長(zhǎng)程視野下的起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)*
——以“正比例和反比例”的教學(xué)為例

劉正松

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但鑒于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和課時(shí)教學(xué)需要，教材編寫時(shí)都進(jìn)行了較為合理的劃分。這樣一來(lái)，原本結(jié)構(gòu)化的知識(shí)便散點(diǎn)式地分布于各年級(jí)的教材中，不少教師會(huì)平均著力于每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，這是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重的原因之一。教師擁有長(zhǎng)程視野，聚焦起點(diǎn)型核心知識(shí)精準(zhǔn)施教，將有助于學(xué)生夯實(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)的根基，進(jìn)而生發(fā)和建構(gòu)新的知識(shí)。“正比例和反比例”便是典型的起點(diǎn)型核心知識(shí)。它作為刻畫某一現(xiàn)實(shí)背景中兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從常量到變量，是學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程中的一次重大飛躍。雖然學(xué)生在過(guò)去學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)和運(yùn)算律的過(guò)程中，對(duì)變量的思想有過(guò)一些感知，但真正用函數(shù)的觀念探索兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律是從“正比例和反比例”開始的。［1］

一、學(xué)習(xí)檢測(cè)

為了解“正比例和反比例”這一起點(diǎn)型核心知識(shí)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我們?cè)谝凰鶎W(xué)校展開教學(xué)研究。該校六年級(jí)共10個(gè)班，369名學(xué)生，從中隨機(jī)選取5個(gè)班作為實(shí)驗(yàn)班，另外5個(gè)班作為對(duì)照班。對(duì)照班教師按照教材編排，參照蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫組編寫的《小學(xué)數(shù)學(xué)備課手冊(cè)（六年級(jí)下冊(cè)）》中的教學(xué)設(shè)計(jì)展開教學(xué)。一周后，我們將兩組判斷題編制在一張練習(xí)中，組織學(xué)生隨堂練習(xí)。

1.根據(jù)圖1每個(gè)表中對(duì)應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系，判斷哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例也不成反比例。

（圖1）

2.判斷各題的兩種量是否成比例，成比例的是成正比例還是成反比例。

（1）100名同學(xué)參加團(tuán)體操表演，每排的人數(shù)和排數(shù)。

（2）王叔叔每分鐘澆樹的棵數(shù)一定，澆樹的時(shí)間和澆樹總棵數(shù)。

（3）正方體的體積一定，底面積和高。

（4）已知xy=10，x和y。

檢測(cè)結(jié)果如表1所示：

表1 “正比例和反比例”對(duì)照班檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

同為判斷兩種量是否成正比例或反比例，正確率懸殊較大，我們就練習(xí)內(nèi)容對(duì)部分師生進(jìn)行了訪談，了解他們的真實(shí)想法。當(dāng)問(wèn)學(xué)生“判斷第1題表格中的兩種量和第2題文字描述的兩種量哪個(gè)更容易？”時(shí)，學(xué)生回答：“判斷表格中的兩種量更容易，因?yàn)楦鶕?jù)表格中的數(shù)據(jù)可以很快推算出兩種量是比值一定還是乘積一定。”當(dāng)就“正方體的體積一定，底面積和高”一題問(wèn)學(xué)生“你是怎么想的？”時(shí)，學(xué)生說(shuō)出了自己的想法：“因?yàn)檎襟w的底面積乘高等于體積，體積一定，說(shuō)明底面積和高的乘積一定，所以底面積和高成反比例。”從學(xué)生的回答中不難看出，他們的思路很“清晰”。學(xué)生真實(shí)的想法也便于我們找出問(wèn)題的癥結(jié)所在。此外，有兩位教師竟然也認(rèn)為“正方體的體積一定，底面積和高”一題的答案為“反比例”。當(dāng)我們進(jìn)一步解釋時(shí)，兩位教師才意識(shí)到錯(cuò)誤。現(xiàn)實(shí)中，部分教師教學(xué)時(shí)更多關(guān)注具體課時(shí)的內(nèi)容，而缺少對(duì)教學(xué)內(nèi)容來(lái)龍去脈的長(zhǎng)程考量，出現(xiàn)問(wèn)題也是在所難免。

二、教學(xué)重構(gòu)

為了幫助學(xué)生精準(zhǔn)建構(gòu)正、反比例的意義，我們重組教材內(nèi)容，以列表為主要表征方式，將正、反比例的意義融為一課時(shí)在實(shí)驗(yàn)班展開教學(xué)。

1.認(rèn)識(shí)“兩種相關(guān)聯(lián)的量”

出示表2至表6。

表2 學(xué)生身高與數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

提問(wèn)：每張表格中的兩種量有聯(lián)系嗎？

學(xué)生先獨(dú)立觀察、思考，然后集體交流，明確：表2中兩種量沒(méi)有聯(lián)系，其余四張表中兩種量有聯(lián)系。

揭示：兩種相關(guān)聯(lián)的量。

2.認(rèn)識(shí)“正比例”和“反比例”

談話：剛才大家看到了表中“變化”的量，誰(shuí)能從“不變”的視角分析一下后四張表？

在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上用數(shù)量關(guān)系式表示出表中不變的關(guān)系。（逐一板書）

追問(wèn)：回頭看看這四張表格，如果讓你分分類，你會(huì)怎么分？

通過(guò)交流，明確：表3和表6一類，表中兩種量的積不變；表4和表5一類，表中兩種量的商不變。

表3 學(xué)生分組組數(shù)與每組人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

表4 汽車行駛時(shí)間和路程統(tǒng)計(jì)表

表5 鉛筆的數(shù)量和總價(jià)統(tǒng)計(jì)表

表6 裝配計(jì)算機(jī)的工作效率和工作時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

揭示：正比例和反比例。

3.明確判斷方法

出示：正方形的周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)成比例嗎？成什么比例？

師生合作列表，借助表格數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷。

出示：長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)與寬成比例嗎？成什么比例？

學(xué)生獨(dú)立思考，集體交流判斷方法。

追問(wèn)：怎樣判斷兩種量是否成比例？成什么比例？

指名交流，明確方法：根據(jù)題意列表判斷。

4.嘗試建模

提問(wèn)：成正、反比例的量在我們身邊有很多，你能舉出一些例子嗎？

學(xué)生舉例，集體交流。

提問(wèn)：剛才大家舉出了很多成正、反比例的量的例子，你們能不能分別用一道式子概括這些例子？

一周后，我們將對(duì)照班學(xué)生完成的練習(xí)發(fā)放給實(shí)驗(yàn)班學(xué)生完成檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如表7所示。由表7可知，實(shí)驗(yàn)班各題的正確率均高于對(duì)照班，特別是“正方體的體積一定，底面積和高”這一題，實(shí)驗(yàn)班的正確率明顯提升。無(wú)疑，我們的教學(xué)重構(gòu)是成功的。回顧上述教學(xué)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)：有了表格數(shù)據(jù)的支撐，學(xué)生更為準(zhǔn)確地把握了這一知識(shí)的本質(zhì)，在腦海中清晰建構(gòu)了正比例和反比例的數(shù)學(xué)模型。

表7 “正比例和反比例”實(shí)驗(yàn)班檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

三、實(shí)施建議

教師作為教育教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)，應(yīng)擁有長(zhǎng)程視野，對(duì)不同領(lǐng)域、板塊、序列的核心知識(shí)特別是起點(diǎn)型核心知識(shí)作出科學(xué)的判斷和梳理，進(jìn)而凸顯內(nèi)容本質(zhì)，細(xì)化教學(xué)要求，促進(jìn)學(xué)生牢固建構(gòu)新知。

1.整體研讀課程標(biāo)準(zhǔn)

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫和教師教學(xué)的依據(jù)，其重要性毋庸置疑。當(dāng)前，教師大多能準(zhǔn)確把握課程性質(zhì)和基本理念，具體實(shí)施教學(xué)前也會(huì)反復(fù)研讀學(xué)段目標(biāo)、課程內(nèi)容和實(shí)施建議，這本無(wú)可厚非，但數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)密的邏輯性使得一個(gè)知識(shí)點(diǎn)往往只是某一領(lǐng)域、某一板塊或某一序列知識(shí)的起點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)或拐點(diǎn)，從中可以生發(fā)出一系列新的知識(shí)，這就要求我們研讀課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)不能囿于某一學(xué)段，而應(yīng)貫通各個(gè)學(xué)段，整體研讀。第二學(xué)段“正比例和反比例”正是第三學(xué)段“函數(shù)”的起點(diǎn)。關(guān)注第三學(xué)段“函數(shù)”的課程內(nèi)容，我們會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，表征這種對(duì)應(yīng)關(guān)系常用的方式有列表、圖像和解析式。對(duì)“正比例和反比例”的學(xué)習(xí)而言，多種表征方式可以清晰呈現(xiàn)概念的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生理解概念，但不同學(xué)段采用的表征方式側(cè)重點(diǎn)應(yīng)略有不同。就第二學(xué)段學(xué)生而言，借助列表的方式判斷成正、反比例的量，能使抽象的知識(shí)更加具體直觀，從而豐富學(xué)生對(duì)正、反比例意義的認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)。

2.全面厘清教材意圖

教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，只有全面厘清教材編寫意圖，才能精準(zhǔn)實(shí)施課堂教學(xué)。蘇教版、人教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材都將“正比例和反比例”安排在六年級(jí)下冊(cè)教學(xué)。其中，人教版教材將“比例”與“正比例和反比例”的內(nèi)容整合為“比例”這一個(gè)單元。顯然，這更能凸顯知識(shí)之間的聯(lián)系。就“正比例和反比例”相關(guān)知識(shí)的編排而言，人教版與蘇教版教材的編排方式較為相似。而北師大版教材在正式學(xué)習(xí)正、反比例之前特意安排了“變化的量”這一內(nèi)容，設(shè)計(jì)三個(gè)具體情境，讓學(xué)生體會(huì)變量和變量之間相互依存的關(guān)系，并嘗試描述這些關(guān)系。值得關(guān)注的是，三版教材在編排“正比例和反比例”時(shí)都結(jié)合具體情境借助表格呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，有的表格完整呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，有的表格沒(méi)有出示全部數(shù)據(jù)，需要學(xué)生在觀察、思考的基礎(chǔ)上繼續(xù)填寫完整，這正給了學(xué)生思考、體驗(yàn)成正、反比例的兩個(gè)量之間變化關(guān)系的空間。如此編排，凸顯了正、反比例概念形成與應(yīng)用的過(guò)程與方法，有助于學(xué)生進(jìn)一步弄清正、反比例概念的內(nèi)涵和外延，而這些都建立在教師全面厘清教材編寫意圖的基礎(chǔ)之上。

3.通盤緊扣教學(xué)主線

起點(diǎn)型核心知識(shí)具有生長(zhǎng)基因，它在學(xué)生知識(shí)體系建構(gòu)過(guò)程中具有獨(dú)特價(jià)值。因此，教師應(yīng)通盤緊扣教學(xué)主線，讓學(xué)生獲得正確的知識(shí)、有效的方法、合理的策略，以保證在后續(xù)教與學(xué)的過(guò)程中能夠順利建構(gòu)新知識(shí)。［2］在現(xiàn)實(shí)中，有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為成正比例的量和成反比例的量，其本質(zhì)是兩個(gè)量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。因此，聯(lián)系和變化應(yīng)成為“正比例和反比例”教學(xué)的主線。從對(duì)照班學(xué)生的訪談中不難想到，當(dāng)前很多教學(xué)都注重知識(shí)的形式，而忽略知識(shí)的本質(zhì)，當(dāng)學(xué)生想到“正方體的體積=底面積×高”這一數(shù)量關(guān)系后，他們便將目光聚焦于“積是否一定”上，而在無(wú)形中忽略了判斷成正、反比例的量的重要前提——變量。因此，教學(xué)中結(jié)合具體的例子讓學(xué)生感知兩個(gè)量的“聯(lián)系”和“變化”，并在“變量”中找到“不變量”尤為關(guān)鍵。根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，他們的形象思維更占優(yōu)勢(shì)，教學(xué)中可以始終借助列表的方式引導(dǎo)他們建構(gòu)相關(guān)概念，后續(xù)應(yīng)用時(shí)也可以引導(dǎo)他們通過(guò)表格展開說(shuō)理。這看似有些“樸素”的方法恰能最直觀地體現(xiàn)成正比例或反比例的兩個(gè)量之間的聯(lián)系與變化，從而促進(jìn)學(xué)生把感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，獲得對(duì)正比例意義和反比例意義的正確理解。

總而言之，知識(shí)是人的素養(yǎng)形成和發(fā)展的載體，知識(shí)和知識(shí)教學(xué)要服務(wù)于人的素養(yǎng)的形成和發(fā)展。［3］因此，基于長(zhǎng)程視野，合理地選擇和確定教學(xué)內(nèi)容，凸顯對(duì)學(xué)生知識(shí)體系建構(gòu)、核心素養(yǎng)培育具有重要作用的起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)就顯得尤為迫切和必要。