問題式教學法在結構化學教學中的應用：一維勢箱中的粒子

張冬菊，馬玉臣

山東大學化學與化工學院，濟南 250100

1 前言

結構化學是化學類各本科專業的必修課，它是連接基礎化學和高等化學的橋梁，課程理論性強、知識點多、內容抽象，且涉及較多的數學、物理知識，通常是學生認為難度較大的一門課程[1-4]。針對課程特點，改進傳統教學方式，以啟發式教學為主導，采用靈活多樣的教學方法，是提高教學質量的重要策略。

問題式教學法(Problem-based learning，PBL)[5]是常用的教學模式之一，它以提出問題、分析問題、解決問題為線索，是融合學習與思考為一體、激勵學生主動參與學習的一種開放式、互動式教學方法，已被應用到多學科的教學中[6]。在結構化學的教學中，恰當使用問題式教學法，通過設計課堂問題，改變“以講為主，以講居先”的格局，充分調動學生的學習興趣，引導學生積極思考、舉一反三，有助于培養學生分析問題和解決問題的能力，是加深學生對物質結構基本原理的認識和理解的重要手段。

本文以“一維勢箱中的粒子”[7]為例，探討基于問題式教學法的教學設計和實施。一維勢箱中的粒子是結構化學課程教學中用量子力學方法處理的第一個模型體系，也是用量子力學方法討論微觀基本粒子運動規律的一個最簡單例子。該模型體系有重要實用價值，可以近似處理直鏈共軛烯烴體系的π電子運動。更為重要的是，通過對模型體系的求解，可以使學生弄清量子力學方法處理微觀基本粒子的基本思路；通過對結果的分析和討論，可以使學生加深對量子力學基本概念的理解；通過對比微觀基本粒子和宏觀物體運動規律的區別與聯系，可以培養學生科學的辯證思維方式和分析問題、解決問題的能力。

本節用到較多的數學知識，包括一階線性常系數齊次微分方程的求解、指數函數與三角函數的變換、e的指數函數積分和微分、三角函數的積分和微分等，以講授為主的傳統教學方式容易導致學生產生畏難情緒。另一方面，內容知識點較多，包括薛定諤方程求解的基本思路、微觀基本粒子運動的基本規律、力學量的測量、平均值的計算等，適宜于用問題教學法開展理論教學。

2 問題設計

作者基于多年教學實踐，根據教學內容特點，改革傳統教學方式，對該節內容設計了問題式教學方法，以提出問題、分析問題和解決問題為主線，以學生為主導，循序漸進設計以下8個主要問題，組織學生主動參與學習。

2.1 一維勢箱中粒子的薛定諤方程求解的基本思路

一維勢箱中粒子的薛定諤方程是一個二階線性齊次常微分方程，其求解過程涉及積分、微分運算。提出該問題的目的在于，引導學生區分主次，理清求解的基本思路，重點強調求解結果，即粒子的能量((1)式)和兩個指數函數形式的復數解((2)和(3)式)，引導學生思考量子數n為什么不能取零，為什么舍去負數。對于方程的具體數學處理過程，不做教學要求，放在課程拓展內容，以滿足數學基礎較好的學生的學習需求。

2.2 一維勢箱中粒子波函數的復數解、實數解及通解之間的變換關系

學生通常對波函數三種解的形式及其之間的變換關系感到疑惑和費解，設計該問題的目的主要是引導學生理解三種解的來源及其之間變換的邏輯關系：常微分方程的直接積分求解結果為兩個復數特解；借助(4)式所示的歐拉變換和狀態疊加原理，將復數形式的特解變換為三角函數形式的特解，如(5)、(6)式所示；根據積分微分方程的特點得到(7)式所示的波函數通解。通過對該問題的討論，一方面有助于啟發學生理解薛定諤方程直接求解的過程，另一方面加深學生對狀態疊加原理的理解。

2.3 一維勢箱波函數歸一化常數的求解

通常學生對歸一化常數只取正值表示疑問，設計該問題的目的是讓學生明確波函數本身沒有物理意義，波函數模的平方表示粒子出現的幾率密度，正負號相反的兩個波函數對應的波函數模的平方是相同的，表示同一個狀態，因此，其歸一化因子只取正值，如(8)-(11)式所示。

2.4 一維勢箱中粒子的薛定諤方程求解結果的特點

箱中粒子的薛定諤方程是哈密頓算符關于能量的本征值方程，設計該問題旨在引導學生注意，方程求解的結果存在如下特點：

(1) 本征值方程求解，同時得到體系波函數和粒子能量，與普通的代數方程不同，告知學生這是邊界條件限制的結果，是本征值方程的特點。

(2) 得到的波函數和能量均是一組解，不是單一解，通過分析求解過程，使學生認識到這是積分微分方程的特點所致。

(3) 本征函數與本征能量之間一一對應，各狀態的能量均不相等，得出“非簡并態”的概念。

2.5 關于波函數和波函數模的平方的討論

(1) 讓學生動手計算ψ值隨x值的變化，并作圖，強調波函數值有正負，引出波函數“節點”的概念，并得出狀態的節點數為n? 1個。

(2) 引導學生理解，波函數即是普通的數學函數，當用于描述具有波動性的微觀粒子時，普通的數學函數就冠名為“波函數”，它描述粒子的運動狀態又稱“態函數”，當用于描述原子中單個電子的運動時，波函數又稱為原子軌道，當用于描述分子中單個電子的運動時，波函數就稱為分子軌道。把“函數-波函數-態函數-原子軌道-分子軌道”等概念有機串聯在一起。

(3) 波函數的模的平方圖像：ψ2均為正值，表示粒子出現在某點出現的幾率密度，粒子在箱內出現的幾率為1，強調歸一化概念。

(4) 啟發學生思考：一維勢箱中的粒子有無運動軌跡？“軌道”的含義是什么？強調將波函數稱為“軌道”，是對微觀粒子運動狀態的一種形象化描述，與宏觀物體的軌道(運動軌跡)概念截然不同，微觀粒子的運動滿足統計規律，無運動軌跡。

(5) 波函數的正交歸一性。讓學生通過計算(12)和(13)式所示積分，明確箱中粒子波函數的正交歸一性((14)式)。

另外，引導學生思考，能否不做上述積分計算直接得到波函數正交歸一性？為什么？引導學生回顧厄米算符的重要性質，屬于不同本征值的本征函數是相互正交的。這樣不需計算即可直接得到箱中波函數正交歸一化的性質。

2.6 關于體系能量的討論

設計如下問題：

(1) 能量量子化：箱中粒子的能量是不連續的，能級與n有關，引出基態(n= 1)和激發態(n ＞1)的概念，并且體系的基態能量不為零，與宏觀物體明顯不同。啟發學生思考，為什么會有能量量子化的結果？引導學生思考邊界條件的限制，是粒子的運動“受到束縛”所致，講清“束縛態”的概念，使學生明白微觀粒子處在束縛態，才會有量子化現象，特別強調“能量量子化”不是微觀粒子的基本屬性。由此進一步啟發學生聯想原子和分子中的電子，電子與原子核電性相反，存在庫倫引力，電子受到原子核的束縛，在核外附近運動，類似于箱中粒子的運動，因此電子的能級也會出現量子化現象。

(2) 能級差：通過計算相鄰兩能級的能級差((15)式)，使學生認識到，能級差隨粒子質量和箱子長度的增大而減小，宏觀物體能級將連續變化，進而啟發學生理解宏觀物體與微觀基本粒子運動規律的內在關聯，教育學生用唯物辯證法的基本思想理解微觀粒子與宏觀物體運動規律的辯證統一，認識量變質變規律。

2.7 關于幾個重要物理量的測量問題

在求解得到一維勢箱中粒子的波函數之后，啟發學生考慮幾個重要物理量的測量問題，包括粒子在箱中的位置、動量、動量平方、能量等。通過計算使學生認識ψn(x)既不是坐標算符x的本征態、也不是動量算符的本征態，因此，粒子的位置和沿x方向的動量均不具有確定值，無法準確測量，可通過計算平均值公式求其平均值。ψn(x)是的本征函數，粒子的能量和動量平方有確定值，即能量和動量大小有確定值。

特別是關于粒子的能量，已通過薛定諤方程求解得到，這里啟發學生思考，是否可用其他方法得到體系的能量？一方面引導學生思考，定態薛定諤方程表明狀態函數是能量算符(哈密頓算符，(16)式)的本征函數，因此可從哈密頓算符本征值的角度得到體系能量，如(17)和(18)式所示：

另一方面，在得到粒子動量平方的表達式之后((19)式)，通過能量與動量之間的關系((20)式)，得到粒子的能量：

這樣，用三種不同的方法得到了體系的能量。

通過對這些力學量測量問題的思考，有助于加深學生對量子力學基本假定的理解。

2.8 一維勢箱模型在化學中的應用

將一維勢箱模型應用于準一維直鏈共軛體系，以最簡單的直鏈共軛烯烴(丁二烯)為例，引導學生考慮如何計算體系π電子的總能量？引導學生考慮兩種π鍵模型，定域π鍵和離域π鍵，分別計算體系4個π電子的總能量，進而引入離域能的概念，使學生認識到離域π鍵使體系得到額外的穩定化能，進而深刻理解直鏈共軛烯烴單雙鍵鍵長趨于平均化的現象。值得注意的是，要向學生強調，用一維勢箱模型描述的π電子能量，是非常粗略的近似，其結果僅有定性意義，一維勢箱粒子的波函數與真實直鏈共軛烯烴的π電子波函數(分子軌道)從函數形式上有本質差異。

3 結語

問題式教學法是國內外廣泛認可的主動學習式教學模式，對于一維勢箱中的粒子，教學內容豐富、綜合性強，涉及的知識面廣、問題繁多復雜，采用問題教學法進行課堂教學是一種有益的教學改革嘗試。圍繞本征值方程求解及對波函數和能量的討論，設計一系列關鍵教學問題，引導學生探索性分析問題和解決問題，深刻理解一維勢箱粒子薛定諤方程求解的基本思路，加深對量子力學基本假定、平均值、微觀基本粒子運動規律的認識。通過“課堂提問與討論”“問卷調查”“單元測試”“拓展實踐”等多環節評估，我們發現，問題式教學法在“一維勢箱中的粒子”的應用，較好地做到了眾多知識點的有機融合，實現了知識目標、能力目標和素質目標有機統一,取得了較好的教學效果。