逆極限以及雙重逆極限空間中利普希次跟蹤性和幾乎周期點的研究

冀占江，陳占和 ，張更容

（1.梧州學院 大數據與軟件工程學院，廣西 梧州 543002；2.梧州學院 廣西高校行業軟件技術重點實驗室，廣西 梧州 543002；3.梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統重點實驗室，廣西 梧州 543002；4.廣西大學 數學與信息科學學院，廣西 南寧 5430004；5.湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

0 引言

逆極限空間是動力系統研究的一個分支，它為構造復雜空間和映射提供了有力的工具，跟蹤性在動力系統中占有重要的地位，與計算機和生物數學的發展有著密切的關系，很多學者對逆極限空間和跟蹤性的動力學性質進行了深入的研究，得到有價值的研究成果［1-11］。例如，文獻［1］指出若每個映射fi具有逐點偽軌跟蹤性，則其誘導映射f∞具有逐點偽軌跟蹤性；文獻［2］證明了自映射f具有漸近偽軌跟蹤性當且僅當移位映射σ具有漸近偽軌跟蹤性；文獻［3］證明了若每個映射fi具有遍歷跟蹤性，則其誘導映射f∞具有遍歷跟蹤性；文獻［4］證明了f具有平均跟蹤性當且僅當對任意的q∈[0，1)，f具有平均跟蹤性。 然而以上文獻中并未涉及逆極限空間中利普希次跟蹤性的動力學結果，為了完善逆極限空間的理論，本文在逆極限空間中研究了自映射f與移位映射σ在利普希次跟蹤性方面的關系，得到移位映射σ具有利普希次跟蹤性當且僅當自映射f具有利普希次跟蹤性。

隨著研究的深入，當我們研究復雜問題時，會發現逆極限空間的有限個符號已經難以解決生活中遇到的實際問題，而雙重逆極限空間是極限空間的推廣，因此研究雙重逆極限空間［12-15］就成了一項有意義的工作。但是目前有關雙重逆極限空間的文獻并不多，理論也有待學者進一步探討和研究，本文根據逆極限空間中幾乎周期點的概念，提出雙重逆極限空間中新幾乎周期點的概念，然后在雙重逆極限空間中研究了它的拓撲結構和拓撲特征，得到移位映射的幾乎周期點集等于自映射在其幾乎周期點集上形成的雙重逆極限空間，從而豐富了雙重逆極限空間中的理論成果，為雙重逆極限空間在實際中的應用提供了理論依據。

1 基本定義

定義1 設X，Y是拓撲空間，稱f是一個同胚映射，如果f：X→Y是一個一一映射，并且f和f-1都是連續的。

定義2 設(X，d)是緊致度量空間，且f：X→X是連續映射。若令

定義6 設 (X，d)是度量空間，f：X→X 連續。 若存在常數L＞0與δ＞0，對任意的0＜ε＜δ，使 得 當是 f的 ε-偽 軌 ，?x∈X，xLε-跟蹤{xi}∞i=0，則稱f具有利普希茨跟蹤性。

定義7［16］設(X，d)是度量空間，f：X→X 連續。若存在L＞0，對任意的x和 y∈X有d(f(x)，f(y))≤Ld(x，y)，則稱 f是利普希茨映射，L為f的利普希茨常數。

2 引理

引理 1［15］設 (X，d)是 緊 致 度 量 空 間 ，f：X→X，g：X→X 同 胚 映 射 ，f?g=g?f，則?i，j∈Z，?m，n≥0，有 πi，jσfnσgm=fngmπi，j。

3 主要定理

定理1 設(X，d)是緊致度量空間，Xf是X的逆極限空間，f：X→X 連續滿射，σ：Xf→Xf是移位映射。若f是常數為L的利普希映射，則f具有利普希茨跟蹤性當且僅當σ具有利普希茨跟蹤性。

4 結論

本文在逆極限空間中研究了利普希茨跟蹤性的等價性，然后在雙重逆極限空間中研究了幾乎周期點集的拓撲結構，所得結果推廣了逆極限空間中跟蹤性和幾乎周期點的結論。