高等數學理論應用于實際的教學研究

毛旭強　林海嬋

[ 作者簡介 ]

毛旭強，男，四川樂山人，海南大學理學院，講師，碩士，研究方向：基礎數學。

林海嬋，女，海南昌江人，海南大學理學院，講師，碩士，研究方向：應用數學。

[ 基金項目 ]

海南省自然科學基金青年基金項目（120QN175），海南大學理學院教育教學改革研究項目（LXG202009）。

[ 摘要 ]

本文通過高等數學理論在實際中的幾個應用，研究在教學中將高等數學理論與現實應用相結合，激發學生的學習興趣，培養學生主動思考和分析問題的能力。

[ 關鍵詞 ]

導數;曲率;漸屈線;漸伸線;自治微分方程;無窮級數

中圖分類號：O13

文獻標識碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2022.03.037

高等數學是高校重要的基礎學科，因其含有的微積分、微分方程、級數等內容被廣泛應用于各個領域，所以高等數學是大學很多專業的核心基礎課程。高等數學作為一種數學課程，課程內容比較抽象，老師在講授的過程中，往往偏向于定理和性質的推導與證明，對其在實際中的應用涉及較少。這導致學生在學習過程中會感覺枯燥，而學習完課程后，很多學生只掌握了純數學問題的計算與證明，卻不了解這些理論在現實中的作用，部分人甚至發出高數無用的感嘆。因此如何讓教學過程既有用又有趣就顯得尤其重要，通過現實實例來講解理論是實現有趣教學的重要途徑。

目前國內經濟社會發展進入一個新時期，進行供給側改革和產業升級需要科技的支撐，大學作為科技產出的重要單位，理應為國家發展盡一份力，高等數學作為一門基礎學科，只有面向應用，才能做到學以致用，才能在各行各業中發揮作用。本文通過高等數學理論在數學建模和工業上的幾個應用，以期在教學中將高等數學理論與現實進行結合，激發學生的學習興趣，培養學生主動思考和分析問題的能力。

1 利用導數判斷實驗數據與常見函數的擬合，實現對實驗數據的建模

在研究中，對實驗數據進行建?？梢岳迩遄兞恐g的聯系，并且一旦建模成立，還能利用模型對未來數據進行預測，利用導數判斷實驗數據是否擬合函數是數學建模中經常使用的方法。假設為實驗數據，令。

1.1 利用導數判斷變量間的聯系是否為

當時，，即，

因此，如果根據實驗數據得出常數，則說明與間具有直線關系。

1.2 利用導數判斷變量間的聯系是否為

所以如果實驗數據得出常數，則說明。

1.3 利用導數判斷變量間的聯系是否為

當時，在等式兩邊取對數，有，令，則，此時，所以如果實驗室數據顯示常數，則說明 。

表1是全球各年度人口總量數據，數據來源于聯合國經濟與社會事務部中的人口統計，依照上述處理方式尋求建立以時間為自變量，以每年的人口總數為因變量的數學模型。

對數據進行初步處理后可以看出，從2007年開始到2021年，基本呈現線性遞減的趨勢，因為利用表中數據建立的線性方程=-0.0001t+0.0124，解此方程可得=67.06e-0.00005t2+0.0124t，這即是人口總數與時間之間的數學模型。利用此模型計算出2008到2021年的人口數據如表2所示：

由表2數據可以看出，模型數據和實際數據非常吻合，所以此模型成立，可以利用此模型預測到2022年末全球人口總數將達到79.86億。

由上所述，可以利用導數分析變量數據以建立變量間的數學模型。另外，當判斷出變量間具有以上函數關系后，通常還需要使用最小二乘法以確定函數表達式中的參數，來得到變量間更具體的函數關系，在上例中，由于變量間的線性關系顯著，所以直接使用了實驗數據進行建模，而沒有使用最小二乘法。

2 曲率導出的漸屈線和漸開線的應用

可導函數在某點處的曲率用于判斷函數曲線在該點處的彎曲程度，其計算式為，曲率在工業中有一個非常實際有趣的應用，就是利用曲率圓圓心軌跡曲線的性質制作漸伸線齒輪。

當曲率K≠0時，在點M處的法線上，在凹的一側取一點D，使，以點D為圓心，ρ為半徑作出的圓稱為曲線在點M處的曲率圓，D稱為曲率中心。當點M沿著曲線移動時，曲率中心D的軌跡曲線稱為曲線的漸屈線，曲線稱為漸伸線。

設曲率中心D的坐標為（α，β），根據曲率圓的定義可知

依據參數方程求導公式可求出，從而，由此可知，漸屈線G的切線與漸伸線 的切線垂直，如圖一所示。

利用漸屈線G的切線與漸伸線垂直這一性質，工業中將之應用于設計漸伸線齒輪。如果將齒輪轉盤邊緣曲線作為漸屈線，以邊緣曲線的漸伸線作為轉盤齒輪，利用漸屈線切線與漸伸線切線相垂直這一特性，當齒輪轉動時，齒輪咬合處力的方向正好與齒輪垂直，從而可以得到最大力矩，如圖二所示。

3 利用自治微分方程的相直線和平衡點建模

微分方程是研究自然和社會的有力工具，在科學研究和實際生產中，很多問題可以歸結為用微分方程表示的數學模型，在講授微分方程時結合實例進行講解有助于培養學生的建模思維。

求解微分方程的過程就是要求出滿足方程的函數 。為了方便求出，在微分方程中通常表示為自變量的函數，例如，如果在一個微分方程中表達式中只含有而不含有，這種微分方程就稱為自治微分方程，例如。在處理實際問題時，我們往往最先觀察到的是因變量的變化，此時可以考慮用自治微分方程的相直線和穩定點的思想來進行建模分析。

在自治方程中，使0的值稱為方程的平衡點，例如上面方程中的0與20。平衡點所對應的直線稱為相直線。相直線可以用于分析微分方程的解函數的變化趨勢。

例如，在方程（20-）中，易知，當解函數（）位于相直線20上方時，<0，此時（）單調遞減;而當解函數（）位于相直線20下方時，>0，此時（）單調遞增，如圖三所示。假設表示現實中水壺里水的溫度，室內溫度是20攝氏度，那么圖三表明，當水溫高于室溫時，隨著時間推移，水溫會下降直到達到室內溫度;而當水溫低于室溫時，隨著時間推移，水溫會上升，直到達到室內溫度。

相直線建模在現實中廣泛應用于分析有限資源下的群體增長、一條信息在人群中的擴散情況、工業中化學物的自催化反應等等。在分析有限資源下的群體增長時，在現實環境中，由于受到資源的限制，種群數無法無限增長，當種群數目小于環境的最大負載能力時，種群數可以一直增長;但當種群數超過環境的最大負載能力時，種群數將下降。在理論上種群數將圍繞著環境的最大負載值進行波動，這正好是相知線模型的特征。

假設環境對某一種群的最大負載數為M，種群當前的數目為，由上可知，當<M時，（t）>0，種群數增長;當>M時，（t）<0，種群數下降。其對應的自治微分方程模型為：

，此模型中0及M 時種群增長速度為零，直線0與M為該模型方程的相直線。相直線M與上圖中的相直線20類似，當時間 t 增加時，曲線會趨于M，所以點M 又稱為方程的穩定平衡點。解此微分方程可得，其中當>M時，r <0;當<M時，r>0。在自治微分方程兩邊繼續求導，可得，從而當 時，此時曲線是凹曲線;當時，此時曲線是凸曲線;當>M時，曲線時凹曲線，如圖四所示。這表明，當時種群增速較快，當>時種群增速放緩，并且逐漸趨于0，穩定在M;而當>M時，越大種群減速越快，隨著時間推移減速放緩，逐漸趨于零，穩定在M。

4 無窮級數在現實中的應用

無窮級數是一個強有力的工具，利用它使我們能將函數表示成無窮多項式或者無窮三角函數項，并且當我們把它截斷成有限項時，還可以進一步分析產生的誤差，這些特性使得無窮級數在醫藥、經濟、熱流、振動、信號傳輸等各行各業中都有重要的作用。通過實例的學習，可以讓學生為級數在科學和數學中應用打好良好的基礎。

4.1 無窮級數在醫學中的應用

很多慢性病人每天都要按醫囑服用一定劑量的某種藥物，每天都有一定比例的藥物通過各種渠道排泄掉，醫生往往需要根據病人長期服藥后體內藥量維持水平來確定病人的服藥量。

假設病人每天的服藥量為m，每天有比例的藥物通過各種渠道排泄掉，則服藥第一天，病人體內藥量為m;服藥第二天，病人體內藥量為;服藥第三天，病人體內藥量為;…，依此類推，長期服藥后，病人體內的藥量為，這是一個公比為的無窮級數，利用等比級數求和公式可知。由上可知，如果病人每天服藥量為1 mg，排泄率為25 %，那么長期服藥后，病人體類的藥量水平將是4 mg。所以醫生可以根據病人體內藥量水平，結合病人的病情來確定病人的服藥量。

4.2 無窮級數在經濟中的應用

無窮級數在經濟中可用于依年復利計算時金融投資中的投入和收益。

假設投資年回報率為，依年復利計算，若投資方希望通過投資S萬元，實現第一年提取a+b萬元，第二年提取a+2b萬元，…，第n年提取a+nb萬元，并能按此規律一直提取下去，為實現這個目標需要確定最初的投資額S。因為n年后的提取值為a+nb，假設a+nb是由投資額S中的部分金額Sn 通過年復利計算產生的，則無窮級數，無窮級數，利用級數 ，將代入，有，于是可得。由上，如果投資回報率r=0.1，a=10，b=10，則為實現目標，最初的投資額需要1200萬元。

5 結語

以上只是闡述了高等數學在現實中的幾個應用，實際上，現實中的對高等數學理論的使用非常廣泛，從經濟學到金融、從物理到航天、從工程設計到信號傳輸、從醫藥分析到化學反應等等，各行各業都有大量應用。因此，加強高等數學教學中理論知識實際應用的講解將激發學生的學習興趣，增強學生分析問題解決問題的能力，為學生進一步的發展打下良好的基礎。

參考文獻

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