淺談時(shí)間序列分析模型基本理論

摘?要：時(shí)間序列模型就是利用時(shí)間序列的相關(guān)性質(zhì)建立起來(lái)的，是一種先進(jìn)的統(tǒng)計(jì)方法，當(dāng)有足夠多的數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)建立起來(lái)的時(shí)間序列模型通常可以得到很好的預(yù)測(cè)效果。

關(guān)鍵詞：時(shí)間序列;預(yù)測(cè)

隨著我國(guó)社會(huì)的不斷發(fā)展進(jìn)步，城市的現(xiàn)代化建設(shè)也面臨著新的挑戰(zhàn)，例如，城市人口的增加在住房條件以及生活環(huán)境等方面都對(duì)城市的建設(shè)有了更高的要求。目前，城市的擴(kuò)展不僅涉及地面廣度的延伸，也要求城市規(guī)劃者加大對(duì)地上、地下空間的綜合開發(fā)與使用。因此，現(xiàn)代化的建筑物都向著高層、超高層發(fā)展，地鐵、隧道也處于快速發(fā)展的趨勢(shì)。在享受這些發(fā)展所帶來(lái)各種便利的同時(shí)，作為城市的建設(shè)者，需要更加關(guān)注建設(shè)過程中存在的安全問題。基坑變形監(jiān)測(cè)就是利用水準(zhǔn)儀、全站儀、測(cè)斜儀等設(shè)備對(duì)城市高層建筑物、地鐵、隧道等施工項(xiàng)目涉及的基坑開挖過程進(jìn)行安全監(jiān)控，基于變形數(shù)據(jù)與變形容許值，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決問題，確保工程項(xiàng)目安全可靠。

基坑變形監(jiān)測(cè)方案的確定需要分析總結(jié)大量信息，同時(shí)因地制宜，確保監(jiān)測(cè)方案的安全性與合理性。按照基坑工程要求與周邊環(huán)境及其自身特點(diǎn)，需對(duì)其自身圍護(hù)結(jié)構(gòu)與周邊環(huán)境進(jìn)行安全監(jiān)測(cè)：（1）基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)包括圍護(hù)結(jié)構(gòu)頂部豎向、水平位移監(jiān)測(cè)，圍護(hù)結(jié)構(gòu)側(cè)向位移監(jiān)測(cè)，坑外土體側(cè)向位移監(jiān)測(cè)，支撐軸力監(jiān)測(cè)，坑內(nèi)外地下水位監(jiān)測(cè)，立柱沉降監(jiān)測(cè);（2）周邊環(huán)境的監(jiān)測(cè)包含周邊地表及地下綜合管線沉降監(jiān)測(cè)，周邊建（構(gòu)）筑物沉降、水平位移及裂縫監(jiān)測(cè)等。

通過各類監(jiān)測(cè)手段獲取實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)后，應(yīng)建立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型模擬基坑變形過程，全面并真實(shí)地反映其變形規(guī)律，同時(shí)對(duì)其后期變形趨勢(shì)做出合理預(yù)報(bào)。常用的變形預(yù)報(bào)方法包括回歸分析模型、指數(shù)平滑模型、卡爾曼濾波模型、灰色系統(tǒng)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、時(shí)間序列分析模型。

本文將充分探討時(shí)序法的基本理論，具體研究?jī)?nèi)容有研究平穩(wěn)時(shí)序模型[AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）]、非平穩(wěn)時(shí)序模型[ARIMA（p，d，q）]的基本原理及其動(dòng)態(tài)特性（格林函數(shù)、逆函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)）。

1?時(shí)間序列概述

時(shí)序法是出現(xiàn)于20世紀(jì)20年代后期的一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，被廣泛應(yīng)用于金融、農(nóng)業(yè)、工程測(cè)量等各個(gè)領(lǐng)域。其理論是基于統(tǒng)計(jì)方法構(gòu)建的，利用時(shí)間序列的往期數(shù)據(jù)來(lái)挖掘現(xiàn)象隨時(shí)間變化的規(guī)律，推算至未來(lái)，并預(yù)報(bào)該現(xiàn)象的后期狀態(tài)。因此，通過分析可以構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)變形體未來(lái)的變形趨勢(shì)做出預(yù)報(bào)。在經(jīng)濟(jì)水平及科技水平高速發(fā)展的今天，利用時(shí)序模型對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)之上發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在聯(lián)系及其發(fā)展規(guī)律，已在各行各業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用。如對(duì)股票信息進(jìn)行分析，可預(yù)報(bào)股票的走勢(shì);對(duì)溫度的變化值進(jìn)行分析，可預(yù)報(bào)出溫度的變化。在工程測(cè)量上，由于該方法所用數(shù)據(jù)并非相互獨(dú)立，相對(duì)于其他模型更符合工程測(cè)量數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，因此基于時(shí)序法對(duì)生產(chǎn)施工進(jìn)行指導(dǎo)也得到了充分的應(yīng)用。如建筑物的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析、地鐵和隧道的變形量分析、煤礦瓦斯變化量的分析等。徐培亮[1]利用時(shí)序法預(yù)報(bào)大壩變形量，得到較為準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)結(jié)果;蘭孝奇[2]等利用時(shí)序法預(yù)報(bào)建筑物沉降量，其結(jié)論表明，時(shí)序法在建筑物短期沉降預(yù)報(bào)方面具有較好的適用性;王建生[3]、潘國(guó)榮[4]提出了關(guān)于時(shí)間序列動(dòng)態(tài)變形預(yù)報(bào)模型的建模技術(shù)原理及流程，并在實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，與靜態(tài)模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)模型的優(yōu)越性。由于時(shí)序法在數(shù)據(jù)處理與預(yù)報(bào)方面的優(yōu)勢(shì)，以及各行各業(yè)對(duì)該方法的深入研究，時(shí)序法將在生產(chǎn)生活中發(fā)揮更為重要的作用。

時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的，且是等間隔采樣的一系列統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。在實(shí)際生活中，很多信息序列都可定義為時(shí)間序列，如：超市的年銷售量;城市居民的年生產(chǎn)總值;學(xué)校每年的招生量等。

時(shí)序模型就是利用時(shí)間序列的相關(guān)性質(zhì)建立起來(lái)的一種先進(jìn)的統(tǒng)計(jì)方法，若有足夠多的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)建立起來(lái)的時(shí)序模型通常可以得到很好的預(yù)報(bào)效果。時(shí)序模型在工程技術(shù)、自然學(xué)科、金融經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。在測(cè)量學(xué)科中，從業(yè)者常常會(huì)根據(jù)已收集到的某些被監(jiān)測(cè)對(duì)象變形的歷史數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的時(shí)序模型去描述事物隨時(shí)間變化的規(guī)律，從而推測(cè)出其在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的變化量，這種預(yù)見性對(duì)工程的決策具有相當(dāng)重要的指導(dǎo)作用。

時(shí)序模型可以分為：（1）確定型時(shí)序模型;（2）線性時(shí)序模型;（3）非線性時(shí)序模型[57]。根據(jù)不同的數(shù)據(jù)類型選擇對(duì)應(yīng)的時(shí)序模型是時(shí)序法分析處理數(shù)據(jù)的有效手段與基本原則。

2?常見的幾種時(shí)間序列模型

目前常用的時(shí)間序列模型有：自回歸模型（AR模型），滑動(dòng)平均模型（MA模型），自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA模型）。

下面將依次介紹上述三種時(shí)間序列模型。

2.1?自回歸（AR）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值隨機(jī)序列{xt}在t時(shí)刻的取值與前p個(gè)時(shí)刻序列值之間的相互關(guān)系可表示為：

式中，φi（i=1，2，…，n）為自回歸參數(shù);at為白噪聲序列，且at為均值為0、方差為σ2a的相同獨(dú)立分布的隨機(jī)變量，即a～N（0，σ2a），隨機(jī)序列{xt}中的白噪聲{at}與前一時(shí)刻序列xk（k<t）不相關(guān)。則式（1）稱為p階自回歸模型，記為AR（p）為平穩(wěn)模型[813]。

2.2?滑動(dòng)平均（MA）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值隨機(jī)序列{xt}可表示若干個(gè)白噪聲at的加權(quán)平均和：

式中，θj（j=1，2，…，m）為滑動(dòng)平均參數(shù)，at為白噪聲序列，且at為均值為0、方差為σ2a的相同獨(dú)立分布的隨機(jī)變量。則稱式（2）為q階的滑動(dòng)平均模型，記為MA（q）。

2.3?自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的隨機(jī)序列xt在t時(shí)刻取值不但與其前p步的各個(gè)取值xt-1，xt-2，…，xt-p有關(guān)，而且還與前q步干擾at-1，at-2，…，at-q有關(guān)（p，q=1，2，…），則可得到一般的ARMA模型：

式中，φp（i=1，2，…，n）為自回歸參數(shù);θq（j=1，2，…，m）為滑動(dòng)平均參數(shù);at為白噪聲序列，且a～N（0，σ2a）。則稱式（3）為xt的自回歸滑動(dòng)平均模型，記為ARMA（p，q）。

3?時(shí)間序列模型特性

在采取時(shí)序法建立變形預(yù)報(bào)模型時(shí)，需要運(yùn)用時(shí)間序列的一些相關(guān)特性。其中包括：格林函數(shù)、逆函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)。

3.1?格林函數(shù)

當(dāng)φ（B）=0的根均在B平面單位圓外時(shí)，可表示為xt=φ-1（B）θ（B）at，若定義：

則稱序列Gj（j=0，1，2，…）為模型ARMA（p，q）的格林函數(shù)[14]。

3.2?逆函數(shù)

當(dāng)θ（B）=0的根均在B平面單位圓外時(shí)，式φ（B）xt=θ（B）at可表示為at=θ-1（B）φ（B）xt，若定義：

則稱序列Ij（j=0，1，2…）為模型ARMA（p，q）的逆函數(shù)。

格林函數(shù)與逆函數(shù)分別用不同的方式描述了時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)特性，利用傳遞函數(shù)與逆轉(zhuǎn)函數(shù)，定義序列的格林函數(shù)與逆函數(shù)，通過求解Gj（j=0，1，2，…）、Ij（j=0，1，2…）可以分析得到模型的穩(wěn)定性以及其他一些特性。

3.3?自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)是描述某一隨機(jī)序列xt在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1、t2取值之間的相關(guān)程度。對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的、正態(tài)的、零均值的隨機(jī)過程xt，其自協(xié)方差函數(shù)為：

式中，k=1，2，…。當(dāng)k=0時(shí)，得到xt的方差函數(shù)σ2x：

自相關(guān)函數(shù)定義為：

3.3.1?AR（p）自相關(guān)函數(shù)

若已知AR（p）序列：

用xt-k（k>0）乘以（9）式并取其數(shù)學(xué)期望，得：

又因?yàn)镋（atxt-k）=0（k>0），則有：

上式兩邊同時(shí)除以r0，可得：

式中，ρk=ρ-k，ρ0=1。ρk即為AR（p）的自相關(guān)函數(shù)。

式（12）可寫成：

由以上推導(dǎo)可知，平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)滿足齊次差分方程，且一般由指數(shù)衰減函數(shù)和衰減正弦波組成，即AR（p）序列xt的相關(guān)性隨著步數(shù)k的增加而減小，即ρk不可能在延遲某步后等于零，因此，AR（p）的自相關(guān)函數(shù)ρk具有拖尾性。

3.3.2?MA（q）自相關(guān)函數(shù)

若已知MA（q）序列：

且白噪聲at滿足以下性質(zhì)：

（1）均值為零：E（at）=0;

（2）互相獨(dú)立：rk=E（atat-k）=σ2a，k=00，k≠0;

（3）服從正態(tài)分布：at～N（0，σ2a）;

（4）at與前一時(shí)刻的xt-k（k>0）互不相關(guān)：E（atxt-k）=0（k>0）。

因此，當(dāng)用xt-k（k>0）乘以式（14），并取其數(shù)學(xué)期望時(shí)，有：

rk=E（xtxt-k）=σ2a（1+θ21+…+θ2q），????k=0σ2a（-θk+θ1θk+1+…+θq-kθq），1

上式兩邊同時(shí)除以r0可得：

式中，ρk為MA（q）的自相關(guān)函數(shù)。由上式可知，當(dāng)xm與xn之間的間隔k=mn>q時(shí)，有xm與xn不相關(guān)，即此時(shí)ρk=0，因此，MA（q）的自相關(guān)函數(shù)具有截尾性。

3.3.3?ARMA（p，q）自相關(guān)函數(shù)

若已知ARMA（p，q）序列：

用xt-k（k>0）乘以式（17）并取其數(shù)學(xué)期望，得：

由白噪聲at的性質(zhì)可知：E（atxs）=0（t>s），又當(dāng)k>q時(shí)有：

因此有：

式（20）可寫為：

式中，φ（B）=1-φ（1）B-φ（2）B2-…-φ（p）Bp。由于當(dāng)φ（B）=0時(shí)，其根均在B平面單位圓外，因此，ARMA（p，q）的自相關(guān)函數(shù)ρk同樣具有拖尾性。

3.4?偏相關(guān)函數(shù)

偏相關(guān)函數(shù)是用于分析時(shí)序模型概率特性的指標(biāo)之一。對(duì)于已知的平穩(wěn)、正態(tài)、零均值時(shí)間序列xt，若能選擇k個(gè)適當(dāng)?shù)南禂?shù)φk1，φk2，...，φkk，將xt表示為xt-1的線性組合：

當(dāng)以上述形式表示的誤差方程

達(dá)到極小值時(shí)，即將最后一個(gè)系數(shù)φkk定義為xt的偏自相關(guān)函數(shù)。

3.4.1?AR（p）偏相關(guān)函數(shù)

若有AR（p）序列xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at，將其代入式（23）中，可得：

當(dāng)J取最小值時(shí)，有：

當(dāng)k>q時(shí)，AR（p）的偏相關(guān)函數(shù)φkk=0。因此，AR（p）的偏相關(guān)函數(shù)具有截尾性，即若某序列xt的偏相關(guān)函數(shù)φkk在p步后截尾，則為AR（p）序列。

3.4.2?MA（q）偏相關(guān)函數(shù)

式中，若θ1>0時(shí)，自回歸系數(shù)符號(hào)正負(fù)交替;若θ1<0，自回歸系數(shù)符號(hào)均為負(fù)號(hào)，又因?yàn)镸A（1）序列可轉(zhuǎn)化為無(wú)限階的AR（p）序列，因此，MA（1）的偏相關(guān)函數(shù)存在指數(shù)衰減特性。

當(dāng)q=2時(shí)，若θ（L）=0的根均為實(shí)數(shù)，則其偏相關(guān)函數(shù)為兩個(gè)指數(shù)衰減形式疊加構(gòu)成;反之，其偏相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減形式。

由MA（1）、MA（2）的偏相關(guān)函數(shù)可知，MA（q）的偏相關(guān)函數(shù)存在緩慢衰減特性。

3.4.3?ARMA（p，q）偏相關(guān)函數(shù)

對(duì)于ARMA（p，q）序列，其偏相關(guān)函數(shù)也存在無(wú)限延長(zhǎng)的特性，在形式上與MA（q）序列的偏相關(guān)函數(shù)形式相近。根據(jù)ARMA（p，q）序列中MA（q）部分不同的階數(shù)及參數(shù)，其偏相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減與指數(shù)衰減的混合形式。

結(jié)語(yǔ)

根據(jù)數(shù)據(jù)序列的統(tǒng)計(jì)特性與動(dòng)態(tài)特性而建立的時(shí)序模型，可用來(lái)揭示事物變化的內(nèi)在規(guī)律，這也正是該模型被廣泛應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域的主要原因之一。本文探討了平穩(wěn)時(shí)序模型與非平穩(wěn)時(shí)序模型的原理以及各模型格林函數(shù)、逆函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)等特性，可為變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)序建模提供依據(jù)。

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作者簡(jiǎn)介：李明星（1979—?），女，江蘇鹽城人，碩士，講師，主要從事建筑專業(yè)的教學(xué)和研究。