金玲玉，房少梅

（華南農業大學 數學系，廣東 廣州）

一 現狀分析

數學分析課程作為各個高等院校數學系各個專業的專業基礎課程，數學分析的課程內容是后續實變函數、復變函數、概率論等課程的基礎，同時也是學生今后從事數學應用和理論研究的理論基礎。數學分析課程一直是教學的重點課程之一，但是數學分析教學內容多，內容包含實數理論、極限論、一元微積分、多元微積分及級數理論等；學習時間跨度長，至少跨越三個學期，有些學校甚至是四個學期的課程。同時數學分析理論知識抽象難懂，學生普遍反映難學，具有一定的學習障礙和畏難情緒。傳統課堂教學模式單一，教師以黑板板書或者ppt演示為主，以教師灌輸被動式教學為主，同時由于課堂內容多，課堂互動少，學生學習的主動性不高，課堂缺少雙向性和互動性。如何利用有限的學時，高效合理地開展數學分析教學，提高教學效果，培養學生的數學素質，這是擺在我們面前的一個重要課題。在迅猛的互聯網和大數據發展的時代，我們可以將好的教學平臺軟件和先進的具有特色的教學方法有效地結合起來進行數學分析教學改革。

二 雨課堂教學特色介紹

清華大學在線教育辦公室和學堂在線研發的雨課堂平臺的出現，為教育教學帶來創新和變革的機遇[1]。雨課堂以插件形式在ppt出現，學生和教師都只需要通過微信登陸，方便快捷[2]。同時雨課堂中多種手段，課堂現場答題、點名、投稿等功能促進師生之間的互動，同時還有板書功能和板書發送功能，可以有效地調整課堂節奏。雨課堂教學結合了板書和ppt的優點，又解決了互動問題。同時教師還可以在雨課堂發布課前預習、課后復習內容，還有設立課堂討論等板塊，這些功能都能很好地提高學生興趣，改善教學質量[3]。師生通過簡便的手機操作即可實現提升師生間的互動，讓學生線上線下進行混合式學習，教學更為便捷。主要優勢如下：

（一） 課前促動

通過雨課堂平臺教師可以在課前提前發送學習資料[4]，推送視頻、ppt、試題等資料。通過教師發送的學習資料，學生可以在課前進行有效的自主預習，對于本節課程需要的過往基礎知識進行復習，初步學習本節的新的知識點，甚至在雨課堂上標注本節課的知識難點、疑點等。教師通過雨課堂的記錄可以了解學生預習的難點和疑點以及學生已有的學習基礎。這構成了課前師生的有效的雙向互動。

（二） 課中互動

雨課堂設置了多種互動形式。學生通過手機微信掃碼報道自動記錄學生的考勤。雨課堂的隨機點名功能使得教師可以抽查學生回答問題，提高學生在課堂上的關注度[4]。教師提出問題，學生也可以通過投稿功能發布自己的解題方案，教師和同學們可以一起評判解題方案的優缺點。雨課堂ppt可以穿插設置習題，在講解例題后，可以發布題目讓學生即時在手機上解答。雨課堂能自動總結匯集學生的解答正確率，這使得教師充分了解學生的知識的掌握程度。這些手段有效地增強了課堂教學過程中師生之間的互動。

（三） 課后互動

課后教師發布課后習題，學生在雨課堂上解答題目。雨課堂平臺使得發布的內容多樣化，可以是習題也可以是慕課小視頻等。對于習題和試卷，教師可以設置答案，選擇題和填空題系統將自動批改，并展示正確答案。學生也可以在討論區發布自己上課的疑問，教師和學生都可以回答問題。雨課堂提供了教師學生課后互動的一個好的平臺。

“雨課堂”的混合式教學模式是大數據下的一個新的創新，特別是大數據處理的優勢，學生在雨課堂的學習情況可即時通過雨課堂數據分析后反饋給教師，以便教師根據學生的學習情況調整教學節奏，同時雨課堂提供了多種方式讓學生進行參與式學習，這有效地調動了學生的積極性，培養學生的學習能力。這將傳統的單向的教師傳輸模式打造成以學生為中心的雙向互動教學模式。

雨課堂平臺給予師生全新的體驗，課堂效率得到有效提高。學生的學習能動性、師生的互動性得到有效改善，是一種多層次、多角度，互學互用的教學方法。

三 BOPPPS模式介紹

BOPPPS教學模式是加拿大不列顛哥倫比亞理工學院創建并推行的新的教學設計，主張以學生為中心，包含導入（bridge-in）、學習目標（objective）、先測（pretest/assessment）、參與式學習（participatory learning）、后測（post-test）/assessment）、總結（summary）六個教學模塊。這種學習模式可以吸引學生注意力、激發好奇心，產生學習動力，并通過先測了解學生原有知識的掌握程度，后測確定學生本次學習的掌握度[5-6]。

引入：在BOPPPS教學中設置教學引入（bridge-in）環節。引入方式包含相關知識引入、實際案例引入[7]等多種引入方式。相關知識引入指通過已經學習過的相關知識引入到新知識。比如學習函數極限的時候，先從已學過的數列極限出發，由于數列是特殊的函數，通過數列極限定義引入到函數極限的定義。具體實例引入指采用具體的案例，數學的實際背景引入，比如說學習定積分時候，先從曲邊梯形求面積，變速直線運動等具體實例引入。教學的引入可以提高學生學習的興趣，加深學生對知識的理解和使用。

目標：教師明確本課程的教學目標。根據學校數學系各專業的人才培養目標設置教學目標。教學目標是教師設置教學過程的指南針。

前測：為了提高學生的參與度和關注度，了解學生的知識基礎以便學生調整課堂節奏，可以在課前或者課堂布置測試，了解測試情況。借助現代化的教學軟件可以方便學生和教師共同完成這個環節。

參與式學習：教師在教學課前、課中、課后多種方式設計參與式學習。比如教師將知識點分塊，對一部分知識點采用教師布置任務，學生分組討論并講解，教師總結。或者對于比較難以理解的知識，在教師講解完知識點后，學生分組討論知識點的運用，引導學生采用不同的方法解決，并討論方法的優缺點。

后測：課堂知識講解完畢后，教師布置測試題目檢查學生掌握知識情況，這同時助于學生加強知識的掌握度。

總結：將本次課的內容進行總結。對于重點和難點內容進行強調和梳理。

四 雨課堂和BOPPPS模式相結合的創新型教學模式——以泰勒中值定理為例

雨課堂作為一個教學平臺可以很好地實現BOPPPS模式。BOPPPS模式的先測和后測都可以通過雨課堂平臺進行發布。并且雨課堂的數據處理可以有效地提供學生先測和后測的結果給學生和教師。雨課堂的彈幕、課堂討論、分組等功能可以完美地實現參與式學習。

本文基于雨課堂和BOPPPS模型，進行以學生為主體，探索式和創新式為主要導向的新的教學設計。泰勒中值定理是數學分析教學內容中重要的一個定理，但是學生很多時候覺得理論復雜晦澀難懂，是教學過程中的難點之一。下面充分運用雨課堂中多種手段結合BOPPPS模式和探索式教學[8]，以及泰勒中值定理本節的知識特點，給出泰勒中值定理教學設計。

（一） 課前準備（與BOPPPS模式的先測相結合）

在雨課堂發布復習和預習任務，復習柯西中值定理、微分的定義和微分在近似計算中的作用，并預習泰勒中值定理的內容。泰勒中值定理是微分在近似計算的一個推廣，同時泰勒定理的證明是需要使用之前學習過的知識點和定理。課前預習和復習可以讓學生初步理解泰勒中值定理的由來，復習泰勒定理需要用的知識點。設計柯西中值定理、微分及近似計算的相關習題并發布在雨課堂上（先測）。通過雨課堂數據，教師可以了解學生知識基礎，預習的進度，以及預習中提出的疑惑，這些方便教師在授課過程中有針對性地教學。如果測試結果比較差，教師需要在課堂上再次復習柯西中值定理等知識。如果學生測試結果好，預習做得比較好，可以稍微加快講解的進度。

（二） 課堂教學過程

1.教學目標。

知識技能目標：理解并能證明泰勒中值定理，掌握泰勒中值定理的應用。

思想方法目標：培養學生觀察、類比推廣、驗證的數學思想方法。

情感態度目標：透過現象看本質，通過本質特征得出新的現象。培養學生探索創新精神。

2.問題導入（包含參與式學習）。

復習微分的近似計算，如果函數f(x)可微，則

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)

f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)

誤差是o(x-x0)。微分近似是以直線代替曲線近似，一次函數近似逼近f(x)的思想，但是誤差比較大。我們實際上處理的函數大多數都是初等函數，很多初等函數計算比較復雜。但是初等函數是由基本初等函數的有限次四則運算、復合形成的。基本初等函數中熟悉、容易計算的函數是整數階冪函數。所以近似計算中常用多項式逼近函數。微分計算是通過一次多項式來逼近函數。泰勒中值定理實質上是一個用n次多項式逼近的n階可導函數的近似表達式。

為了引導學生思考如何提高近似的精度，提問：

（1）可否通過二次函數逼近，n次函數逼近？這樣能不能減少誤差，提高精度，精度是多少？

（2）如果能夠提高精度，對于函數可導性要求有沒有提高？

這里可以通過雨課堂投稿的方式，開啟彈幕功能和投稿功能，讓學生積極地參與課堂活動，促進師生互動，啟發學生進行思考，引導出結論。在函數的可導性增強的條件下，用n≥2次多項式逼近函數f(x)，誤差減小，誤差估計為o((x-x0)n)。透過現象看本質，培養數學素養。

（1）為什么采用n次多項式近似逼近。用熟悉代替不熟悉的，復雜的事情簡單化。多項式最熟悉、計算最簡單。

（2）誤差減少，精度得到提高。函數的條件要求應該增強。在研究過程中，定理的條件增強的前提下，定理的結果也得到提升。

3.泰勒公式的推導。

泰勒公式本質是運用n次多項式逼近函數f(x)。將泰勒公式的推導及證明分三部分來進行。

第一部分，觀察逼近的一次多項式和函數f(x)的本質特征，可以設置雨課堂課件中的選擇題。此處設置雨課堂選擇題既可以引導學生找出問題的本質特點，也可以通過此種方式提高學生的課堂參與度。觀察一次多項式p1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)的特點，具有（ ）

A.p1(x0)=f(x0) B.p'1(x0)=f'(x0) C.p1''(x0)=f''(x0)

通過此選擇題使學生明白近似多項式p1(x)和函數f(x)在x0處相等，且對應的一階導數也相等。對比預測近似多項式pn(x)和函數f(x)在x0處相等，且對應的n階導數也相等。此處培養學生觀察和類比的數學方法。

第二部分，根據預測的特點，采用待定系數法求出pn(x)。設：

計算pn(x)的各階導數，帶入x=x0上面表格中等式，引導同學們一起計算系數an并得出：

這部分內容訓練了同學們的計算能力。第三部分是泰勒中值定理的證明。從近似計算中誤差估計的角度出發看，驗證探索找到的泰勒多項式pn(x)的確是近似逼近f(x)，且誤差為o((x-x0)n)。即驗證余項：

證明講解中注意以下問題：

（1）分別采用柯西中值定理和洛必達法則這兩種不同方法進行證明，引導學生注意方法的差異。

（2）如果將函數f(x)的n階可導條件加強為n+1階可導，可以得到余項（誤差）的精確表達式。近似估計式變成一個恒等式[6]。

ξ介于x到x0之間。

（3）泰勒公式是拉格朗日中值定理的推廣。當x0=0時，泰勒公式又稱為麥克勞林公式，麥克勞林公式使用最為廣泛。

4.泰勒公式的應用（后測）

（1）泰勒公式在計算中的應用：

①近似計算中的運用：

②極限運算中的運用：

（2）泰勒公式在證明中的應用：

此類題目核心在于右邊是多項式，所以需要嘗試將左邊用泰勒公式展開為多項式加余項。

5.總結

（1）教學內容的總結

總結本節課的主要內容，泰勒中值定理的各種形式，泰勒中值定理的證明，泰勒中值定理在近似計算、極限計算、證明中的應用。

（2）數學思想的總結

從微分近似以直線（一次多項式）代替曲線（一般函數曲線）出發到以曲線（熟悉的n次多項式）代替光滑曲線（任意n階可導的曲線）的數學思想，學會先觀察，數形結合，找到事情的本質特點，類比推廣、大膽嘗試，謹慎驗證的數學方法。這些方法可以用到其他問題的研究上。學數學知識的同時要善于學習數學方法，培養數學素質。

五 應用反思

泰勒中值定理的教學設計，從微分的近似應用出發，引導學生觀察微分近似的本質特征，圖像（以直代曲）和代數（一次多項式）近似替代可導函數兩個方面的特點，抽象出事情的本質特征。從解決實際的應用的需求，提高誤差的精度出發，引導學生嘗試解決問題，找出近似逼近函數的n次多項式，并驗證結果。采用了問題驅動、對比教學、數形結合等教學方法，促進學生積極地參與學習，主動學習。在學生從發現問題，抽出問題的本質特征，嘗試提出解決問題的方法并證明方法的正確性的過程。這個教學設計式融合了BOPPPS模式和探索式學習的特點，教學過程通過雨課堂作為媒介，有效地促進了師生的互動交流，BOPPPS模式中先測和后測環節的實施等。

在數學分析的教學過程中，實行基于雨課堂和BOPPPS的探索式學習，是大數據環境和教學改革創新相結合的一個模式。這個模式充分利用雨課堂平臺，實現了BOPPPS的以學生為中心，參與式學習、探索式學習為核心的新的教學模式。該模式可以提高數學分析教學效率、有效地促進師生互動，學生的主觀能動性得到大大的提高。