義務教育階段數學教材課后習題難度比較研究

靳玉竹 劉素紅

摘? ?要：采用綜合難度模型，以義務教育階段“二次函數”內容為例，對人教版和北師大版的課后習題難度進行比較研究.通過數據量化教材在“認知”“背景”“運算”“推理”“知識含量”以及“與例題的相關程度”這六個因素不同水平層次上的體現，探究教材習題設置特點;用圖形直觀化綜合難度結果，結合數據與圖形，分析教材，提出教材編寫與教學參考建議.

關鍵詞：二次函數;難度因素;綜合難度;教材;習題

1? 引言

1.1? 難度模型

本文選取人教版和北師大版2013年出版的教科書中，初中“二次函數”這一章的練習題、習題以及章復習題，進行難度對比研究.在文獻研究以及大量的實證調查中發現，影響課后習題難度的因素，除了已有的研究成果[ 1-2 ]，習題與例題的關聯度也是一個不可忽視的影響因素.因此，基于鮑建生的[ 1 ]五個難度因素的難度模型，構建了含有六個難度因素的綜合難度模型;此外在調查研究中還發現，影響因素中的“運算”“推理”以及“習題與例體的關聯度”，究竟幾步運算、幾步推理、幾步關聯度使得學生對相關問題感到易或者難，是一個需要分段細化的步驟.為此，對鮑建生模型中的相應水平層次重新分段量化，對新增加的影響因素進行占比量化;所選取的內容中，沒有涉及“背景因素”中的“公共常識”背景，故在量化研究中去掉這一因素，最終構建了如表1所示的習題綜合難度模型.

1.2? 量化方法

難度因素水平劃分及賦值：六個影響因素的水平劃分如表1，每個水平依次賦值1，2，3.

題目中的難度因素與量化：考察每道題目上六個影響因素的成分及水平并賦值;計算每個影響因素的加權平均值.加權平均的計算公式是：

di=（jn=n，i=1，2，3，4，5，6=1，2，3……其中，di（i=1，2，3，4，5，6）依次表示“認知”“背景”“運算”“推理”“知識含量”和“與例題相關程度”六個難度因素的加權平均值，d表示第i個難度因素的水平j的權重，n表示個數，總和等于所有題目的個數和n.根據求得的六個di值，對兩版教材分別在六個因素上的難度進行分析比較，用圖形直觀反映不同教材難度因素的特點和綜合難度 [ 1 ].

2? 兩版教材習題的綜合難度分析比較

2.1? 量化結果

梳理兩版教材中課后習題，用上述量化方法進行賦值計算，得到結果如表2.

對表2數據圖形直觀化處理，繪制統計圖。

2.2? 各因素分析比較

“認知”因素如圖1，兩版教材均呈現由高到低的變化趨勢，都在“識記”水平的占比最大，在“探索”水平的占比最小;北師大版除了在“識記”水平的占比遠低于人教版外，其他水平均高于人教版.在這一因素上，兩版教材充分體現了重視“雙基”的要求.整體上，北師大版在“認知”因素上的難度要高于人教版，而這一難度差異主要來自較高水平層次的認知.

“背景”因素如圖2，兩版教材的占比都呈現由高到低的趨勢，均在“無實際背景”的占比最大;北師大版各水平之間的差異小于人教版.總體來說，兩版教材涉及到背景的占比都比較小，沒有充分體現出《課程標準》中“應用意識”[ 3 ]這一核心概念.

“運算”因素如圖3，兩版教材在前三個水平的占比之和都占據絕大部分，運算步驟越多占比越少，符合認知規律與課程理念.即通過大量的基本運算題目達到“人人都能得到良好的數學教育”[ 3 ]，但是為了讓“不同的人在數學上得到不同的發展”[ 3 ]，設置了更高水平的題目.相對來說，北師大版對學生的運算水平要求更高.

“推理”因素如圖4，北師大版呈現由高到低的趨勢，符合認知規律;而人教版在中等推理和復雜推理上呈現“逆趨勢”，這不但不符合認知規律，也與其高占比的“無推理”題目設計意圖相悖.整體上，北師大版對學生的推理水平要求更高.

“知識含量”因素如圖5，兩版教材在這一因素的習題設計趨勢完全一致，占比遞減，符合認知規律.不同之處，人教版對三個及以上知識點的題目設置較多，這就產生了人教版在這一因素上的難度大于北師大版.

“與例題相關程度”因素如圖6，兩版教材整體呈現遞減趨勢，符合教育與認知規律;“強相關”的題目占比在兩版教材中都是最大的，說明兩版教材的大部分習題都是對例題的模仿與鞏固.總的來說，北師大版的題目在這一因素下的難度大于人教版，對學生的要求也更高.

2.3? 綜合難度

根據數據，繪出反映兩版教材習題綜合難度的雷達圖，六個因素作為六邊形的頂點，中心到頂點的長度表示相應的因素難度;六邊形面積大小，即反映出綜合難度的大小，如圖7.

從雷達圖上看，北師大版在運算因素上難度最高，人教版在知識含量和運算因素上的難度都是最高;北師大版只在知識含量因素上比人教版難度低，在其他因素上均高于人教版;兩版教材都是在背景因素上難度最低，呈現出嚴重不足.直觀比較反映習題綜合難度的六邊形模型面積，北師大版要明顯大于人教版，所以北師大版的教材習題綜合難度要高于人教版，這與統計結果表2的數據一致.

3? 結論與建議

依以上數據與分析，對教材使用和教學提出以下建議：

兩版教材在“認知因素”的“探究”水平、“背景因素”設置權重都是最小的.而《課程標準》指出，探究活動有利于學生積累數學活動經驗，培養學生獨立思考和合作交流的能力;具有實際背景的題目可以培養學生從實際問題中抽象出數學問題，有利于培養學生的數學抽象、數學建模素養和解決實際問題的能力[ 3 ] .因此，教師在教學中，可以考慮在鞏固“雙基”的基礎上，通過具體的情境、背景、活動，加強“基本思想”“基本探究活動”，全面體現數學“四基”.培養學生從現實情境中抽象出數學問題、分析問題、有意識地用數學的方法解決問題，通過“四能”目標的達成，達到對核心概念“模型思想”“應用意識”的教學要求.

兩版教材在“運算因素”的權重都是最大的，對核心概念“運算能力”的體現是相同的.同時，人教版的知識含量因素與其運算因素權重均排在第一位，說明人教版更注重學生基礎知識和數學運算能力的培養，這為高中階段的學科核心素養的獲得奠定良好的基礎.教師在充分使用本教材題目的基礎上，可以適當甚至少量參考不同教材的題目，依據實際情況稍加調整或變化來提升學生的數學運算能力.

對教材的選取而言，可以研究兩版教材，選取合適的題目給不同水平層次的學生，讓不同水平層次的學生的最近發展區[ 4 ]都得到更好的發展.不同教育水平地區，可以針對本地區的教育水平，選擇更適合本地學生發展的教材，或者在不同教材中選取適合的部分內容.

對教材編寫者而言，全面考慮教材中習題設置與《課程標準》的一致性、影響習題難度各個因素的均衡性，“四基”“四能”“十個核心概念”[ 3 ]在習題中的滲透性等綜合指標及綜合因素，使教材更全面、科學地體現課程標準，為教師教學提供有力的教學參考.

參考文獻：

[1]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

[2] 徐玉慶，武小鵬.中美新三國初中數學教材習題綜合難度的比較研究——以“三角形的有關角”為例[J].教育與教學研究，2015，29（9）：9-12.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[4] 李士锜， 吳穎康.數學教學心理學[M].上海：華東師范大學出版社， 2011（4）.