二次函數(shù)常見中考題型及解題策略研究

云南昆明理工大學附屬中學（650000） 白 玫

在初中，二次函數(shù)的概念主要是用變量來定義的，而在高中，二次函數(shù)的概念是用映射來定義的，這樣安排符合學生的認知特點。對初中生來說，僅記住二次函數(shù)的概念是不夠的，如果不能深刻理解，學習它的圖像和性質就有困難。因此，我們要根據(jù)學生的認知狀況選擇教學策略，幫助學生總結和解決問題，提高學生分析和解決問題的能力，從而實現(xiàn)知識的正向遷移。

一、二次函數(shù)壓軸題呈現(xiàn)

［例1］（2020年昆明市中考數(shù)學壓軸題）如圖1，兩條拋物線y1=-x2+4，y2=-+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2的最高點。（1）求拋物線y2的解析式和點B的坐標；

圖1

（2）點C是拋物線y1上A，B之間的一點，過點C作x軸的垂線交y2于點D，當線段CD取最大值時，求S△BCD。

分析：（1）可先求出A點的坐標（-2，0），再求出y2的對稱軸-=-2，然后代入一元二次函數(shù)y2=+bx+c，求出y2的解析式，將y1與y2聯(lián)立，求出點B坐標。（2）可以通過已知條件先將S△BCD表示出來，再通過點C和點D的橫坐標一樣，求出點C與點D間的距離d，過點B作CD的垂線，交點為E，求出BE的距離，由S△BCD=CD·BE即可求出S△BCD。

解答：（1）當y1=0時，即-x2+4=0，解得x=±2，

∵點A在x軸的負半軸上，∴A（-2，0），

∵y2=-+bx+c的最高點為A（-2，0），

∴拋物線y2的解析式為y2=-

解得x1=3，x2=-2（舍去），∴當x=3 時，y=-32+4=-5，

∴B(3,-5)。

（2）如圖2，設點C(m,-m2+4)，則點

圖2

∵點C是拋物線y1上A，B之間的一點，

∴-2 ＜m＜3，

過點B作BE⊥CD，垂足為E，

［例2］如圖3，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像交坐標軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點。

圖3

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積。

分析：（1）由題意可知三個坐標點，分別設一次函數(shù)的解析式為y1=ax+b和二次函數(shù)的解析式為y2=ax2+bx+c，然后將坐標點代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。（2）過P點作垂直于x軸的直線，交x軸于點E，交直線BC于點F，S△PCB=S△PFC+S△PFB=PF·OB，所以只需要求出PF，就可以求得S△PCB，設點F的坐標為（t,t-4），PF等于一次函數(shù)和二次函數(shù)之間的距離，求出t的取值就可以求出面積和坐標。

解答：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點的坐標代入可得解得可得拋物線的解析式為y=x2-3x-4。

（2）點P在拋物線上，可設P(t,t2-3t-4)，作PE∥y軸交x軸于點E，交直線BC于點F，如圖4，B(4,0)，C(0,-4)，直線BC的解析式為y=x-4，F(xiàn)(t,t-4)，PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t，S△PBC=S△PFC+PF·(OE+BE)=(-t2+4t) × 4=-2(t-2)2+8，當t=2 時，S△PBC的最大值為8，此時t2-3t-4=-6，當點P的坐標為（2，-6）時，△PBC的最大面積為8。

圖4

［例3］如圖5，已知拋物線y=ax2+c過點（-2，2），（4，5），過定點F(0,2)的直線l：y=kx+2 與拋物線交于A，B兩點，點B在點A的右側，過點B作x軸的垂線，垂足為C。

圖5

（1）求拋物線的解析式；

（2）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點Q的坐標及△QBF的最大面積；若不存在，請說明理由。

分析：（1）將（-2，2），（4，5）兩點坐標代入拋物線y=ax2+c，可求出拋物線的解析式。

（2）由條件k=1，可以知道一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，可以知道點A和點B的坐標。為了求證在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QBF的面積最大，我們要先設點Q和點E的坐標。設點Q的坐標（t,+1），過點Q作x軸的垂線，交AB于點E，點E和點Q的橫坐標一樣,S△QFB=S△QFE+S△QEB=QE·OC，QE就是x=t時，一次函數(shù)和二次函數(shù)之間縱坐標之間的距離，求出t的取值，即可求出坐標和面積。

解答：（1）把點（-2，2），（4，5）代入y=ax2+c得

所以拋物線解析式為y=

圖6

［例4］已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=x2+bx的圖像經(jīng)過點A(-1,4)，交x軸于點B(a,0)。

（1）求a與b的值；

（2）如圖7，點M為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABM面積的最大值及此時點M的坐標。

圖7

分析：（1）已知點A和點B的坐標，將點A坐標代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+bx求出b的值，再將點B坐標代入求出來的二次函數(shù)解析式中可求出a。

（2）設點M的坐標為(x,x2-3x)，作MG∥y軸交AB于點G，而點G的坐標就是(x,-x+3)，又因為點M和點G的橫坐標一樣，點M位于點G的下方，所以直線MG的距離可用點G的縱坐標減去點M的縱坐標，即(-x+3)-(x2-3x)，化簡后便可以得到此函數(shù)為一個開口向上的二次函數(shù)，因此在二次函數(shù)的對稱軸上值最大，那么A，B，M，G四點的坐標便都可以得到，從而可根據(jù)S△ABM=S△AMG+S△BMG計算出S△ABM的面積。

解答：（1）把A(-1,4)代入y=x2+bx得 到4=1-b，b=-3，y=x2-3x；因為B(a,0)在函數(shù)圖像上，所以將B(a,0)代入y=x2-3x得a2-3a=0，求得a=3或a=0（舍棄），即a=3。

（2）如圖8，作MG∥y軸交AB于點G。

圖8

設直線AB的解析式為y=kx+b，把(-1,4)，（3,0) 代入得解得由此可得y=-x+3。設M(x,x2-3x)，則G(x,-x+3)，S△ABM=S△AMG+S△BMG=× 4 ×[(-x+3)-(x2-3x)]=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，當x=1 時，△ABM的面積最大，最大值為8，此時M(1,-2)。

二、二次函數(shù)壓軸題解答的一般過程

解決問題分為三步：認真審視問題、探索解決問題的思路、正確解決問題。首先仔細閱讀題目的意思，其次在理解問題意思的基礎上，判斷給定的問題屬于哪一類型，最后利用常見的相關策略來解決問題。

（一）熟悉題目，理解問題情境

二次函數(shù)壓軸題一般由平面直角坐標系下的文本和圖形組成。因此，熟悉問題，了解問題的含義是解決問題的第一步。要掌握問題中的關鍵信息，剔除問題給出的干擾信息，分析問題的有用條件，確定問題的本質。

（二）確定問題類型，找出解題思路

根據(jù)問題的性質，判斷該問題屬于哪種類型，判斷是否與某種類型一致，若一致，從中推導出共性問題的解決思路，為下一步解題提供明確的方向。

（三）將知識整合，求解答案

方向明確后，需要搜索出問題中涉及的所有知識點，根據(jù)之前的解決思路，整合知識，逐步探索問題的答案，判斷答案的合理性，進一步解決問題。

三、二次函數(shù)壓軸題教學的啟示

（一）培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力

初中學生的知識要靠實踐來鞏固，因此，可讓學生反復練習相關的考試題，使學生能靈活運用相關知識解決問題。

（二）注重對知識的整理和歸納

教師要把解題過程中的知識點全部整理出來，總結所有知識點的共同點，加強學生對每個知識點的掌握，以便他們能靈活應用知識解決問題。

（三）注重學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)

數(shù)學運算能力是學生學習數(shù)學的基礎，在二次函數(shù)壓軸題的教學中，要重視培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力。通過分析，發(fā)現(xiàn)一些學生在解題過程中，雖然方法是正確的，但常因為計算能力弱導致計算出錯而失分。因此，在教學中教師要加強計算訓練，培養(yǎng)學生的運算能力，盡量讓學生正確、快速地計算，并形成檢查的習慣。

（四）注重滲透數(shù)學思想

數(shù)學思想可以理解為對數(shù)學科學研究及其本質規(guī)律的理解和認識。在解題中，通常會應用多種數(shù)學思想，如轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等。在教學中，教師應有目的地滲透各種數(shù)學思想，通過反思和總結，引導學生厘清這些數(shù)學思想并學會靈活應用。

在新課標理念下，研究二次函數(shù)壓軸題的解題策略可以改善學生的學習習慣和思維方式，在一定程度上有效地改變教學方法，真正實現(xiàn)課程的教學目標。因此，中考前，教師要讓學生深入了解中考命題和數(shù)學課程改革的發(fā)展趨勢，使他們有足夠的信心去面對考試，同時要合理安排數(shù)學教學，鍛煉學生的實踐能力，提高學生運用數(shù)學知識解決問題的能力。