初中數學習題二次開發與利用策略的研究

余亞明

【摘要】教學中，我們如果對數學習題只進行一次性使用，這樣就不能最大化地發揮這些習題的作用，要發揮它們的全部作用就需要對它們進行二次開發.教材上的習題具有二次開發的價值，這些習題能夠使得所學新知識得到綜合性的運用.

【關鍵詞】習題; 二次開發;思維拓展;變式教學

在“雙減”背景下，通過大量的習題訓練來培養學生的解題能力，這種增加學生負擔、高耗低效的教學方式顯然是行不通的，我們可以通過對教材上的習題進行二次開發來尋找一種低消耗、收益更高的方法.教師可采用一題多用、多題重組的方法，這樣能充分喚起學生的好奇心和求知欲，調動他們積極參與到學習中來，化被動為主動，激發學生產生學習的興趣和熱情，使學生在對知識進行全面、深刻理解的同時進一步掌握知識，思維品質也獲得更好的發展.

對數學習題的二次開發利用可以從以下幾種不同的角度進行：

◆多題一法，培養學生的建模思想

建模是數學學習的重要內容之一，這就要求教師能利用建模思想，從教材中尋找典型的、具有代表性的題目進行研究、歸納和提升，使這種題型成為解決類似問題的模型.例如，在剛學“解二元一次方程組”時的思路是“消元”， 教材上提供了方程組x+y=10，2x+y=16，，教師先由實際問題引導學生了解y可以用10-x表示，這樣第二個方程就可以表示為2x+10-x=16，這樣二元一次方程就轉化為了學生熟悉的一元一次方程，解出x，進而就能得出方程組的解，這樣把未知數由多變少，逐個解決的思想就是“消元”的思想.再如，在“解分式方程”時的思路是“轉化”，教材上提供的例題分別是：解方程2x-3=3x和xx-1-1=3（x-1）（x+2），顯然，這里提供了最基本的兩個方程作為例題，讓學生通過去分母、去括號等方法完成從分式方程到整式方程的轉化，這是解分式方程的主要思路.因此，我們在對教材進行二次開發時，應當秉承這一思路，即強調建模的思想，學生掌握了解決問題的模型，然后模仿進行編題，學生會編題了，那么解決這一類型的題就自然而然了.

◆一題多用，培養學生的思維能力

教材所選題目都是非常經典的，我們要善于對教材中的題目進行開發利用，可以從以下幾個角度進行.

一、一題多解，讓學生的思維更發散

不同的人思考問題的角度、途徑不盡相同，學生在解決問題時有了一種方法，慣性使然，他不會再停下來去思考其他方法，因此，教師要引導學生從不同角度、用不同的論證方式去思考問題，探求不同的解決方案，這樣就能拓寬學生的思路，多方向發展他們的思維，培養他們思維的發散性.

例如：引導學生觀察方程組x+y=102x+y=16中，兩個方程中y的系數有什么關系？利用這個關系，你能得到不同于前面的方法解這個方程組嗎？這樣學生就會不拘泥于一種方法解題了.

例如：四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上的一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F.

求證：EF=ED.

筆者做了一定的調查，發現多數學生都是習慣以下解法.解法1：如圖2所示，作EP⊥CD于點P，EQ⊥BC于點Q，利用正方形中AC平分SymbolPC@BCD得EP=EQ，再證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED.

這時教師適當引導學生思考：從EF⊥DE的角度出發還能想到什么？學生就會想到以下兩個論證的方法：

解法2：聯想“K”型全等，如圖3所示，作EM⊥AD于點M，延長ME交BC于點N，利用正方形中NE=NC=MD，再證明Rt△EDM≌Rt△FEN，得到EF=ED.

解法3：由四邊形內角和易得SymbolPC@EDC=SymbolPC@EFB，如圖4所示，連接EB，利用正方形中SymbolPC@EDC=SymbolPC@EBC，從而得出EB=EF，再由正方形中EB=DE，得到EF=ED.

二、一題多變，讓學生的思維更靈活

一題多變其實就是變式教學，一題多變可以將條件改變，結論保留;也可以將條件保留，結論改變;或者由于題目的需要將條件和結論同時改變;也可以將已知條件和結論進行對換.變式變換了習題的形式，而題目所蘊含的本質不變，所以變式教學更多的是要引導學生去探尋變化中的不變，從而揭示問題的本質，它需要學生在原有思考問題的方法上加以拓展進行思考才能解決.教師用這種方式進行教學，能使學生根據變化了的情況積極思考，想方設法尋找解決的辦法，從而培養思維的靈活性.

例如：如圖5所示，在四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點.

若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的長.

本題解法是：取BD的中點P，構造三角形的中位線，得到直角三角形PEF，以及兩條直角邊，從而得出EF的長.

教師若對此題多做一些變式，既能培養學生的探索精神，又能提高學生的創新能力.

探索一：將題目中的條件“∠ABD=30°，∠BDC=120°”去掉，關于EF的長你能得出什么結論？并給予證明.

探索二：延長BA、CD，分別于FE延長線交于點G、H，如圖6所示，你能判斷∠BGF與∠CHF的大小關系嗎？

這樣的變式教學，不僅提高了學生運用所學知識解決數學問題的能力，而且培養了學生的創新能力，發展了學生的求異思維.

三、一題多思，讓學生的思維更深遠

牛頓說過：沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現.中學生具有非常豐富的想象力，因此，教師可以通過相關題目的特點，鼓勵、引導學生大膽猜想，讓學生的思維更深遠.

例如：如圖7所示，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，過點O的直線交AD于點E，交BC于點F.

求證：OE=OF.

進一步思考：直線EF是否將平行四邊形ABCD的面積二等分？若是，請說明理由.

拓展應用：張大爺家有一塊平行四邊形的菜園，園中有一口水井P，如圖8所示，張大爺計劃把菜園平均分成面積相等的兩塊，分別種植西紅柿和茄子，且使兩塊地共用這口水井，即兩塊地的分割線經過點P，請你作圖幫助張大爺把地分開.

引導學生思考：

1.在題目的解決過程中，解題的關鍵是什么？

2.通過上面的研究，如果要將平行四邊形的面積二等分，直線需要滿足什么條件？

3.通過這道題，我們獲得了怎樣的解題體驗？

一題多思讓學生的解題思路更深遠，從而培養了他們遇到問題時的應變能力.

四、注意遷移，讓學生的思維更全面

初中數學中有很多題目，表面上看起來形式不一，但仔細分析，我們可以發現，它們在本質上是一樣的，或者說通過轉化，它們的實質相同.所以教師可以把它們歸結為用同一種方法解答，把這樣的題放在一起讓學生做比較，可以使學生透過現象看本質，讓學生的思維更全面.

例如：（1）如圖9所示，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AD，DC上的點，且AF⊥BE.求證：AF=BE.

（2）如圖10所示，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP⊥NQ，判斷MP與NQ是否相等并說明理由.

以上兩題從表面上看并不相同，但實際上它們的本質相同，教師引導學生經過對比可以發現：將圖10做平移變化為圖11，然后根據平行四邊形的性質和（1）中的結論即可解答本題.所以教師在平時的教學中要引導學生善于捕捉題目中的有關信息，認真比對，對相通的知識形成體系，不要出現“只見樹木不見森林”的現象.

◆反思升華 培養學生的數學素養

日本著名數學教育家米山國藏說過：學生對作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益.

數學的學習過程就是一個積累、運用和內化的過程，在學習過程中，反思尤為重要，它能讓學生更深入理解和掌握學習內容，通過反思，學生才能真正啟動思維，思想才能得到升華.作為組織者、引導者的教師要強化學生的反思性學習能力，要善于挖掘習題中的素材、意圖，為學生創設反思的情境，這樣學生就能主動反思，他們有了反思習慣，反思能力就會提高，對問題的理解就會深入，就能真正提高數學素養和能力.

總之，數學習題二次開發與利用能培養學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.

【參考文獻】

[1]王子英.利用課本習題，助力初中數學教學[J].中學課程輔導，2014（4）：23，28.

[2] 張繼海.初中數學教材中例題、習題的演變方法.中國數學教育，2012（12）：34-40.