建筑結構中的高次方程的數值解法

2022-06-09 09:42:32董浩孫成飛周震昊王雨龍丁應章

安徽建筑 2022年5期

董浩，孫成飛，周震昊，王雨龍，丁應章

（中建三局集團有限公司，湖北武漢 430000）

隨著人們對美好生活的不斷追求，出現了各色各異的建筑結構，我國現行《混凝土結構設計規范》（GB50010-2010）,經過多次改進其理論更為科學合理，更趨于國際化。但在應對形形色色的建筑結構時,為使結果更好地與實際相符,規范中的某些計算公式會較為麻煩。例如計算對稱配筋矩形截面小偏心受壓構件時,求解相對受壓區高度ζ需解的三次方程，用于設計很不方便,故“規范”給出了求ζ的近似公式，但按此式計算在準確度上有待商榷。因此，可以使用“牛頓法[4]”對高次方程進行求解，由于需要應用到工程計算之中求解過程不能繁瑣，且要求能夠快速收斂，以及運用一種改進牛頓法的方法：“牛頓—秦九韶法”[1]。根據數值分析[4]牛頓法與牛頓—秦九韶法的求解，需要對初值有準確的估計，在這種情況下本文列舉了另一種解法“黃金分割法”[7]，利用黃金分割法收斂快且不需要定義初值的優勢，可以更快速地求解高次方程。

1 基于“規范”的近似計算

下面作者簡述“規范”中采用簡化公式的過程，以便分析其不足。對于對稱配筋的小偏心受壓柱，根據基本公式和對稱配筋的特點，可以導出以下公式：

式（1）為ζ的三次方程，求解很麻煩，故“規范”基于以下理由做出了簡化：

由式（2）知y也是ζ的三次函數。但因為在小偏心受壓范圍內,y與ζ的關系是趨近于線性關系。小偏心受壓構件ζ常見范圍為:ζb＜ζ＜ 1.6-ζb其中ζb為相對界限受壓區高度，對于常用的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ級鋼筋,ζb值分別為0.614、0.544及0.528,則 ζ（1-0.5ζ）的值在 0.39～0.50之間，故“規范”取ζ（1-0.5ζ）=0.43,將其代入式(1)即得求ζ的近似公式：

則配筋公式：

可以總結兩點。

①在計算矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件時關鍵是需求解ζ。

②用上述規范所訴的近似算法進行設計時，產生誤差的原因在于：在小偏心受壓范圍內,雖然ζ的三次式(2)趨近于直線，但對不同材料其直線回歸方程是不一樣。若不分情況，一律將 ζ(1-0.5ζ)的結果取為常數0.43，即把采用不同材料時的直線回歸方程全都視為y=0.43(ζb-ζ)/(ζb-0.8)，顯然與實際不完全相符，導致一定誤差[3]。

2 各類數值解法

2.1 牛頓法

牛頓法也稱牛頓—拉佛森法，是迭代法的一種，其收斂速度通常比一般的迭代法都快，下面簡述一下牛頓法的原理[4]：

牛頓法是用泰勒公式展開的一種迭代方法，設方程f(x)==0的根x*的近似值為將函數f(x)在點xk展開：

舍去高階項上式可近似表達：

整理上式可得到迭代式：

根據以上迭代式選取初值x然后反復迭代就可以得到滿足精度的x值，利用此原理可以求解公式（1）的三次方程，根據上述迭代式可知求解f(x)的函數值與一階導數值即可，因此，可以發現由公式（1）得到的三次方程組多項式需要求解平方乘法然后再加法，在計算步驟中雖然較解三次方程組簡單一點，但計算量太大，不適合手算。基于此，李汝庚[1]提出了改進后的牛頓—秦九韶法。

2.2 牛頓—秦九韶法

上一節的“牛頓法”，雖然思路清晰，方法易懂，但有函數值及一階導數的求解，計算量大了。早在我國古代就有秦九韶法來解決有關于多項式f(x)在任意x的泰勒展開式前面系數的問題。牛頓—秦九韶法[5]由我國古代的秦九韶法與西方近代的牛頓迭代法相結合，本方法適用于解決建筑結構中的高次方程。例如本文所述的矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件的計算求解，相對受壓區高度ζ的三次方程問題，若用牛頓—秦九韶法求解則頗簡便。下面以一個三次多項式為例，說明該法的數學原理及算法步驟。

關于f(x)在任意點x0處的泰勒展開式：

按如下格式計算：

格式中第一行是式8的各項系數，然后以下各行數均按式10計算：

例如第二行的計算如下：（因為b0左邊沒有數字所以b0=a0

由此可得按式（9）表示的f(x)在x0處的泰勒展開式：

上述方法就是秦九韶法[7]，此法利用乘法和加法代替求導計算，大大簡化了計算過程，對于求任意高次多項式在任意點x0處的展開式系數非常簡便適用。而牛頓法的迭代公式（7）首先需求解一階導數和函數值，再應用迭代公式反復迭代才能得到數值解，對比而言計算量過大。

2.3 黃金分割法

根據以上分析，無論是迭代法還是改進后的迭代法，對于方程的求解都依賴于初值的選取，對于對稱配筋小偏心受壓構件ζ的常遇范圍為ζb＜ζ＜1.6-ζb，因此，ζ比較好的初始值ζb便可在此范圍內擬定，可取ζb與(1.6-ζb)的平均值，近似為0.8左右[5]。但建筑結構中高次方程多樣，并不都像對稱配筋小偏心受壓構件中的ζ可以選取出初值。例如分析高層建筑的固有振動時，設自振頻率為ω，特征值λ=1/ω2，經推導可得高層建筑確定頻率的高次方程為另外，當高次方程中存在多解時，上述迭代法會出現收斂速度慢的缺點。

黃金分割法[6]求高次方程的數值解，能克服上述兩大缺點。黃金分割法的算法思想為對于連續函數F(x)，在閉區間［a，b］內有且僅有一個實數根x，令x1=a，x2=b。若F(x1)=0或F(x2)=0，則x=x1或x=x2即為所求實數根；否則求取新的區間利用①=a+(b-a)×0.618(設a＜b)求取第一個點；再利用②=(a+b)-①=(大+小)-中求取第二個點，比較F(①)與F(②)的大小，得到新的區間在新區間內重復以上過程，直到所求有根區間在精度范圍內為止，即可得到實數根x[6]。

用黃金分割律求高次方程的數值解主要用到下面兩個公式：

①=a+(b-a)×0.618(設a＜b)

②=(a+b)-①=(大+小)-中

由于黃金分割法需要提前知道根的區間，可以利用以下兩種方式確定：a.利用連續函數根的存在性定理（二分法確定根所在的區間）2）根據建筑結構的理論大致確定根的區間如小偏心受壓構件ζ,可以明確知道它的根在［0，1］區間。