高中數學凝練單元學習主題的實踐研究

殷木森 王嘉 杜楊格 黃紅亮 余沛婷

教育部基礎教育課程與教材發展中心為落實學科核心素養，極力推進“深度學習促進教學改進”項目，倡導單元整體教學，即“深度學習—單元教學”，其包含“選擇單元學習主題、確定單元學習目標、設計單元學習活動、開展持續性學習評價”四個重要環節（劉月霞，郭華，2018）。凝練單元學習主題是基于“深度學習—單元教學”的實踐研究。需要指出的是，這里的單元，是指學習單元，不是指知識單元，即不一定是教材中給定的章節。對高中數學教師而言，最熟悉的莫過于章節形式的單元設計了，為什么還要重新定義學習單元，這樣做有什么意義，究竟該從哪些方面入手，有沒有一些經驗可以借鑒，還有不少教師感到困惑。

一、凝練單元學習主題的原則

1. 挑戰性原則

單元學習主題要具有一定的挑戰性，不是所有的板塊內容都適宜成為單元學習主題，只有挑戰性的學習主題，才能讓學生積極參與、體驗付出后收獲成功的快樂。當然，是否具有挑戰性，與不同的學情有關。比如對大部分高一學生而言，“函數的概念與性質”“冪、指、對函數”“三角函數”，都具有一定的挑戰性，比較適宜從中抽取出單元學習主題。但是，對基礎較好的高二學生而言，選擇性必修中的“直線與圓”等內容則不具備挑戰性，屬于容易掌握的知識，不宜選為單元學習主題。

2. 整體性原則

“深度學習—單元教學”要求培養學生的整體觀與聯系觀，即不要孤立地、碎片化看待某一板塊內容。因此，單元學習主題首先必須體現出知識間的“承上啟下”，即學生原有的知識經驗要得到傳承與發展，現在的學習也是為未來在這一板塊的學習打下更堅實的基礎。比如選擇性必修的“圓錐曲線”，是在初中“平面幾何”與高一“直線與圓”學習的基礎上進一步學習的內容，用坐標法解決代數問題的方法可為高等數學的學習做充分的準備。

3. 發展性原則

“深度學習—單元教學”要求“以學生為中心”組織教學，最終目的是為了促進學生的發展。通過單元主題教學，學生要熟練掌握數學思想方法，數學思維能力與數學核心素養要得到提升。因此，單元學習主題應該在數學思想方法、數學思維能力、數學核心素養這三方面有明顯的特征。比如通過學習“函數的概念與性質”，進一步理解函數思想與數形結合思想，掌握研究函數的一般套路，數學抽象與數學建模素養得到不同程度的提升。

4. 進階性原則

“深度學習—單元教學”要達到的目標不可能一蹴而就，它要有一個整體的單元教學規劃，分為幾個實施階段，每個階段要有具體的目標和任務，最重要的是隨著教學的進程，學生的數學思維能力和數學核心素養是逐漸提升的，即進階。否則，就失去了單元學習的意義。例如學習“函數的概念與性質”，從概念學習中初步體驗數學抽象，在單調性的學習中進一步理解數學抽象，而在奇偶性的學習中則能熟練地使數學抽象得到遷移。

二、凝練單元學習主題的過程

要凝練單元學習主題，首先要有一個大致的研究對象，即具體研究哪一個知識單元，或者哪一個核心概念;然后對學習要達到的標準要求和學情，以及內容本身和內容的學習意義進行精準的分析;最后確定單元學習的主題。但是，不少教師對具體要分析什么，得出什么結論不夠清楚，往往把不同版本的教材編排抄一遍，把課程標準對此部分內容的表述抄一遍，然后簡單分析一下學情，卻不知道該怎么凝練主題。具體過程如圖1所示：

1. 確定學習目標要求

學習首先要清楚究竟達到怎樣的標準要求才行，否則就沒了方向。因此，對課程標準的分析是確定單元學習主題的第一步。《普通高中數學課程標準（2017年版）》重視以學科大概念為核心，以主題為引領推動課程內容情境化，促進學科核心素養的落實。故單元學習主題學習目標的設計，不僅應關注該單元數學內容體現的數學基礎知識、基本技巧，更應提升到關注內容所蘊含的基本思想，及通過設計好的單元學習過程給學生提供基本活動經驗，發展數學核心素養。

其次，確定學習目標，應結合學情分析，否則知識技巧不能落地生根，提升能力、發展核心素養就成了空話。分析學情應包含對學生已有的知識儲備、思想方法經驗和能力水平的分析，包含對學生生理、心理和認知規律的分析，還要包含對學生個體差異及不同層次的學生可能遇到的困難的分析，使教學更貼近學生的現實水平。

只有將要達到的課程標準和學情分析有機結合，才能確定適宜的單元學習目標要求。

2. 確定具體研究內容

對內容的分析首先要從學科層面準確地把握該單元教學內容的定位、在整個數學學科中的定位，分析單元教學內容與前后期知識的連續性和相關性;其次分析單元教學內容本身包含的知識概念、本質特征、思想方法，以及單元內部的結構層次特點和重難點，并構建單元知識體系結構關系圖;再次，除了分析內容，還要理解內容的學習意義，在培養學生核心素養的基礎上引領學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀。

三、單元學習主題的分類

2020年修訂的高中數學教材，為了更好地基于主題（單元）開展深度學習，在認真研究各主題本質內涵的基礎之上，根據核心素養具有發展連續性和階段性的特點，將高中數學課程分解為5個主題板塊：預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模和數學文化，從核心知識、核心思想方法和核心能力三個維度出發，構建了新教材體系。

教師是主題內容的決定者，在確定“數學主題”內容時，教師可以根據教學內容、學生的學習情況以及自己對教材的駕馭能力，選擇單元主題內容。單元學習的主題通常有三種分類：內容主題類、思想方法類、能力素養類。

1. 內容主題類

內容主題類是以重要的數學概念或核心數學知識為主線組織的的知識類主題。如函數的單調性、方程等，可以作為知識類主題對待。這些主題有些是教材中的章節主題，有些是跨章節的主題，同時從知識的邏輯性和相關性出發，可以考慮兩種呈現方式：對于知識的相關性不強的，可以用張網式呈現方式，對于邏輯聯系強，呈遞進關系的，可以前后依次展開，用線串式呈現方式。下面以單調性、度量關系和函數概念為例，構建單元學習主題。

函數的單調性研究是高中數學課程展開的一條主線，它與義務教育階段的函數概念、函數圖像、代數運算，高中階段的函數概念、函數圖像、函數性質、基本初等函數、數列、不等式、導數等內容緊密結合，是高中課程的核心內容之一，在中小學課程中起著承前啟后的作用 ，因此對函數單調性的相關內容進行重組和整合可以構成一個跨章節的知識類主題，如圖2所示（呂世虎、吳振英、楊婷、王尚志，2016）。

度量關系是一類基本的空間關系。高中數學中的度量關系包括長度、角度、面積和體積，從平面度量到立體度量，貫穿于多個章節中。我們可以以度量關系為內容主線，從長度、角度、面積和體積四個方面出發，構成一個跨章節的知識類主題。比如函數相關的度量問題，平面中的長度、夾角問題，三角形中的距離、角度、高度、面積問題，直線和圓中的點、線間的距離，立體幾何中的點、線、面間距離、角度、體積問題，復平面內的長度問題等（如圖3）。

函數主線中的函數概念，基本初等函數是連續函數的典型范例，數列可以看作離散函數，并且從對應關系出發，概率與統計中的概率以及隨機變量可以看作更廣義的函數，即從一般集合到實數集的映射。因此從函數的概念及延伸的角度，可以把這部分內容重構成一個跨章節的內容主題（如圖4）。

2. 思想方法類

思想方法類主題是以數學思想方法為主線的主題。數學中的思想方法很多，例如數形結合、統計思想、坐標法、公理化、分類討論、類比、轉化（化歸）、微積分思想等。下面以坐標法、數形結合和統計思想方法為例構建單元學習主題。

坐標法的基本思想主要有兩點：第一，建立平面坐標系，把平面中的點與一組有序實數對相對應;第二，平面上的一條曲線可以由包含兩個變量的一個代數方程來表示，這樣幾何問題就可以轉化為代數問題來研究。

基于以上分析，我們凝練出單元學習主題：坐標法，由橢圓體會數形結合思想，發展學生的數學抽象和數學運算核心素養。同時我們分三個階段研究橢圓：橢圓及其標準方程，橢圓的簡單幾何性質，橢圓的應用。如此充分體現坐標法的思想，培養學生利用坐標法解決平面解析幾何問題，同時學生離開老師的引導后，能夠獨立或以團隊的形式研究雙曲線和拋物線，把知識進行遷移，解決新的問題。

高中數學中有很多體現數形結合思想的內容：函數與方程、導數應用、圓與方程、直線與方程、圓錐曲線等，我們可以把這些內容整合在一起，構成“數形結合思想方法”張網式結構主題。

統計思想包括均值、變異、估計、相關、擬合、檢驗等思想，而統計方法依據數據分析的過程，可以分為數據收集、描述以及推斷三個階段。義務教育階段的統計以數據收集和描述為主，而高中數學兼有二者，并以推斷為重點。因此以統計思想方法為主題，可以讓學生主動經歷數據收集、描述和推斷的全過程，并滲透相應的統計思想（如圖5）。

3. 能力素養類

以數學核心素養、基本能力為主線的主題是素養類主題。課程標準提出六個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。我們可以以一個核心素養或多個核心素養為主體，來確定單元學習主題。下面以數學建模素養為例，構建素養類單元學習主題。

課程標準加強了數學建模的要求，并明確了數學建模活動的學時要求，體現了數學建模在數學學習中的重要地位。數學建模的一般過程是把實際問題抽象成數學問題，求解數學問題后，把得到的解轉換成實際問題的解。因此數學建模素養與其他五個核心素養緊密聯系，并且根據涉及數學問題的不同，關聯不同的核心素養。高中階段數學建模滲透在不同的主線中，比如函數主線中的指數、對數增長模型，三角函數中的摩天輪問題，幾何與代數主線中的力的合成與分解、做功問題，圓錐曲線的光學性質等。高中涉及的數學模型可以按照幾大主線分為函數類模型、概率與統計類模型、幾何與代數類模型。各主線的數學建模單元教學可以安排在相應主線的主題教學之后，比如函數模型，可以在函數主線有關的單元教學后組織數學建模單元教學。

在核心素養背景下，對數學建模單元主題的凝練，要從兩方面入手。一是要重視其技術性，體驗數學建模的一般過程。即首先創設情境，提出問題，接著讓學生通過邏輯推理與猜想，設計解決問題的方案，用數學語言準確描述建立數學模型，然后運用模型科學求解，并檢驗結果，最后反饋現實情境，獲得最終結果（如圖6）。二是要重視其思想性。教師要引領學生領悟數學建模思想，體驗數學建模過程，建構數學建模能力。