堆載作用下豎井圓柱殼模型受力分析

聶清文

(中鐵十二局集團第一工程有限公司 陜西西安 710038)

1 引言

豎井作為一種聯(lián)絡(luò)上下空間的通道被廣泛用于土木工程中。豎井因其占地范圍小，開挖距離短在一些地形中具有顯著的優(yōu)勢，也因其特殊的空間走向形式，造成在施工方法和過程中遇到一些特殊的困難。

目前已有諸多學(xué)者對上述問題展開研究，王林俊[1]通過優(yōu)化二襯和十字隔墻的支模技術(shù)提高了超大斷面超深公路隧道通風(fēng)豎井施工效率。魏福貴等[2]對短段掘砌混合作業(yè)法在硬巖施工中圍巖的受力和位移演化過程進(jìn)行了討論，分析了各個施工工序的位移變化速率。周雄華[3]、高賢[4]等人通過數(shù)值模擬，分析了豎井開挖過程中圍巖、襯砌和結(jié)構(gòu)的受力。劉健美等[5]以富水地層中的豎井開挖為研究對象，通過現(xiàn)場監(jiān)測、數(shù)值模擬等方法對開挖后土體沉降原因進(jìn)行了分析。Liu Bo等[6]針對地鐵隧道上部開挖豎井的上浮位移問題，建立了整體數(shù)值模型，通過現(xiàn)場數(shù)據(jù)驗證了技術(shù)的合理性。陳航等[7]以反井施工下豎井的縱向變形曲線為研究對象，通過建立三維豎井開挖模型，并與傳統(tǒng)隧道的曲線進(jìn)行了驗證。劉力源等[8]建立豎井力學(xué)分析模型，對豎井在孔隙水壓和地應(yīng)力場作用下圍巖損傷機制進(jìn)行研究。劉煥新等[9]建立了豎井開挖巖爆多指標(biāo)綜合危險性等級預(yù)測模型，提出了相應(yīng)處理措施。戴旭等[10]通過FLAC3D建立了三維模型，并提出了降低管線位移措施。Hu Yanbo等[11]以超厚破碎帶地質(zhì)下的豎井為研究對象，對地應(yīng)力和破碎帶耦合作用下豎井的位移情況進(jìn)行了定量分析。上述研究促進(jìn)了豎井施工理論的發(fā)展，推動了豎井施工技術(shù)的變革。

采用理論解析解與數(shù)值模擬結(jié)合分析方法，研究堆載作用下豎井井身受力與變形反應(yīng)規(guī)律。

2 豎井圓柱殼理論模型

2.1 圓柱殼殼體理論

由于豎井井壁橫截面為圓形，并且具有較大的深度，因此可以參考關(guān)于曲線地連墻的研究，將豎井井壁(初支和二襯)等效簡化為圓柱殼模型進(jìn)行力學(xué)分析，如圖1所示。

圖1 豎井井壁土壓力及開挖示意

忽略井壁深度方向的位移，井壁的幾何方程為[12]:

式中，ε1、ε2分別為井壁的豎向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變；α0為環(huán)向剛度修正系數(shù)；μ為泊松比；w為井壁徑向位移(m)；R為豎井的半徑(m)；z為計算位移沿z坐標(biāo)軸至墻體中心線的距離(m)；x為計算位置的豎井深度(m)。

考慮線彈性本構(gòu)關(guān)系，井壁的物理方程為:

式中，σ1、σ2分別為井壁的豎向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力；E為折算后混凝土等效彈性模量(Pa)。

沿厚度方向z對式(2)進(jìn)行積分，可得井壁的豎向軸力N、彎矩M和剪力Q:

工程項目豎井隧道支護(hù)通常采取鋼筋混凝土的支護(hù)方式，在計算時采用彈性模量折算法，如式(4)。

式中，E0為素混凝土彈性模量(Pa)；sg為鋼筋截面積(m2)；Eg為鋼筋彈性模量(Pa)；sc為混凝土截面積(m2)。

2.2 井壁受力分析

豎井在開挖后會對其周圍區(qū)域的圍巖產(chǎn)生擾動作用，迫使圍巖進(jìn)行應(yīng)力釋放，并產(chǎn)生應(yīng)力重分布。隨著開挖的進(jìn)行，圍巖進(jìn)一步釋放出的應(yīng)力作用于豎井井壁上，使得豎井產(chǎn)生變形。由于圓壁擋土墻受力具有空間特征，目前尚未形成計算豎井土壓力的統(tǒng)一方法。工程上常用計算土壓力的理論公式包括朗金土壓力理論、庫倫土壓力理論和《公路隧道設(shè)計細(xì)則》中使用的秦氏方法。

秦氏理論的計算公式為:

式中，γ為土層的重度(N/m3)；h為分層土的厚度(m)；n為分層土的數(shù)量。

朗金土壓力的計算公式為式(6)。由于豎井還受到井口周圍豎向堆載作用，假設(shè)堆載邊緣距井中心的最近距離為dl，堆載的平面長度和寬度為d1和d2，那么可以按照(45°+φ)的水平線夾角將堆載投影至井壁對應(yīng)區(qū)域，進(jìn)而計算作用在豎井周圍的土壓力。

式中，Kai為主動土壓力系數(shù)，Kai＝ tan2(45°-φi/2)；q為上部荷載(N)；c為土的粘聚力(Pa)。

秦氏理論的計算公式較為簡便，但沒有直接給出考慮井口均布荷載的方法。庫倫土壓力理論無法直接考慮土層的粘聚力。朗金土壓力理論能夠較好地考慮豎井周圍堆載和堆載大小，因此比較適用于模型的計算。

2.3 平衡方程的建立和求解

采用里茲法可以較為方便地建立其平衡方程，考慮豎向和徑向變形，豎井井壁的彈性勢能可以寫為式(7):

式中，w為井身水平位移(m)；D＝Et3/[12(1-μ2)]，D為墻體抗彎剛度(N/m)；t為井壁的厚度(m)；h為豎井的高度(m)。

井后土壓力造成的勢能寫為式(8):

考慮到直接求解殼體方程的復(fù)雜性，可以把徑向位移w函數(shù)采用傅里葉級數(shù)展開，進(jìn)行逆向求解。

式中，i為傅里葉級數(shù)的階數(shù)；λi＝iπL-1；。

由于位移函數(shù)在上下兩端不為0，即w(0)≠0，w(L)≠0，下面將利用其邊界條件計算位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:

式中，ai可以通過對wi進(jìn)行分步積分得到。

由里茲法可知系統(tǒng)中各個勢能的變分之和為0:

黑夜里的一切聲音都飽含了欲望，來自一團老辣的熊熊燃燒的火焰和火焰中頓時融化的冰塊，在奇特的水火相容中，他們交出了寂寞，交出了眼淚，交出了痛和血，也交出了夜的漆黑。

對于墻體的變形勢能而言，對其廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)并通過傅里葉級數(shù)的正交性進(jìn)行化簡，可得:

式(13)可進(jìn)一步改寫為矩陣和向量形式:

式中，K中的元素，

對土壓力的勢能而言，對其廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)可得:

綜合上述公式可得最終的豎井受力平衡方程:

通過求解矩陣K和向量P便可得到豎井井壁的等效平衡方程組。求解該方程組后可得井壁處徑向位移w的廣義坐標(biāo)wi，將wi代入式(9)中可得豎井的徑向位移。在每步開挖時需要重新計算作用在井壁上的土壓力，然后代入平衡方程中計算其位移。

3 模型驗證

3.1 工程概況

某隧道由一個豎井采用送排式對左右線進(jìn)行通風(fēng)，所穿過的巖層參數(shù)如表1所列，豎井布置及尺寸如圖2所示。

表1 巖層力學(xué)參數(shù)取值

圖2 某隧道豎井平縱面尺寸(單位:m)

3.2 數(shù)值模型建立

圖3 豎井及土層數(shù)值模型(單位:m)

3.3 數(shù)值模型對比

圖4為理論求解的值與數(shù)值模擬計算值對比圖，由圖4可知在堆載距離為5 m的情況下，豎井在堆載與開挖作用下井身位移的解析解與數(shù)值解之間的趨勢較為接近。在井體深度為9 m之前井身位移的數(shù)值解略小于解析解，在9 m之后井身位移數(shù)值解略大于解析解。這是因為數(shù)值模擬是按照施工步驟進(jìn)行模擬的，考慮了土體的開挖卸荷，而理論公式是直接按照土壓力計算公式荷載土體對井壁的壓力(沒有去除自重的影響)，加之?dāng)?shù)值模擬采用有限差分計算，計算結(jié)果的取值存在截斷誤差。總體而言，豎井圓柱殼模型計算結(jié)果較為可靠，可用于豎井受力快速分析。

4 計算分析

4.1 堆載距離分析

將地表堆載作用換算為長寬為20 m×20 m的荷載區(qū)域，荷載幅值為20 kPa，分別計算堆載與豎井襯砌距離dl＝5、10、15、20、25、30 m 作用下工況，探討開挖深度為20 m內(nèi)對豎井襯砌的水平位移和彎矩的影響。

通過圖 5 可知，dl為5、10、15、20、25、30 m 下對應(yīng)的豎井襯砌最大水平位移值分別為3.04、2.89、2.76、2.72、2.72、2.72 mm，兩值之間的遞減幅值為4.93%、4.49%、1.45%、0%與0%。

圖5 不同堆載距離下豎井水平位移曲線

由圖6可以看出井身的彎矩基本呈“S”型分布，在井口附近具有一定負(fù)向彎矩，這是因為井口土層具有一定的粘聚力，在開挖卸荷后會給井身造成一定的反向張拉作用，因此該部位需要加強布置鋼筋，以確保結(jié)構(gòu)的安全性。

圖6 不同堆載距離下的豎井縱向彎矩曲線

4.2 堆載大小分析

為了探索豎井上方的地面堆載大小對開挖區(qū)位移的影響，選擇堆載距離為15 m，堆載大小為10、20、30、40、50、60 kPa 等 6 種工況展開數(shù)值計算，探討堆載大小對豎井襯砌水平位移和彎矩的影響。

由圖7可知，不同堆載大小下井身位移的分布較為相似，在井身下半部分位移受堆載大小的影響較大，隨堆載大小的增加井身最大位移幅值增加，并沿著土層深度方向發(fā)展。

圖7 不同堆載大小下豎井水平位移曲線

由圖8可知，不同荷載作用下豎井的彎矩曲線仍呈“S”型分布，且隨荷載幅值的增加井身彎矩隨之而增加，在堆載為60 kPa時井身彎矩最大，為7.84×103kN˙m。因此，在井口堆載較大時需要提高井身抗彎鋼筋的設(shè)置。

圖8 不同堆載作用下的豎井井身彎矩曲線

5 結(jié)論

(1)通過里茲法建立的豎井圓柱殼理論模型求解出豎井在開挖完成后的井身水平位移值，并與有限差分?jǐn)?shù)值模型解進(jìn)行對比，兩種方法得到的計算結(jié)果基本吻合。

(2)隨著地面堆載與豎井距離值增加，井身水平位移逐漸增加，堆載與豎井距離為10 m時其井身彎矩達(dá)到最大，且當(dāng)堆載距離大于20 m時，井身靜力反應(yīng)變化不再明顯。

(3)隨地面堆載值增加，井身彎矩呈線性增加，當(dāng)堆載為60 kPa時，井身彎矩達(dá)到最大。

(4)本文只考慮了堆載作用對豎井井身變形受力的影響，后續(xù)還可進(jìn)一步考慮井后水壓、井內(nèi)支撐及設(shè)備對井身受力的影響。