函數問題中常見的轉化思想

廣東惠州市惠陽區第一中學高中部（516000） 劉錦濃

函數是高中數學的基礎，它知識點多，覆蓋面廣，綜合性強，很容易與其他知識建立聯系。解決函數問題所需的轉化思想是重要的數學思維策略，它在數學解題中應用廣泛。運用轉化思想可以將陌生變為熟悉，將復雜變為簡單，將抽象變為直觀，從而有效解決問題。本文主要探討函數問題中常見的轉化思想。

一、數與形的轉化

數形結合，實質上就是將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系與轉化。

（一）以形助數

［例1］設方程log3x+x-3=0的根為x1，方程3x+x-3=0的根為x2，求x1+x2的值。

分析：本題若直接解出x1，x2的值，再求x1+x2是不現實的。觀察兩個方程發現，y=log3x與y=3x互 為反函數，可利用反函數的圖像關于直線y=x對稱的性質，輔以圖像解題。

解：將原方程化為log3x=3-x，3x=3-x，方程log3x+x-3=0 的根為x1，實質上是函數y=log3x與y=3-x圖像的交點的橫坐標；方程3x+x-3=0 的根為x2，實質上是函數y=3x與y=3-x圖像的交點的橫坐標。如圖1，設其交點分別為A、B，函數y=x與y=3-x圖像的交點為P。

圖1

因為y=x與y=3-x垂直，且函數y=log3x與y=3x的圖像關于直線y=x對稱，所以點A、B關于點P對稱，易得，所以x1+x2=3。

評析：本題主要是把方程轉化為函數的圖像相交求解。由圖形分析數量間的本質聯系，解決數學問題時能做到快、準，解題往往事半功倍。

（二）以數助形

［例2］如圖2，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，四邊形ABCD是扇形的內接矩形。記∠COP=α，當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積。

圖2

分析：要求當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大，可分兩步進行：（1）找出矩形ABCD的面積S與α之間的函數關系；（2）由函數關系，求S的最大值。

解：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

評析：本題主要是把幾何問題轉化為三角函數問題，再利用三角函數的配角公式轉化為形如y=Asin(wx+φ)的函數求解，進而實現以數解形。

二、函數與方程的轉化

（一）利用函數解方程題

在解一些高次方程、無理方程或超越方程時，直接解題難度比較大，可以考慮構造函數，把方程問題轉化為函數問題，再利用函數的單調性、奇偶性等解題。

［例3］在實數范圍內解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0。

分析：這是一個高次方程，如果先去括號后移項再化簡，會十分麻煩。但若不展開，而直接把（5x+3)看成一個整體，則可把復雜的高次方程問題轉化為簡單的方程問題，再利用函數的單調性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等價轉化為(5x+3)3+(5x+3)=-(x3+x)，即(5x+3)3+(5x+3)=(-x)3+(-x)，

設函數f(x)=x3+x，則f(x)為奇函數，且在實數集上是單調遞增函數。這時原方程又可等價轉化為f(5x+3)=f(-x)。由函數的單調性可知5x+3=-x，∴x=-即原方程的實數解為x=-

評析：函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡。

（二）利用方程解函數題

在求解函數性質（如值域）時，可把函數問題轉化為方程問題，再利用方程有解的條件解題。

［例4］求函數y=的值域。

分析：可將函數轉化為含有參數y的關于x的一元二次方程，再利用判別式法求解。

解：由y=得yx2-(y+1)x+y=0，這是一個關于x的一元二次方程。

當y=0時，解得x=0，方程有解；

當y≠0 時，為使關于x的一元二次方程有解，必須令Δ=(y+1)2-4y2≥0，解得≤y≤1(y≠0)。綜合可得函數的值域是

［例5］已知數列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為______________。

解析：∵an+1-an=2n，∴當n≥2 時，an-an-1=2(n-1)，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2)，

又a1=33=1-1+33，故a1滿足上式，

評析：函數思想與方程思想是密切相關的，函數問題可以轉化為方程問題來解決，方程問題也可以轉化為函數問題加以解決。如解方程f(x)=0，就是求函數y=f(x)的零點；又如求方程f(x)=g(x)的解的問題可以轉化為函數y=f(x)與y=g(x)的交點問題，也可以轉化為函數y=f(x)-g(x)與x軸的交點問題。

三、常量與變量的轉化

在有些數學問題中涉及多個變量，而從正面由常量求解變量較難，對此可選擇把某些變量看作常量，減少變量的個數，再列出剩余變量的關系式，從而簡化運算。

［例6］已知實數x、y滿足x2-3xy+y2=2，則x2+y2的取值范圍是______________。

分析：本題有x，y兩個變量，且題設與結論是關于x，y的對稱式，故可以x為主變量，令y=x+t，其中x，t為常量，列出變量x的關系式解題。

解：令y=x+t，

由x2-3xy+y2=2得x2-3x(x+t)+(x+t)2=2，

化簡得：x2+xt+2-t2=0，即x2+xt=t2-2，

∵x∈R，∴Δ=t2-4(2-t2)≥0，解得t2≥

∴x2+y2=x2+(x+t)2=2x2+2tx+t2=2(t2-2)+t2=3t2-4 ≥

∴x2+y2的取值范圍是

四、特殊與一般的轉化

（一）特殊化法

利用特殊情況，如特殊值、特殊位置、特殊函數等，可求解一般化問題。

［例7］當x-y=1 時，x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4的值是_________。

解析：本題如果用傳統解法，由x-y=1得x=1+y再代入原式，運算量大，不可取。把原式化成含x-y的形式，再用x-y=1整體代入，還是較煩瑣。若根據題型特點，取特殊值x=1，y=0代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

［例8］已知f(x)=，求f(-5)+f(-4)+…+f(4)+f(5)的值。

分析：本題若逐項求值比較困難，因為自變量的值（除0 外）都是互為相反數，所以不妨從相反數入手，觀察f(x)與f(-x)的一般關系。

五、特定模型的轉化

轉化思想并不只是在函數范圍內應用，在整個高中數學中也經常用來解決一些知識內容陌生、題意復雜難懂或者計算量比較大等不容易處理的問題。靈活多變的轉化技巧，往往能夠簡化運算，降低問題難度。一些特定問題，如求取值范圍，經?？梢赞D化為一元二次函數、三角函數、基本不等式、對勾函數等，再利用函數性質、運算規則等進行求解。

［例9］如圖3，已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的短軸長為2，過下焦點且與x軸平行的弦長為

圖3

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若A、B分別為橢圓C的右頂點與上頂點，直線y=kx(k) ＞0 與橢圓C相交于M、N兩點，求四邊形AMBN的面積的最大值及此時k的值。

解：（1）x2=1；過程略。

（2）易知點A(1,0)，B直線AB的方程為

當然，在解一道函數題時并非僅應用一種轉化思想，有時需要配合應用幾種轉化思想，如例1 中，是先把方程轉化為函數，再轉化為圖像解題。函數問題中的轉化思想也不限于上述幾種。在實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把陌生問題轉化為熟悉問題來處理，或者將復雜的問題轉化為簡單的問題，或者將難以解決的、比較抽象的問題轉化為易于解決的、比較直觀的問題。按照這些原則進行轉化，省時省力，猶如順水推舟。在解題教學中，教師經常滲透轉化思想，可以提高學生的解題能力和解題效率。