基本不等式教學(xué)中的幾個問題情境

寧紅國

（河北欒城中學(xué)，河北 石家莊 051430）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》要求要了解并會證明基本不等式；會用基本不等式解決最值問題。對于基本不等式的考查幾乎每年高考都會涉及，難點(diǎn)在于變形化簡構(gòu)造成基本不等式的基本結(jié)構(gòu)，還要注意“一正二定三相等”。對于基本不等式的證明，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。在應(yīng)用的過程中，通過條件的轉(zhuǎn)換和變式，培養(yǎng)學(xué)生形成類比歸納的思想和習(xí)慣，進(jìn)而形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

情境問題一：把一個物體放在天平的一個盤子上，在另一個盤子上放一砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a，由于天平不準(zhǔn)確，天平的二臂長略有不同（其他因素不計(jì)），那么a 并非實(shí)際質(zhì)量，不過，我們可作第二次測量，把物體調(diào)換到天平的另一個盤子上，此時稱得物體的質(zhì)量為b.那么物體的實(shí)際質(zhì)量是多少呢？

情境問題二：某商場對商品價格進(jìn)行了調(diào)整，有下面幾種打折方式，問哪一種打折方式對顧客更有利：①先打8 折，再打4 折；②先打7折，再打5 折；③先打6 折，再打6 折；④先打a折，再打b 折；⑤先打折，再打折.引導(dǎo)學(xué)生分別計(jì)算打折數(shù)量：①0.8×0.4=0.32 ②0.7×0.5=0.35 ③0.6×0.6=0.36 ④打ab 折 ⑤打折，從中可以看出兩次打折的數(shù)據(jù)差值越大，商品價格越低，顧客越有利.所以可猜想ab≤（）2，由于a≥0，b≥0，上式兩邊開方得（a≥0，b≥0），又體現(xiàn)基本不等式的應(yīng)用.

情境問題三：在一個正方形中，畫出四個全等的直角三角形（如右圖），其直角邊分別為a、b，則四個三角形的面積和為2ab，正方形的邊長為，由圖形可得：四個三角形的面積和小于正方形的面積即2ab≤a2+b2，因?yàn)閍≥0，b≥0，用去替換a、b，得出（a≥0，b≥0）.這種方法中體現(xiàn)換元法的應(yīng)用.

情境問題四：如右圖，在一個半圓中，圓心為O，AC 為直徑，B 是圓弧上一點(diǎn)，則∠ABC=90°，設(shè)AD=a、CD=b、BD=h 已知BD⊥AC，那么OB=，由垂線定理知h2=ab，由圖形可知BD≤OB 即，從而得到基本不等式.

情境問題五：畫出兩個等腰三角形（如右圖），直角邊分別為a、b，且三角形的兩腰重合，由圖可知：兩三角形的面積和大于以a、b 為邊長的矩形的面積，即≥ab，然后同問題三的處理，可以看出當(dāng)a、b 長度逐漸接近時，兩圖形面積逐漸接近，所以當(dāng)a=b時取“=”，基本不等式成立.

基本不等式知識點(diǎn)作為高考中的重要考點(diǎn),可以單獨(dú)以填空選擇形式考查,也可以與其他熱門考點(diǎn)（三角，解析幾何）結(jié)合以綜合題形式進(jìn)行考查,是求最值問題最有利的工具。因而，教學(xué)中要求學(xué)生正確應(yīng)用基本不等式進(jìn)行判斷和計(jì)算，熟練掌握基本不等式的變形應(yīng)用。我們在學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程還是要重視基礎(chǔ)，回歸教材，突出雙基。