Vondrak 濾波在能譜光滑中的應用研究

陽林鋒，代啟東，牛 江，黃禮淵，吳明昌，張一帆，周 航

（中國核動力研究設計院，四川 成都 610200）

譜光滑是能譜分析中的重要部分。由于核衰變及測量的統計性，當計數較小時，計數的統計漲落比較大。相對于全能峰峰位，全能峰邊界更易受統計漲落的干擾，為了消除統計漲落的影響必須對譜數據進行譜光滑處理[1]。

譜光滑不僅要起到減小統計漲落的作用，還要能保持譜線的形狀特征，目前常用的譜光滑方法主要有平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法等[2]。其基本思想是逐點對譜數據進行處理，以待處理點為中心，左右各取m 點對該點進行修正，從而達到消除統計漲落的目的。但它們都存在一些缺點，如峰形易畸變，弱峰易丟失，產生干擾峰等。Vondrak 濾波是一種適合于等間隔的觀測數據又適合于非等間隔的觀測數據的平滑方法，且其能在未知觀測資料的變化規律及其擬合函數的情況下，對觀測資料進行有效的平滑[3-4]。因此，Vondrak 濾波對能譜的譜光滑是適用的。本文對Vondrak 濾波在能譜光滑中的應用進行研究，得出光滑譜的解析解。計算了Vondrak 濾波法的光滑評價因子，并與其他3 種方法（平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法）進行了比較。實驗驗證了Vondrak 濾波法的穩定性和實用性。

1 理論基礎

1.1 Vondrak 能譜光滑

Vondrak 濾波具有很好的低通濾波效果，在諸多領域都得到了成功的應用[5-7]。對于能譜其基本工作原理如下：

將公式（1）表示為最小二乘法形式為[8-9]

對式（2）兩邊進行對Y'的求偏導可得：

式中，WλAAn×n為系數響應矩陣，對其進行初等行變換可得：

對于能譜，其不同區域的擬合權重是不同的。由于核衰變及測量的統計性，當計數較小時，計數的統計漲落比較大，故在這些區域應該降低擬合度，例如全能峰邊界以及康普頓平臺區域；而對于計數較高區域，統計漲落的影響較小，本身就比較光滑，故在這些區域應該提高擬合度，例如全能峰區域。擬合權重我們按照如下公式進行計算：

已知wi>0，則此時變換后的矩陣的秩為n。矩陣初等行變換不改變矩陣的秩[10]，所以WλAAn×n為滿秩矩陣，具有可逆性，故公式（5）可變為公式（8）形式。至此，求解光滑譜問題轉化為解方程問題，可通過求解系數響應矩陣的逆矩陣來計算光滑譜。

1.2 光滑效果評價

能譜光滑的基本原則是要起到減小統計漲落的作用，還要能保持譜線的特征信息。根據文獻[11]，光滑效果可用如下計算進行評價：

式中，ξ 為評價因子，ξ 值越大，光滑效果越好；ri為測量譜與光滑譜對應每個點之間的加權偏差，rˉ為ri的算數平均值；D（r）為加權偏差的標準方差，統計漲落剔除越多，D（r）越大，可見D（r）表征了祛除統計干擾的程度；χ2為卡方值，用于非線性回歸分析擬合效果評價，其值越接近1，擬合效果越好；M 為自由度；left 和right 分別是被光滑譜段的左右道址。

2 實驗與分析

實驗采用探測器選用溴化鈰探測器（3.7%@662keV），其圓柱狀晶體尺寸為?45×50 mm，探測器實物圖片如圖1 所示。測量的放射性核素152Eu、232Th，分別運用平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法和Vondrak 濾波法對測得的γ 射線能譜進行譜光滑。

圖1 溴化鈰探測器

探測152Eu 放射源的γ 射線能譜、平均移動法光滑譜、重心法光滑譜、多項式最小二乘擬合法光滑譜、Vondrak 濾波法光滑譜分別如圖2（a）-（e）所示。探測232Th 放射源的γ 射線能譜、平均移動法光滑譜、重心法光滑譜、多項式最小二乘擬合法光滑譜、Vondrak 濾波法光滑譜分別如圖3（a）-（e）所示。

從圖2、圖3 可以看出，Vondrak 濾波法對能譜特征峰信息的保持是完整的。為了對全譜光滑效果進行綜合評價，根據公式（9）對各光滑結果進行全譜評價因子ξ 的計算，計算結果見表1。由表1 可知，對于152Eu射線能譜，光滑效果最好的是多項式最小二乘擬合法；對于232Th 能譜，光滑效果最好的是Vondrak 濾波法。相較于其他光滑方法，當λ=2 時Vondrak 濾波法的D（r）值最大，說明Vondrak 濾波法對能譜中統計漲落的抑制更加徹底，降干擾效果最好。

表1 各光滑結果評價因子值

圖2 152Eu 放射源的γ 射線能譜及光滑譜

圖3 232Th 放射源的γ 射線能譜及光滑譜

3 結論

譜光滑的主要目的是降低放射性測量中能譜的統計漲落，同時保持能譜的特征信息，為后續更精確地解譜分析作預處理。根據Vondrak 濾波最小二乘形式，結合擬合權重矩陣，提出了能譜譜光滑的理論計算公式，并運用于實際測量能譜光滑的應用中，分別從光滑效果圖和評價因子計算值上對光滑結果進行了評價。綜合研究表明，相較于平均移動法，重心法和多項式最小二乘擬合法，Vondrak 濾波法對能譜中統計漲落的抑制更加徹底，同時對能譜的特征信息可以進行較好的保持，是一種更優的譜光滑方法。