落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)的研究

趙曉云，李世剛，趙 明，韓修林，唐義甲

（阜陽(yáng)師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

黏滯系數(shù)是表征液體黏滯性強(qiáng)弱的重要參數(shù)，是描述液體內(nèi)摩擦力性質(zhì)的一個(gè)重要物理量。當(dāng)液體內(nèi)部存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，液體反抗外力發(fā)生形變的能力就是黏滯系數(shù)。在研究液體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，黏滯系數(shù)常作為液態(tài)物質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)。對(duì)液體黏滯系數(shù)的研究，有助于促進(jìn)工程技術(shù)和生產(chǎn)技術(shù)等領(lǐng)域的發(fā)展[1-2]。

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，液體黏滯系數(shù)的測(cè)量是學(xué)生要掌握的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一。液體黏滯系數(shù)的測(cè)量方法通常有落球法、轉(zhuǎn)筒法、毛細(xì)管法等[3-6]，其中落球法是最基本和常用的測(cè)量方法。落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)與其他方法相比具有原理簡(jiǎn)單、操作方便的優(yōu)點(diǎn)。落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中，涉及的測(cè)量物理量有小球的直徑，盛裝液體容器的內(nèi)徑，容器中液面的高度，小球在液體中勻速下落的時(shí)間和距離等，這些物理量測(cè)量的精度直接影響?zhàn)禂?shù)的測(cè)量結(jié)果[1-2]。沈光先，代偉等提出了要使測(cè)量誤差控制在允許的誤差范圍之內(nèi)，實(shí)驗(yàn)中必須遵守一定的條件[7-8]。鄭勇林等討論了小球半徑對(duì)小球勻速下落速度的影響[9]。楊亮等，王麗娟等對(duì)小球到達(dá)勻速運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間進(jìn)行了討論[10-11]。叢曉燕等討論了小球下落時(shí)偏離中心軸線對(duì)測(cè)量時(shí)間帶來(lái)的影響，發(fā)現(xiàn)隨著偏移中心軸線距離的增加，小球在管中的下落時(shí)間減小[12]。盡管已有文獻(xiàn)對(duì)落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中小球下落時(shí)間和誤差進(jìn)行了討論，但是對(duì)于小球從距離液面不同高度下落以及小球在達(dá)到穩(wěn)定速度前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都沒(méi)有具體討論，同時(shí)對(duì)于測(cè)量誤差的討論，沒(méi)有具體對(duì)比分析哪個(gè)量的測(cè)量誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響較大。本文主要結(jié)合該實(shí)驗(yàn)的具體情況進(jìn)一步分析，期望研究的結(jié)果能夠給大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供一定的參考。

1 小球進(jìn)入液體中的運(yùn)動(dòng)分析

圖1為落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)小球豎直下落受力的示意圖。

圖1 落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)小球豎直下落受力示意圖

設(shè)定質(zhì)量為m的小球受重力G = mg，液體對(duì)浸沒(méi)在其中的小球的浮力F浮= ρ液Vg，小球在無(wú)限深廣的液體中下落時(shí)受到的液體黏滯力F粘=3 π ηvd。如圖1所示，根據(jù)牛頓第二定律，可得進(jìn)入液體中小球的運(yùn)動(dòng)滿足下列方程：

對(duì)（2）式化簡(jiǎn)，得到

考慮小球在液體中下落時(shí)液體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)小球的影響，以及顧及液體邊界的影響，（3）式可修正為為重力加速度，η為液體的黏滯系數(shù)，s和v分別為小球在液體中下落時(shí)離開(kāi)液面的距離和小球在液體中下落的速度。

進(jìn)入液體中的小球在液體中豎直下落，當(dāng)在豎直方向上受力平衡時(shí)，小球在液體中最終做勻速運(yùn)動(dòng)，即穩(wěn)定速度，此時(shí)

圖2 小球進(jìn)入液面后小球的穩(wěn)定速度隨溫度的變化關(guān)系（d = 2 mm）

圖3 小球從液面自由下落后達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)小球的位移隨溫度的變化關(guān)系（d = 2 mm）

根據(jù)（1）式和（4）式，利用龍格庫(kù)塔法可得小球在液體中運(yùn)動(dòng)的速度和位移，具體見(jiàn)圖4。圖4（a）和（b）分別是小球從距離液面不同高度（h = 0 cm，1 cm，5 cm）自由下落后進(jìn)入液體

圖4 小球從液面不同高度自由下落進(jìn)入液面后運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化圖線（d=2 cm、T=25℃）

2 黏滯系數(shù)計(jì)算公式的使用分析

在落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，誤差的來(lái)源主要是一系列相關(guān)物理量的測(cè)量。例如對(duì)于穩(wěn)定速度v的測(cè)量，通常采取測(cè)量定距離l運(yùn)行所需的時(shí)間t來(lái)計(jì)算獲得。由于（5）式是關(guān)于黏滯系數(shù)η的非線性方程，不能直接求出解析解。不同溫度下的液體雷諾數(shù)Re見(jiàn)圖5。不同直徑的小球在液體中下落達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)液體雷諾數(shù)隨著溫度升高而增加，并且小球直徑越大，液體雷諾數(shù)越大。從圖5可以看出，直徑為1 mm的小球在40 ℃以下、2 mm的小球在30 ℃以下、3 mm的小球在20 ℃以下，測(cè)量計(jì)算時(shí)都不用考慮液體雷諾數(shù)的影響；液體溫度升高，則要計(jì)算液體雷諾數(shù)，根據(jù)雷諾數(shù)大小來(lái)對(duì)（5）式進(jìn)行簡(jiǎn)化，具體簡(jiǎn)化的表達(dá)式為：

圖5 不同直徑小球在液體中下落達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)液體雷諾數(shù)隨溫度的變化關(guān)系

3 測(cè)量誤差的分析

在落球法測(cè)量液體的黏滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，由公式（6）～（8）可知需要直接測(cè)量的量有t、l、d以及D、H，測(cè)量不確定度是測(cè)量結(jié)果關(guān)聯(lián)的一個(gè)重要參數(shù)，利用間接測(cè)量的不確定度的誤差傳遞[1-3]，可以得到黏滯系數(shù)的測(cè)量結(jié)果相對(duì)不確定度公式

其 中，U（t）、U（l）、U（d）、U（D）和U（H）分別為t、l、d和D、H，這些直接測(cè)量的不確定度，均由A類(lèi)不確定度UA和B類(lèi)不確定度UB合成而得。

由于

結(jié)合（9）式可以看出，直接測(cè)量量帶來(lái)的誤差中，關(guān)于小球直徑d的測(cè)量給結(jié)果帶來(lái)的誤差貢獻(xiàn)概率最大，勻速下落的距離l和時(shí)間t的測(cè)量帶來(lái)的誤差貢獻(xiàn)概率相同，對(duì)液面的高度的測(cè)量給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)的誤差概率最小。但是在實(shí)際的測(cè)量中，有的實(shí)驗(yàn)設(shè)備對(duì)于時(shí)間t的測(cè)量還是使用秒表進(jìn)行人為計(jì)時(shí)，一方面由于秒表的自身精度，另一方面則主要是由啟動(dòng)、停止計(jì)時(shí)的人為因素帶來(lái)較大的誤差。

4 結(jié)論

本文通過(guò)計(jì)算模擬的方法，從理論上討論了落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中小球下落的運(yùn)動(dòng)特征以及測(cè)量帶來(lái)的誤差。從分析結(jié)果來(lái)看，在用落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中，不論小球從液面多高下落，小球到達(dá)液面以下幾毫米就可以達(dá)到穩(wěn)定速度。但在小球達(dá)到穩(wěn)定速度之前，小球在液體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決于小球自由下落的位置距離液面的高度。在用落球法實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差主要來(lái)源于對(duì)小球直徑的測(cè)量以及小球勻速下落時(shí)間的測(cè)量。