方面，分別是識別是結構對應的固有頻率值、阻尼比以及模態振型的識別。表3已經給出了固有頻率值的識別結果，就頻率值的數值大小而言，可知本文所提算法的頻率值識別結果具有可靠性。

考慮到橋梁結構的阻尼比結果易受環境的影響，以致其結果值經常出現較大的偏差，所以本文未對阻尼比進行識別。

圖13為該斜拉橋前三階模態振型圖，其中橫坐標中的11個點代表主梁上傳感器的布置位置，縱坐標的數值[-1,1]代表歸一化處理后該橋梁結構在豎向上的結構變形量。點劃線為本文算法識別結果；實線為MIDAS所得振型圖。圖中前三階模態振型的模態置信準則MAC達到0.96，可知所提算法識別所得振型圖具有較高的準確性。

(a) 1階振型圖

(b) 2階振型圖

4 結論

橋梁結構的模態參數識別作為橋梁健康檢測系統中的主要環節之一，參數識別的精確程度直接影響著橋梁健康評估的準確程度。本文針對現階段被廣泛運用的確定-隨機子空間算法存在的不足，提出了將基于密度的聚類算法嵌入到該識別算法中，以得到改進的D-CDSI算法，進而提高參數識別的效率。同時將所提算法運用于某大型斜拉橋的模態參數識別中，結果表明：

(1) 所提算法能夠有效避免人工參與辨識穩定圖而帶來的弊端；

(2) 通過將識別所得固有頻率值和MIDAS對應的理論值作對比，可知識別結果與理論值很接近，誤差百分比在6.6%以內；

(3) 將識別所得模態振型圖和MIDAS對應的理論振型圖作對比，可知兩振型圖間具有很高的相似度。

綜合上述可知，所提改進D-CDSI算法能夠運用于該試驗橋梁結構的模態參數識別中。但因缺少實橋的相關數據，暫時無法將所提算法運用于識別實際橋梁結構的模態參數結果，所以該算法是否能夠很好地識別出實際橋梁結構的模態參數結果還需進一步實證。