馮翱，朱燁，李莉麗

（成都信息工程大學(xué) 計算機學(xué)院，四川 成都）

一 引言

《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》是計算機學(xué)科的核心課程之一，在ACM-IEEE 課程體系中一般被編號為CS2，是在CS1（基礎(chǔ)程序設(shè)計語言）之后的第二門專業(yè)課程。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作為培養(yǎng)程序設(shè)計能力的核心專業(yè)課程，在問題理解、抽象、設(shè)計和實現(xiàn)這個流程中對于計算思維的形成起到關(guān)鍵性作用[1]。由于該課程概念多，并且通常講解方式較為抽象，如果不能有效地與工程應(yīng)用結(jié)合，對于部分學(xué)生來說理解難度較大[2]。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程中算法復(fù)雜度是最重要的知識點之一[3]，通常在教材的第一章作為基礎(chǔ)內(nèi)容和方法出現(xiàn)。算法復(fù)雜度包含時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個概念，分別衡量在一定規(guī)模的輸入數(shù)據(jù)下，程序運行時間和額外占用空間相對于問題規(guī)模n 的漸近復(fù)雜度。前者判斷在問題規(guī)模較大時，是否能夠以比較高的時間效率完成確定性算法的執(zhí)行，而后者決定算法運行過程中的臨時數(shù)據(jù)是否能夠同時在處理效率較高的物理介質(zhì)中進行操作。通常在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的教學(xué)過程中不涉及規(guī)模過大的數(shù)據(jù)集，而且多數(shù)算法不會用到超過多項式級別的空間復(fù)雜度。除了外部排序（在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程中一般是選學(xué)內(nèi)容）之外，基本不會發(fā)生頻繁的內(nèi)外存數(shù)據(jù)交換，因此在提到算法復(fù)雜度的時候，大多數(shù)情況下重點關(guān)注的是時間復(fù)雜度。

對于算法復(fù)雜度分析的應(yīng)用貫穿于整門課程的教學(xué)過程中。后續(xù)章節(jié)通常是以一類數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為核心，講解其類型定義、在不同存儲結(jié)構(gòu)下的實現(xiàn)以及在具體場景中的應(yīng)用。對于每種物理實現(xiàn)（如順序或鏈?zhǔn)酱鎯Γ┫碌木唧w操作，都需要進行時間和空間復(fù)雜度分析，一方面是加深學(xué)生對于算法過程和資源需求的理解，另一方面復(fù)雜度分析決定了在資源受限場景下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法選擇的優(yōu)先級和可行性。從某個層面上來說，對于算法復(fù)雜度的正確分析決定了學(xué)生是否能夠真正理解問題的困難程度，并在真實場景中選擇適當(dāng)?shù)乃惴▽ζ溥M行合理應(yīng)用。

二 問題分析

在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的教學(xué)過程中，算法復(fù)雜度的內(nèi)容相對來說是掌握情況較差的。對于特定邏輯結(jié)構(gòu)下的指定算法，例如標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)部排序，經(jīng)過反復(fù)的講解和練習(xí)后，大多數(shù)學(xué)生能夠掌握其算法思路，并能在標(biāo)準(zhǔn)化場景下進行應(yīng)用。但如果要求學(xué)生對于特定算法的復(fù)雜度進行獨立分析，很大一部分的學(xué)生不能給出清晰的推導(dǎo)過程和結(jié)果，歷次考試中算法復(fù)雜度分析的題目得分率普遍在50%之下。經(jīng)過與多屆學(xué)生的反復(fù)溝通，這個知識點掌握困難的主要原因包括概念的抽象性、課程教學(xué)中問題規(guī)模過小和缺少真實應(yīng)用案例三方面。

（一） 算法復(fù)雜度概念理解上的抽象性

算法復(fù)雜度的形式定義是使用數(shù)學(xué)中的漸近上下界來描述的，以漸近上界的定義為例：

雖然計算機類專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之前一般都完成了高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，要求他們用數(shù)學(xué)的方式閱讀并對該公式進行解釋，對于絕大多數(shù)的學(xué)生有很大的困難[4]。相對來說，采用圖1 所示的方式直觀性地加以解說，對于有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生來說基本都能夠接受。

圖1 算法復(fù)雜度知識點中漸近上界的圖形化說明

對于漸近下界Ω（）和漸近緊確界Θ（）的講解也有類似的情況。從大多數(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)教材的內(nèi)容中可以觀察到，雖然多數(shù)基本算法在進行復(fù)雜度分析時嘗試找到的是漸近緊確界，為了降低學(xué)生的理解難度，描述復(fù)雜度時通常都使用漸近上界符號O（）。

（二） 課程教學(xué)中的問題規(guī)模

時間復(fù)雜度的變化會帶來算法運行時間的較大差異，但這個差異一般要在輸入數(shù)據(jù)的大小達到一定規(guī)模時才能夠被明顯觀察到。出于教學(xué)演示的需求，無論是教材和課件中用到的例子，以DSDemo[5]為代表的算法演示系統(tǒng)，還是課程中設(shè)計的實驗環(huán)節(jié)，輸入數(shù)據(jù)集的大小通常不超過20。在這樣的小規(guī)模數(shù)據(jù)集上，具有不同運行效率的同類算法在運行時間上沒有明顯的區(qū)別。以內(nèi)部排序算法為例，雖然我們知道簡單排序算法中的冒泡排序具有較高的時間復(fù)雜度，而復(fù)雜排序算法中的快速排序、堆排序等的平均時間復(fù)雜度為，對于實驗中用到的小規(guī)模數(shù)據(jù)，實際執(zhí)行時間都在毫秒級。如果嚴(yán)格執(zhí)行計時程序，經(jīng)常會出現(xiàn)簡單算法運行更快的結(jié)果，這是因為它們單次執(zhí)行的指令更少，在執(zhí)行次數(shù)差別不大的前提下總的運行時間可能更短。如果在不加限制的條件下要求學(xué)生實現(xiàn)一個排序算法，大多數(shù)學(xué)生毫不猶豫地選擇了冒泡排序，主要原因是實現(xiàn)簡單。在小規(guī)模數(shù)據(jù)場景下這樣的判斷并沒有錯，但在他們畢業(yè)進入正式的工程應(yīng)用環(huán)境后，冒泡排序顯然不是一個好的默認選項。

（三） 真實工程應(yīng)用場景的缺失

作為對于真實工程需求的一個介紹，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程教學(xué)中引入了TeraSort 的例子，這是一個Hadoop 時代的典型案例。隨著計算機軟硬件的不斷發(fā)展，Jim Gray 建立的Sort Benchmark 上這個任務(wù)已經(jīng)被MinuteSort 取代，2016 年騰訊的紀(jì)錄就已經(jīng)達到一分鐘排序37TB（非定制化算法）或55TB（定制優(yōu)化）數(shù)據(jù)的水平。但這樣規(guī)模的數(shù)據(jù)對于課程教學(xué)環(huán)節(jié)來說，是大大超出學(xué)生理解范圍的。在類似數(shù)據(jù)規(guī)模下的任何算法問題，對于時間復(fù)雜度都會有很高的敏感度。假定單臺計算設(shè)備有足夠的內(nèi)存，并且編譯器支持分配TB 級的內(nèi)存空間（多數(shù)高校的教學(xué)設(shè)備應(yīng)該滿足不了這些條件），對于不同排序算法的運算時間估計是一個很有意思的問題，而這樣來自于真實工程需求的問題對于他們加深對算法復(fù)雜度的理解，乃至考慮類似工程問題的算法設(shè)計思路都是很有幫助的。在我們的課程教學(xué)中，明顯缺失了這一部分內(nèi)容，而這恰恰是學(xué)生從書本知識過渡到真實工程需求中欠缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

三 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計與實施

針對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程中學(xué)生對于算法復(fù)雜度理解困難的現(xiàn)狀，課程組使用外部數(shù)據(jù)源和開源框架引入真實數(shù)據(jù)集，讓學(xué)生對于大規(guī)模問題有直觀的感受和更高的參與興趣，并面向不同層次的學(xué)生嘗試多種形式、不同規(guī)模的項目實踐活動，收集了學(xué)生的直觀反饋，以指導(dǎo)相關(guān)知識點教學(xué)過程的持續(xù)改進。

（一） 外部數(shù)據(jù)導(dǎo)入

為了在教學(xué)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生有機會接觸到更大規(guī)模的真實數(shù)據(jù)，課程組對高校教學(xué)領(lǐng)域現(xiàn)有的數(shù)據(jù)源和訪問框架進行了調(diào)研。BRIDGES[6]為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程提供了訪問多個真實數(shù)據(jù)集的簡單接口，目前已經(jīng)包含Twitter、Facebook 等多個數(shù)據(jù)源，同時為了對于數(shù)據(jù)有直觀的認知，還包含了數(shù)據(jù)可視化的功能。RealTimeWeb[7]在計算機課程的教學(xué)中使用了實時更新的在線數(shù)據(jù)集，在不接觸太多實現(xiàn)細節(jié)的前提下讓學(xué)生熟悉數(shù)據(jù)處理的基本原理。在計算機領(lǐng)域之外，CORGIS[8]涵蓋了歷史、政治、醫(yī)藥、教育等多個領(lǐng)域的40 多個數(shù)據(jù)集。經(jīng)過對這些框架的調(diào)研和比較，選擇了最適合相關(guān)課程的BRIDGES 框架，經(jīng)過移植和封裝后提供了使用樣例和說明文檔，供后續(xù)項目和其他教學(xué)環(huán)節(jié)使用。

（二） 實踐項目設(shè)計

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的課程項目設(shè)計中給出了一個算法復(fù)雜度分析的題目，要求在較大規(guī)模的數(shù)據(jù)集上實現(xiàn)至少一種時間復(fù)雜度為和一種復(fù)雜度為的排序算法，并且用實驗的方法確定其復(fù)雜度。為了體現(xiàn)不同復(fù)雜度階次算法之間的性能差異，數(shù)據(jù)規(guī)模要求在10 萬條以上，這有效地避免了因為數(shù)據(jù)量過小導(dǎo)致使用復(fù)雜度的簡單排序算法運行效率更高的情況。此外，題目要求對于算法真實運行時間或者基本操作執(zhí)行次數(shù)進行記錄，讓學(xué)生能夠更直觀地感覺到算法選擇對于執(zhí)行效率的影響。雖然這只是一個小規(guī)模的實踐項目，相對傳統(tǒng)課堂上的“小”數(shù)據(jù)，這是一個更接近于真實工程應(yīng)用規(guī)模的虛擬場景。從提交的結(jié)果看來，這個項目一方面對于線性回歸、最小二乘法等數(shù)學(xué)知識提供了額外的學(xué)習(xí)機會，更有價值的收獲是“不僅學(xué)會了多種排序算法，更對時間復(fù)雜度的概念有了深刻的理解，還把數(shù)學(xué)知識和編程、算法，聯(lián)系到了一起，對未來的編程道路有一定的啟發(fā)作用”。學(xué)生從計時結(jié)果上真實感受了較大數(shù)據(jù)規(guī)模下時間復(fù)雜度算法的明顯優(yōu)勢，并有更高積極性去深入分析兩類算法的機制差異，嘗試?yán)斫猱a(chǎn)生這個復(fù)雜度變化的原因。

（三） 算法時間復(fù)雜度分析系統(tǒng)

由于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程在大二上學(xué)期設(shè)置，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、程序設(shè)計能力和對工程問題的理解還比較有限，設(shè)計和實現(xiàn)一個具有更高通用性的復(fù)雜度分析系統(tǒng)對于這個階段的學(xué)生有一定難度。在本科畢業(yè)設(shè)計階段，將《算法時間復(fù)雜度分析系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)》作為備選題目之一，并提出了更高的要求。增加的主要功能包括：

（1） 對于不同格式、不同來源的輸入數(shù)據(jù)進行讀取和清洗，去掉異常數(shù)據(jù)；

（2） 對于自定義算法，在滿足輸入輸出接口一致的前提下，能夠支持復(fù)雜度分析功能；

（3） 有效地去除擬合結(jié)果中的噪聲，得到算法對應(yīng)復(fù)雜度公式中最主要的函數(shù)項，該結(jié)果在不同設(shè)備上具有較好的一致性。

在算法復(fù)雜度分析中，對指令/ 代碼進行計數(shù)是比較常用的方法，但該方法通常只適用于固定代碼，對于自定義算法來說難以實現(xiàn)。如果采用運行計時的方法，對于設(shè)備的各種參數(shù)和運行時負載情況又比較敏感。為了得到跨設(shè)備一致的分析結(jié)果，學(xué)生設(shè)計了一段包含主要運算操作的基準(zhǔn)代碼，用同一設(shè)備上算法運行時間和基準(zhǔn)代碼運行時間的比值作為相對復(fù)雜度，這樣在一定程度上排除了軟硬件環(huán)境對于運行時間的影響。針對離群點影響最終擬合結(jié)果的情況，又引入了基于M 估計的最小二乘法，保證擬合曲線與實驗數(shù)據(jù)有較好的一致性，系統(tǒng)展示的擬合結(jié)果如圖2 所示。

圖2 歸并排序算法在有較多離群點時的擬合結(jié)果

學(xué)生在對于該系統(tǒng)的總結(jié)中提到：“完成的系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的擬合效果，得到的曲線與訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本高度重合，并表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性與可靠性。該系統(tǒng)提供可視化交互式界面，可以對外界的真實數(shù)據(jù)進行操作，這有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程時將教材內(nèi)容與真實問題接軌，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參與度。”這與系統(tǒng)的設(shè)計目標(biāo)一致。

四 問題分析與課程改進

從已經(jīng)實施的教學(xué)環(huán)節(jié)中可以看到，教學(xué)過程中的小數(shù)據(jù)依然是制約學(xué)生對算法復(fù)雜度深入理解的主要障礙。而要解決這個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程教學(xué)中的共有問題，主要考慮從真實數(shù)據(jù)、實踐案例和師資水平三方面加以改進。

在很多學(xué)生的反饋中都提到，當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較小時，不同算法的運行時間差別并不明顯，甚至?xí)霈F(xiàn)理論復(fù)雜度低的算法運行時間更長的情況。當(dāng)達到一定數(shù)據(jù)規(guī)模之后，不同類別算法的運行時間就明顯展示出了增長速度的差異。這也展現(xiàn)了課堂教學(xué)和工程應(yīng)用中的場景特征。在教學(xué)環(huán)節(jié)，如果我們繼續(xù)使用小規(guī)模的“偽”數(shù)據(jù)，對于學(xué)生來說如何用最簡單的代碼實現(xiàn)要求的功能就會成為他們進行方案選擇的第一優(yōu)先。而在真實工程技術(shù)場景下，對于大規(guī)模數(shù)據(jù)進行處理的運行效率直接決定實現(xiàn)方案的可用性。為了彌合二者之間的差異，引入大規(guī)模的外部數(shù)據(jù)，尤其是現(xiàn)實應(yīng)用中的真實數(shù)據(jù)，是提高學(xué)生工程應(yīng)用能力的必要環(huán)節(jié)。

從現(xiàn)在已經(jīng)嘗試的工作來看，算法復(fù)雜度至少對于本科低年級學(xué)生來說是一個具有一定難度的概念，其原因除了講解方式較為抽象以外，缺少具有足夠規(guī)模的真實問題，讓他們感受不到復(fù)雜度差異對于運行效率的影響，是現(xiàn)有教學(xué)過程中不足之處。現(xiàn)階段工程技術(shù)教育逐漸融入到高校教學(xué)過程中，這是一個良好的改進契機。不少高校的培養(yǎng)方案中將工程實踐、企業(yè)實習(xí)等納入本科必修的教學(xué)環(huán)節(jié)，在工程實踐教學(xué)過程中，可以適當(dāng)?shù)匾雭碜云髽I(yè)或者社會的真實數(shù)據(jù)，并提供將教材所學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法應(yīng)用于真實需求中的實踐案例。這對于學(xué)生來說，一方面能夠更早接觸行業(yè)需求，了解自己應(yīng)該學(xué)什么，另一方面解決真實問題的成就感遠遠超過完成教材上的幾道習(xí)題，對于學(xué)習(xí)興趣和動力也會有更大的促進。

對于相關(guān)課程的任課教師來說，從校園到校園的純學(xué)術(shù)型人才已經(jīng)不能滿足信息學(xué)科發(fā)展的需求了。獲取行業(yè)實踐經(jīng)驗，根據(jù)經(jīng)濟和社會需求相應(yīng)調(diào)整課程教學(xué)的內(nèi)容和手段，也是持續(xù)提高教學(xué)水平、教學(xué)效果和個人能力的需要。此外，在與企業(yè)的聯(lián)合培養(yǎng)過程中引入更多的工程技術(shù)型校外導(dǎo)師，也是對于現(xiàn)有以學(xué)術(shù)型人才為主的高校師資的重要補充。

五 結(jié)語

算法復(fù)雜度問題在很長一段時間之內(nèi)都會是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的重點和難點之一，主要原因包括漸近復(fù)雜度概念的抽象化、課程中使用數(shù)據(jù)規(guī)模過小，以及真實工程應(yīng)用場景在課程教學(xué)環(huán)節(jié)中的缺失。對于這個概念內(nèi)涵理解的不夠深入使得在課程各階段的考核中學(xué)生的得分率偏低，同時在需要根據(jù)問題規(guī)模進行算法選擇時，很多情況下學(xué)生傾向于實現(xiàn)最簡單的高復(fù)雜度算法，這些都是算法復(fù)雜度部分教學(xué)效果不佳的直觀體現(xiàn)。

為解決這些問題，在本科數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程和畢業(yè)論文等幾個階段通過課程項目和畢業(yè)設(shè)計等方式進行了一些教學(xué)模式的實踐和研究。從執(zhí)行情況來看，選擇這些項目的學(xué)生會有意識地對相關(guān)算法、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和算法復(fù)雜度分析的方法進行學(xué)習(xí)，并通過一定規(guī)模下的實驗真實體會不同復(fù)雜度對于算法運行效率的影響。從教師的教學(xué)觀察和參與學(xué)生的直接反饋得知，參與這些教學(xué)環(huán)節(jié)使得學(xué)生對于相關(guān)概念和方法的理解有一定提高。

基于現(xiàn)有問題和教學(xué)研究已取得的成果，為了更為全面地改善數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程中對于復(fù)雜度的理解，提高教學(xué)效果和在后續(xù)工程實踐場景中的有意識應(yīng)用，下一步主要計劃從以下幾個方面對于培養(yǎng)過程進行改進。

（1） 引入真實外部數(shù)據(jù)，以增強學(xué)習(xí)興趣，并理解真實大數(shù)據(jù)場景下復(fù)雜度對于算法選擇和運行效率的影響；

（2） 聯(lián)合相關(guān)企業(yè)構(gòu)建工程實踐環(huán)節(jié)，讓學(xué)生理解行業(yè)真實需求，并有意識地進行按需學(xué)習(xí)；

（3） 引入具有豐富實踐經(jīng)驗的企業(yè)導(dǎo)師，并在高校中通過多種方式培養(yǎng)更多的雙師型教師，提高整體師資水平，給學(xué)生書本知識之外的全方面培養(yǎng)。

算法復(fù)雜度只是現(xiàn)有教學(xué)模式下暴露出來的一個知識難點，而對應(yīng)的改進方案也不僅僅是為了解決這一個問題，其核心思路是將學(xué)校的培養(yǎng)過程與行業(yè)發(fā)展和企業(yè)所需的知識體系結(jié)合，培育面向市場需求的高素質(zhì)綜合型人才。

致謝感謝王維寬提供基于BRIDGES 的外部數(shù)據(jù)引入代碼和文檔，感謝在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程項目中選擇算法復(fù)雜度題目的吳晶、王奧等同學(xué)，感謝李杏作為畢業(yè)設(shè)計項目完成的算法復(fù)雜度分析系統(tǒng)。