滑動式Lagrange與Chebyshev插值方法對BDS精密星歷內插及其精度分析

梁 珂，周曉敏，隋立春，劉偉東

（1.自然資源部第一大地測量隊，西安 710054；2.長安大學 地質工程與測繪學院，西安 710054）

0 引言

2020年6月23日，北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system，BDS）正式完成組網，成為全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）家族中的一員。與全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）相比，BDS導航衛(wèi)星星座由混合星座組成，包括地球靜止軌道（geostationary Earth orbit, GEO）衛(wèi)星、傾斜地球同步軌道（inclined geosynchronous orbits, IGSO）衛(wèi)星、中圓地球軌道（medium Earth orbit, MEO）衛(wèi)星[1-3]。BDS在定位過程中，需要分析中心提供精密星歷獲取衛(wèi)星三維坐標信息[4]。一般提供的精密星歷產品文件時間間隔為 15 min，但是接收機的采樣間隔時間一般為30、10 或1 s，因此，BDS在定位過程需要獲取任意時刻衛(wèi)星三維坐標信息。獲取任意歷元 BDS衛(wèi)星三維位置成為 BDS定位過程中需解決的問題之一[5]。國內外學者研究表明：插值法是獲取任意歷元BDS衛(wèi)星三維位置最簡單、高效的方法之一[6]。目前對 BDS精密星歷插值的數(shù)學方法主要包括：埃爾米特（Hermite）插值、三角函數(shù)插值、拉格朗日（Lagrange）插值、牛頓（Newton）插值、切比雪夫（Chebyshev）插值、三次樣條插值等。文獻[7]對比分析了滑動式與非滑動式Lagrange插值方法對BDS精密星歷進行內插結果的影響，其結果表明，滑動式 Lagrange插值效果明顯優(yōu)于非滑動式 Lagrange插值效果，滑動式Lagrange插值對GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星插值都能達到毫米級精度；文獻[8] 對比滑動式傅里葉級數(shù)插值與9階Chebyshev插值對比分析，其結果表明，9階Chebyshev插值更適用于GEO衛(wèi)星與IGSO衛(wèi)星，而MEO衛(wèi)星使用傅里葉級數(shù)插值精度更高；文獻[9] 采用 Lagrange插值與Chebyshev插值對精密星歷進行內插對比分析，結果表明：采用一定的階數(shù)精密星歷內插均可以達到毫米級精度，且二者插值效果接近。本文基于滑動式 Lagrange插值和 Chebyshev插值方法，分別對BDS三種不同衛(wèi)星精密星歷內插，對比分析二者插值方法的特點和精度，旨在為今后BDS定位過程中獲取任意歷元衛(wèi)星三維坐標信息提供參考。

1 插值數(shù)學模型

1.1 Lagrange插值數(shù)學模型

Lagrange插值法為：假設y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上是個實函數(shù)，且在區(qū)間[a,b]上n+1階可導，那么在區(qū)間[a,b]上任意一點x的n階Lagrange插值多項式代數(shù)表達式為

式中：f(x)為插值節(jié)點處函數(shù)值；n為插值多項式的階數(shù)；為插值基函數(shù)，僅與插值節(jié)點有關。

對BDS精密星歷進行n階Lagrange內插，在插值時選擇一個區(qū)間[t0,t1]，即可求出任意時刻衛(wèi)星在X、Y和Z方向上的坐標分量，從而得到任意歷元衛(wèi)星的位置。任意歷元衛(wèi)星位置表示為

式中：i≠ j，（Xt、Yt、Zt）為t時刻衛(wèi)星位置三維坐標分量；ti、tj為插值區(qū)間任意常數(shù)。

Lagrange插值方法在插值兩端易產生“龍格”現(xiàn)象，為進一步提高BDS精密星歷內插的精度，使用滑動式Lagrange插值方法獲取任意歷元衛(wèi)星三維坐標分量，可以有效避免“龍格”現(xiàn)象的產生[7-8]。

滑動式Lagrange插值方法為：在進行Lagrange插值時，不斷改變插值區(qū)間，使待插值點一直保持在插值區(qū)間的中間點上，以此來提高插值的精度。滑動式 Lagrange插值可以抑制插值區(qū)間兩端插值結果的震蕩[9-10]，使插值結果精度達到最優(yōu)。對BDS精密星歷進行n階Lagrange內插，當n為偶數(shù)時，生成n-1（奇數(shù)）階插值多項式，若選擇12個插值節(jié)點，可以生成11階插值多項式，此時求得的插值結果只保留第 4個和第 5個插值節(jié)點中間的插值結果；當n為奇數(shù)時，生成n-1（偶數(shù)）階插值多項式，若選擇 13個插值節(jié)點，可以生成12階插值多項式，此時求得的插值結果只保留第5個和第6個、第6個和第7個插值節(jié)點中間的插值結果，將其他節(jié)點插值結果舍去。

1.2 Chebyshev插值數(shù)學模型

Chebyshev多項式擬合是采用函數(shù)最佳逼近的原理，根據(jù)已知節(jié)點生成一個函數(shù)，使其在給定點的函數(shù)值與該點函數(shù)值之間的方差和最小，且該函數(shù)是以Chebyshev多項式為基函數(shù)構成的。如果在區(qū)間[t0,t0+Δt]內的衛(wèi)星星歷使用Chebyshev多項式進行擬合，同時將衛(wèi)星軌道進行標準化處理，對時間進行轉換，將其定義為

式中：t∈[?1 ,1]，t0和?t分別為開始歷元與擬合區(qū)間的長度；t為區(qū)間[t0,t0 +Δt]中任意常數(shù)，此時衛(wèi)星三維坐標分量（Xt、Yt、Zt）可表示為

式中：aXi、aYi、aZi分別為相應分量的Chebyshev多項式的系數(shù)；Ti(τt) 為Chebyshev多項式。

2 算例分析

為對比分析不同階數(shù)滑動式 Lagrange插值與Chebyshev插值方法對 BDS精密星歷的精度，本文借助武漢大學國際 GNSS服務（International GNSS Service, IGS）數(shù)據(jù)中心提供的BDS精密星歷產品，采用滑動式 Lagrange插值與 Chebyshev插值方法分別對 GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星精密星歷進行內插，實驗流程如圖1所示。圖1中：RMS（root mean square error）為均方根誤差。

圖1 實驗流程

本次實驗數(shù)據(jù)起始歷元為2020-01-01 T 00:00:00，終止歷元為2020-01-02 T 23:30:00，為Lagrange插值方法和Chebyshev插值方法的區(qū)間長度，以BDS精密星歷產品中，每30 min間隔的衛(wèi)星三維坐標作為已知點，以每15 min間隔的衛(wèi)星三維坐標作為參考值，將計算得到的內插值與參考值進行求差得到殘差，以殘差的均方差根結果表示插值的精度因子。本次實驗觀測中任選 PC02（GEO衛(wèi)星）、PC08（IGSO衛(wèi)星）、PC12（MEO衛(wèi)星）三顆衛(wèi)星分別進行5階至20階滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值，對其結果進行統(tǒng)計分析，其結果如表1至表3所示，為了更加直觀反映出插值結果，將插值結果可視化輸出，結果如圖2至圖7所示。

圖2 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值方法對GEO衛(wèi)星的影響

圖7 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對MEO衛(wèi)星的影響

表1 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值對GEO衛(wèi)星的影響

表3 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值對MEO衛(wèi)星的影響

2.1 GEO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

基于滑動式Lagrange插值方法對GEO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表1和圖2可以看出：5~19階滑動式Lagrange插值對GEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量均可達到毫米級精度，當使用10階滑動式Lagrange插值時，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標分量精度達到最高，RMS值分別為0.92、0.84、0.52 mm；滑動式Lagrange插值階數(shù)在5~10階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，此時Z方向坐標分量插值精度最佳，X方向坐標分量插值精度最差；滑動式Lagrange插值階數(shù)在11~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時Z方向坐標分量插值精度最佳，X方向坐標分量插值精度最差。

基于Chebyshev插值方法對GEO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表1和圖3可以看出：5~16階Chebyshev插值對GEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量均可達到毫米級精度，當使用 9階Chebyshev插值時，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標分量精度達到最高，RMS值分別為0.45、0.85、0.62 mm；Chebyshev插值階數(shù)在5~9階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在8~10階時，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標分量精度均達到亞毫米級精度，且精度相當；Chebyshev插值階數(shù)在13~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時X方向坐標分量插值精度最佳，Z方向坐標分量插值精度最差。對GEO衛(wèi)星而言，與Chebyshev插值方法相比滑動式Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產生。

圖3 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對GEO衛(wèi)星的影響

2.2 IGSO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

基于滑動式 Lagrange插值方法對 IGSO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表2和圖4可以看出：8~17階滑動式 Lagrange插值對 IGSO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量均可達到毫米級精度，當使用14階滑動式Lagrange插值時，IGSO衛(wèi)星精密星歷三維坐標分量精度達到最高，RMS值分別為0.85、1.28、1.38 mm；滑動式Lagrange插值階數(shù)在5~14階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，此時X方向坐標分量精度最佳，Z方向坐標分量精度最差；滑動式Lagrange插值階數(shù)在15~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時X方向坐標分量插值精度最佳，Z方向坐標分量插值精度最差。

表2 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值對IGSO衛(wèi)星的影響

圖4 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值方法對IGSO衛(wèi)星的影響

基于Chebyshev插值方法對IGSO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表2和圖5可以看出：10~17階Chebyshev插值對IGSO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量均可達到毫米級精度，當使用 14階Chebyshev插值時，IGSO衛(wèi)星精密星歷X方向坐標分量、Y方向坐標分量精度達到最高，RMS值分別為0.79、1.30 mm，當使用15階Chebyshev插值時，IGSO衛(wèi)星精密星歷Z方向坐標分量精度達到最高，RMS值為0.62 mm，Chebyshev插值階數(shù)在5~14階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在15~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低；5~11階時，Z方向坐標分量插值精度最佳，Y方向坐標分量插值精度最差。

圖5 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對IGSO衛(wèi)星的影響

2.3 MEO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

基于滑動式Lagrange插值方法對MEO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表3和圖6可以看出：9~17階滑動式Lagrange插值對MEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量均可達到毫米級精度，當使用14階滑動式Lagrange插值時，MEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標分量精度達到最高，RMS值分別為0.79、1.41、1.15 mm；滑動式Lagrange插值階數(shù)在5~14階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，滑動式Lagrange插值階數(shù)在 15~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低；滑動式 Lagrange插值階數(shù)在 5~9階時，Z方向坐標分量插值精度最佳，Y方向坐標分量插值精度最差，滑動式Lagrange插值階數(shù)在 10~14階時，X方向坐標分量插值精度最佳，Y方向坐標分量插值精度最差，滑動式Lagrange插值階數(shù)在 15~20階時，Y方向坐標分量插值精度最佳，X方向坐標分量插值精度最差。

圖6 不同階數(shù)滑動式Lagrange插值方法對MEO衛(wèi)星的影響

基于Chebyshev插值方法對MEO衛(wèi)星精密星歷進行內插，由表3和圖7可以看出：11~15階Chebyshev插值對MEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標分量可達到毫米級精度，當使用 11階Chebyshev插值時，MEO衛(wèi)星精密星歷Z坐標分量精度達到最高，RMS值為3.22 mm，當使用13階Chebyshev插值時，MEO衛(wèi)星精密星歷Y坐標分量精度達到最高，RMS值為 3.44 mm，當使用14階Chebyshev插值時，MEO衛(wèi)星精密星歷Z坐標分量精度達到最高，RMS值為 3.34 mm；Chebyshev插值階數(shù)在5~11階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在 14~20階時，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度降低。對MEO衛(wèi)星而言，與Chebyshev插值方法相比，滑動式Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產生。

3 結束語

本文借助武漢大學IGS數(shù)據(jù)中心提供的BDS精密星歷產品，基于滑動式 Lagrange插值和Chebyshev插值方法對三種類型軌道衛(wèi)星進行精密星歷插值分析，實驗結果表明：滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值方法對GEO衛(wèi)星精密星歷最佳可達到亞毫米級精度，對IGSO、MEO衛(wèi)星精密星歷最佳可達到毫米級精度，均可滿足高精度導航定位的需求；與Chebyshev插值方法相比，滑動式 Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產生；滑動式Lagrange插值和Chebyshev插值方法的階數(shù)均不宜過高或過低，同一種插值方法對應不同衛(wèi)星所達到最佳精度時階數(shù)不同，同一衛(wèi)星對應不同的插值方法最佳精度時階數(shù)亦不相同。因此，今后在獲取任意時刻BDS精密星歷時，需針對不同衛(wèi)星采取不同插值方法不同階數(shù)以達到插值精度效果最佳的目的。