多重調諧沖擊阻尼器的多目標優化設計研究

2022-06-17 03:03:38馬乃寅周超杰

振動與沖擊 2022年11期

魯正，馬乃寅，周超杰

(1.同濟大學土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

近年來，振動控制技術越來越多地應用于減小各類工程結構在外界激勵作用下的動力響應[1]。其中，被動控制技術由于構造簡單且減振效果顯著，在工程中的應用最為廣泛[2]。在眾多被動控制裝置中，調諧質量阻尼器(tuned mass damper, TMD)由于概念簡單、可靠性高和設計方法成熟等優點，被廣泛應用于各類實際工程結構[3]。然而，TMD也存在減振頻帶窄、耐久性不足等缺點。因此，一些學者將顆粒阻尼技術引入TMD，進而提出一種新型的顆粒調諧質量阻尼器(particle tuned mass damper, PTMD)。

為了探究PTMD的減震性能，學者們開展了許多研究工作。試驗方面，Yan等[4]完成了附加PTMD的高架連續梁橋的振動臺試驗，發現其減震效果顯著，且具有比TMD更寬的減震頻帶。Lu等[5]對附加PTMD的Benchmark結構進行了風洞試驗，研究表明PTMD可顯著減小高層結構的風致振動。施衛星等[6]對一種新型TMD(本質也是PTMD)進行了振動臺試驗，分析了影響其減震效果的因素。數值模擬方面，閆維明等[7]建立了PTMD的簡化力學模型，進而可使用商業有限元軟件對PTMD進行數值模擬。Lu等[8]基于等效簡化原則將多顆粒簡化為單顆粒，建立了PTMD等效簡化模型，并通過振動臺試驗驗證了該模型的準確性。Li等[9]對具有類似減振原理的碰撞型TMD進行了魯棒性研究，發現碰撞型TMD在頻率失調時仍可有效抑制結構振動。張井財等[10]提出了一種基于黏彈性理論的碰撞力計算方法，研究表明該方法可以有效模擬彈性和非彈性碰撞過程。然而，對于高層結構的加速度響應而言，PTMD的減震性能并不理想。這是因為高層結構的高階模態對加速度響應的影響較為顯著，而PTMD即使相較于TMD而言減震頻帶更寬，卻也無法同時控制結構的多階模態[11]。

因此，本文將顆粒阻尼器與多重調諧質量阻尼器相結合，提出一種新型的多重調諧沖擊阻尼器(multiple tuned impact damper, MTID)，既兼具了顆粒阻尼技術和TMD的優點，又可控制主體結構的多階模態。同時，提出了MTID應用于實際工程結構時基于性能的多目標優化設計方法。然后，為了進一步驗證MTID的優化設計方法相對于傳統設計方法的優越性，對比研究了傳統設計和優化設計的MTID在地震激勵下的減震性能。最后，對MTID和多重調諧質量阻尼器(multiple tuned mass damper, MTMD)的減震性能及工作行程進行了對比研究。

1 優化設計流程

MTID應用于實際工程結構時基于性能的多目標優化設計方法及流程，如圖1所示。優化過程中選用的Benchmark結構的原型是美國加州地區的一棟20層鋼框架建筑，該框架結構寬30.48 m，長36.58 m，高80.77 m，前三階的自振頻率分別為：0.261、0.753和1.300 Hz。鑒于Ohtori等[12]已經使用MATLAB軟件建立了20層Benchmark結構的有限元模型并將其公開供研究人員使用，所以本節將不再贅述第1步中實際工程結構的有限元建模方法及過程。第2步建立MTID的數學模型、第3步確定調諧沖擊阻尼器(tuned impact damper,TID)的數量和位置以及第4步優化參數設計的具體方法和過程將在接下來的內容中詳細闡述。

圖1 MTID的多目標優化設計流程Fig.1 The multi-objective optimization design process of the MTID

1.1 MTID數學模型的建立

主體結構附加多重調諧沖擊阻尼器的力學模型如圖2所示，MTID中包含n個TID，每個TID包含一個質量為mci的腔體和質量為mpi的顆粒，并通過線性的阻尼元件(阻尼為cci)和彈簧(剛度為kci)耦合到主體結構上。腔體與顆粒之間的碰撞過程采用分段線性的阻尼元件(阻尼為cpi)和彈簧(剛度為kpi)進行模擬。

圖2 主體結構附加多重調諧沖擊阻尼器的力學模型Fig.2 Mechanical model of the main structure with MTID

安裝有MTID的主體結構在外界激勵作用下的運動控制方程為

(1)

圖3 非線性函數Fig.3 Nonlinear function

(2)

(3)

(4)

顆粒與腔體碰撞時的剛度系數kpi和阻尼系數cpi為

(5)

cpi=2ξpimpiωpi=2ξpimpiλωci

(6)

式中:ωci和ωpi分別為腔體和顆粒的固有頻率;λ為顆粒與腔體之間的剛性碰撞系數，一般取λ=20[13];ξpi為顆粒與腔體之間的碰撞阻尼比，用來模擬兩者的非彈性碰撞。

1.2 TID數量和位置的確定

對主體結構進行模態分析可得，結構的前4階自振頻率分別為0.261、0.753、1.300和1.830 Hz，結構的前4階振型如圖4所示。此外，模態分析的結果表明，結構前4階振型的有效質量系數累計已達到91.07%，超過了90%，所以本文的研究過程中只控制該Benchmark結構的前4階振型。因此，MTID中TID的數量設置為4個，并將4個TID的腔體頻率分別調為結構前4階的自振頻率，用來分別控制結構的前4階振型。同時，為了充分發揮MTID的減震性能，可將4個TID分別懸掛安裝于前4階振型幅值最大的樓層，且從圖4可以發現，該Benchmark模型的前4階振型的幅值均在頂層取得最大值，故而MTID中的4個TID均安裝于結構頂層，如圖5所示。

(a) 第1階振型

(b) 第2階振型

(d) 第4階振型圖4 Benchmark結構的前4階振型Fig.4 The first four mode shapes of the Benchmark structure

圖5 MTID安裝位置示意圖Fig.5 Diagram of MTID installation location

1.3 優化參數設計

選用高斯白噪聲作為輸入的外界激勵，通過采用多目標多元宇宙算法(multi-objective multi-verse optimization, MOMVO)[14]求解主體結構附加MTID的運動控制方程，MTID的優化參數可以方便地獲得，包括腔體和顆粒的質量比、阻尼比以及腔體的凈距。眾所周知，優化算法所設計得到的優化參數最終結果會隨著目標函數的變化而變化，考慮到主體結構的位移和加速度響應分別對結構的安全性和適用性有重大影響，且無控狀態下均在頂層取得最大值，因此本節所采用的兩個優化目標分別為最小化結構頂層的均方根位移和均方根加速度響應，具體公式如下

minJ(z)=(J1(z),J2(z))

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:J(z)為有控結構頂層的歸一化均方根響應;J1(z)和J2(z)分別為有控結構頂層的歸一化均方根位移和歸一化均方根加速度響應;a20(z,t)和d20(z,t)分別為有控結構頂層的加速度和位移響應;d20(t)和a20(t)分別為無控結構頂層的位移和加速度響應;z為MTID的待優化參數;μci和μpi分別為第i個TID腔體和顆粒的質量比;ξci和ξpi分別為第i個TID腔體和顆粒的阻尼比;di為第i個TID的腔體凈距;n為MTID中TID的數量。

圖6展示了使用MOMVO算法進行優化設計所得到的Pareto前沿，即各組非劣最優解所對應的目標函數值。由圖6可知，多目標優化設計MTID對主體結構頂層位移的減震效果最高可接近25%，而對頂層加速度的減震效果最高可超過40%。此外，顯而易見的是，隨著MTID對主體結構位移減震效果的優化，加速度減震效果會出現不同程度的劣化，反之亦然，即MTID對位移和加速度響應的減震效果無法同時獲得最優。因此，為了使得MTID對主體結構的位移和加速度響應均取得較好的減震效果，本文選擇與原點距離最小的一組非劣最優解作為最優解，并選用該組最優解所對應的參數作為MTID最終的優化設計參數，如表1所示。

圖6 Pareto前沿Fig.6 Pareto front

表1 MTID的設計參數Tab.1 Design parameters of the MTID

2 減震性能驗證

為了進一步分析優化設計相比于傳統設計的優越性，經傳統設計和多目標優化設計的兩種MTID被分別附加到Benchmark結構模型來驗證兩者的減震性能。傳統設計過程中，MTID的總質量、TID的個數、腔體頻率和安裝位置均與優化設計保持一致，其余參數根據傳統設計方法確定，具體可參見Lu等。表1給出了經傳統設計和多目標優化設計的兩套MTID的系統參數。

選用El Centro地震波(時程曲線和頻譜曲線見圖7)并將其加速度幅值放大1.5倍后作為輸入的外界激勵[15]，對主體結構進行大震作用下的彈塑性時程分析。

(a) 時程曲線

(b) 頻譜曲線圖7 El Centro地震波的特性曲線Fig.7 The characteristic curve of the El Centro seismic wave

El Centro波作用下非線性主體結構頂層的位移和加速度響應時程對比如圖8所示。由圖8可知，有控結構和無控結構的動力響應時程曲線在剛開始的2 s內幾乎重合，經過很短的一段時間后，附加傳統設計和優化設計MTID的主體結構的動力響應發生了明顯衰減。產生這種現象的原因是，MTID中的顆粒與腔體發生碰撞需要一定的時間，即MTID有效發揮減震性能需要一定的啟動時間；MTID啟動后，通過TID中顆粒與腔體的碰撞和動量交換以及TID整體的調諧作用開始耗散地震波輸入到主體結構中的能量，進而主體結構位移和加速度響應均會顯著減小。

(a) 位移響應

(b) 加速度響應圖8 主體結構頂層響應的時程對比Fig.8 Time history comparison of the top floor response of the main structure

非線性主體結構在El Centro波作用下，結構各層的位移和加速度響應對比如圖9和圖10所示。由圖9和圖10可知，無控結構和有控結構的位移以及加速度響應均在結構頂層取得最大值，故而本節重點對比研究MTID對主體結構頂層響應的減震效果。分別計算傳統設計和優化設計的MTID對主體結構頂層位移及加速度響應的減震效果，如表2所示。

(a) 峰值位移

(b) 均方根位移圖9 主體結構各層的位移響應對比Fig.9 The displacement response comparison of each floor of the main structure

(a) 峰值加速度

(b) 均方根加速度圖10 主體結構各層的加速度響應對比Fig.10 The acceleration response comparison of each floor of the main structure

表2 MTID對結構頂層響應的減震效果Tab.2 Vibration reduction effect of the MTID on top floor response

對比圖9和圖10并結合表2中MTID對主體結構頂層響應的振動控制效果可以發現，傳統設計和優化設計的MTID對于頂層的峰值位移的減震性能非常接近，除此以外，優化設計MTID的減震性能均顯著優于傳統設計，例如對于結構頂層均方根加速度的減震性能的提升率達到了65%。這一方面說明使用傳統設計方法所得到的MTID的設計參數并非最優參數，所以當MTID應用于實際工程結構時，工程師有必要對其進行優化設計。同時，這也說明優化設計的MTID相比于傳統設計具有更優異的減震性能。

另一個值得注意的現象是，優化設計的MTID對主體結構均方根響應的控制效果顯著優于對峰值響應的控制效果。結合El Centro波作用下主體結構頂層響應的時程曲線和El Centro波的加速度時程曲線可知，產生這一現象的原因是：El Centro波加速度峰值的出現時間較早，進而導致主體結構的峰值位移和峰值加速度分別在3.83 s和3.04 s便出現，但此時MTID中的顆粒和腔體尚未充分有效地發生碰撞，即此時的MTID尚未完全啟動，其減震性能有限。最終使得El Centro波作用下MTID對于主體結構峰值響應的減震效果明顯低于對均方根響應的減震效果。

此外，由表2可知，優化設計的MTID對主體結構頂層加速度響應的減震效果顯著優于對頂層位移響應的減震效果。為了分析出現這種現象的原因，對無控結構頂層的加速度和位移響應時程進行快速傅里葉變換可得到如圖11所示的頻譜響應曲線圖，其中虛線分別代表結構前4階的自振頻率，即f1=0.261 Hz,f2=0.753 Hz,f3=1.30 Hz,f4=1.83 Hz。由圖11可見，本章所選用的非線性主體結構的加速度響應主要由2～4階模態控制，而位移響應則主要由1階模態控制。同時，本節所使用的優化設計MTID中4個TID被分別設計用于控制結構的前4階模態。所以，當MTID衰減主體結構的加速度響應時，MTID中有3個TID可以充分發揮其減震性能；而當MTID衰減主體結構的位移響應時，MTID中僅有1個TID可以充分發揮其減震性能。因此，相比于位移減震性能，優化設計的MTID具有更加優異的加速度減震性能。

(a) 加速度響應頻譜

(b) 位移響應頻譜圖11 主體結構頂層響應的頻譜圖Fig.11 The frequency spectrum of top floor response of the main structure

消能減震結構設計的目的是希望通過引入阻尼器，以盡量避免結構在地震下進入非線性，但是在實際地震中，尤其是在超越設計的大震作用下，結構構件往往不可避免的會發生屈服，進而主體結構將會從彈性狀態進入非線性狀態并產生非線性響應，故而本文將引入一些非線性評價指標來評估MTID的振動控制性能，例如：節點曲率和塑性鉸數量。本文所選用的20層非線性Benchmark框架結構使用了雙線性恢復力模型來表征結構構件的非線性彎曲剛度，從而將材料非線性引入到結構中，并且設定塑性鉸只能出現在梁柱構件的連接節點，而構件中部將依舊保持彈性。圖12分別給出了El Centro波作用下非線性主體結構各層的最大節點曲率與屈服曲率之比和塑性鉸數量，圖13則分別展示了非線性主體結構中出現塑性鉸的位置。

(a) 各層的最大節點曲率與屈服曲率之比

(b) 各層的塑性鉸數量圖12 主體結構的非線性評價指標Fig.12 Nonlinear evaluation index of the main structure

(a) 無控

(b) 傳統設計

由圖12(a)可見，MTID可極大的減小主體結構節點曲率的峰值，降低主體結構進入非線性的程度，例如優化設計的MTID系統可將主體結構的節點曲率與屈服曲率之比的峰值從無控狀態下的1.49減小為有控狀態下的1.01，進而可顯著減小主體結構的塑性變形和非線性損傷。從圖12(b)和圖13可以發現，無控結構分別在13個樓層共出現了84個塑性鉸，而優化設計的MTID控制下的主體結構僅在第7層和第8層分別出現了2個塑性鉸，即優化設計的MTID可顯著減少出現塑性鉸的樓層和數量。然而，由傳統設計的MTID控制的主體結構分別在4個樓層出現了總計18個塑性鉸，這也進一步說明優化設計的MTID在減小主體結構塑性變形和非線性損傷方面具有更為優異的控制性能。

此外，從太平洋地震工程研究中心的數據庫隨機選取了10條與主體結構的主要模態頻率相適應的地震波并將其峰值加速度均調整為0.22g(即7度罕遇地震所對應的加速度峰值)，其中短周期地震波和長周期地震波各選取了5條，如表3所示。非線性主體結構在所選取的10條地震波作用下頂層響應的減震效果如圖14所示。可以看出，不同地震激勵作用下優化設計MTID的位移和加速度減震性能均不同程度地優于傳統設計，這也進一步驗證了圖1所示的MTID優化設計方法的有效性和實用性。

表3 5條短周期地震波和5條長周期地震波Tab.3 Five short-period earthquake records and five long-period earthquake records

(a) 均方根位移

(b) 均方根加速度圖14 10條地震波作用下主體結構頂層響應的減震效果Fig.14 The vibration control effects of top floor response subjected 10 earthquake waves

3 MTID與MTMD的減震性能對比

MTID和MTMD均可以同時對主體結構的多階模態進行振動控制，并且兩種阻尼系統的工作原理也有相似之處。然而，目前尚未有研究人員對兩種阻尼系統的減震性能進行深入地對比研究。因此，本章分別對MTID和MTMD進行優化設計，并對兩種阻尼系統的最優減振性能和工作狀態進行對比研究。研究過程中，繼續選用1.5倍幅值的ElCentro地震波作為輸入的外界激勵。

由上一章主體結構的模態分析結果可知，MTMD也應設置4個TMD并將其分別與主體結構的前4階自振頻率進行調頻設計，同時應將4個TMD均安裝于主體結構的頂層從而獲得最優的減振性能。MTMD其余的優化設計參數可根據經典的Den Hartog公式求得，如表4所示。其中，MTMD和MTID的總質量比保持一致。此外，MTID繼續采用上一節所述的優化設計方案。

表4 MTMD的設計參數Tab.4 Design parameters of the MTMD

圖15分別給出了MTID或MTMD控制下主體結構各層的位移和加速度響應。由圖15可見，相比于優化設計的MTMD，優化設計的MTID控制下主體結構的動力響應更小，這說明MTID的最優減震性能略優于MTMD的最優減震性能。

(a) 均方根位移

(b) 均方根加速度圖15 MTID或MTMD控制下主體結構各層的動力響應對比Fig.15 Dynamic response comparison of the main structure controlled by MTID or MTMD

此外，在對實際工程結構進行振動控制時，阻尼系統運行期間的工作行程是一個至關重要的設計參數。因為較小的工作行程可減少阻尼系統對主體結構內部空間的占用，進而可以提高阻尼系統的適用性。為此，圖16對比了MTMD和MTID中各子系統在運行期間的工作行程。由圖16可知，TID-2和TMD-2的最大工作行程相同，除此以外，MTID中其余子系統的最大工作行程均不同程度地小于MTMD，例如TID-4的最大工作行程相對于TMD-4減小了46.67%。該現象進一步證明了優化設計的MTID相比于MTMD在提高阻尼系統適用性和建筑空間利用率等方面具有顯著的優越性。