二次根式那些事兒

二次根式是我們在學習了“整式”“分式”之后的又一類重要代數式。人們在探尋和研究它的過程中遇到了哪些事呢？下面，我們一起了解一下吧。

一、根號的“追根溯源”

早在1480年，德國人便開始用一個點來表示方根，如?3表示3的平方根，??3表示3的4次方根。到了16世紀初，平方根用小點帶上一條小尾巴來表示，就像一個小蝌蚪，因而很難統一標準。1525年，德國數學家魯道夫的代數書中用√8表示8的平方根。顯然用“小鉤子”要比“小蝌蚪”好多了，不過后來又出現了新問題。相傳，兩個工作人員因為式中的“[√g]2+100”產生了矛盾，差一點要上法庭打官司。究其原因，是因為小鉤子“[√]”的意義不明確，不知道它能管后面幾個字母及數字。

后來，笛卡爾在他的《幾何學》中創設了現代的平方根號“[]”，在原書第一版中寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作[a2+b2]?！钡芽柕母柵c魯道夫的根號的最大區別在于：笛卡爾考慮到被開方數有幾項，而魯道夫的根號會引起混淆。

二、分母有理化

黑白雙雄，縱橫江湖;雙劍合璧，天下無敵。這是武俠小說中的情景。在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”。

例1 （[2+3]）（[2-3]）=1，2+[3]和[2-3]的積不含有根號，我們就說這兩個式子互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式。于是，二次根式[2+32-3]就可以這樣化簡：

[2+32-3=（2+3）（2+3）（2-3）（2+3）=（2+3）2]=[4+43+3]=[7+43]。

像這樣，分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫作分母有理化。那么[4+7]的有理化因式是多少呢？你會對[4-74+7]進行化簡嗎？試試看！

三、逐步逼近法

科學領域里用逐步逼近法處理問題是極為廣泛的。在物理、化學、生物諸多實驗中，尋找某一反應現象的最佳狀態時，往往用到逐步逼近法。在數學計算中，“逐步逼近法”是常用的計算方法，比如估算二次根式的近似值就用到了逐步逼近法。

例2 計算[13]，用計算器可以立即知道[13]的近似值，但是若生活在荒島上，又未帶計算器和其他資料，人們就可以用逐步逼近法計算[13]的近似值，更重要的是，這種方法還可以運用到其他問題中。

第一次逼近：由于3<[13]<4，所以可設[13]=3+x（x是一個正的純小數）。兩邊平方，得13=9+6x+x2。由于x是一個小量，所以x2是一個比x更小的高次小量，可以忽略掉，故13≈9+6x，即x≈[23]。所以[13]≈[323]。

第二次逼近：設[13]=[323]+y，兩邊平方，得13=[1219+223y+y2]≈[1219+223y]，所以y≈[-233]。于是[13]≈[323-233=11933≈3.606]。

繼續逼近下去，可以得到更精確的近似值，你可以試試喲！

四、巧合數

數學中存在著許多著名的巧合，這些巧合往往是人們從許多不同的角度觀察到的。巧合是一種現象，它常會給人們帶來驚奇與不解。二次根式中就存在這種巧合。

[223=223]是一對巧合數，類似地，我們還可以找出其他巧合數：[4415=4415]，[5524]=[5524]，[8863]=[8863]。我們知道，根號里面的數不能輕易地直接放到根號外面來，那么，為什么這些數可以呢？是巧合嗎？

觀察可得規律[a+aa2-1]=[aaa2-1]（a>0且a≠1），那么這個式子是恒等式嗎？我們不妨來推理一下。

[a+aa2-1]=[a（a2-1）a2-1+aa2-1]

=[a3a2-1]=[aaa2-1]。

太妙啦！如果你不滿足于此，有更大膽的猜想，不妨以三次方根為例試試看。不要忘記，猜想成為真理，是要經過嚴格證明的喲！

五、見招拆招

我們在解決數學問題的過程中，往往會遇到沒有學過的知識。出題人會制造干擾因素迷惑我們，此時要跳出思維圈，抓住問題本質，理性分析，嚴密推理，做到“見招拆招”。比如，二次根式中的復合二次根式是我們沒學過的知識，如何見招拆招呢？我們追尋其本質，開方是平方的逆運算，反過來，我們只需將復合二次根式的被開方式變形成完全平方形式，即可進行開方運算了。

例3 計算：[4+23]。

[分析]因為[4=（3）2+1]，所以4+[23=3+23+1=（3）2+23+]1=[（3+1）2]。

解：[4+23]=[（3+1）2]=[3+1]=[3+1]。

實際上，本題就是利用配方法化簡形如[a+2b]（ a，b是正有理數，b不是完全平方數）這樣的二次根式，將它的被開方式配成完全平方的形式即可。你能利用上述方法化簡[7-210]嗎？試試看！

六、跨界融合

我們耳熟能詳的詞語“跨界融合”是隨著互聯網高速發展涌現出的熱詞中的一個。毫不夸張地說，我們已經進入到跨界融合的時代，行業間交叉、整合、互相滲透已經常態化。數學也不例外，數學中常常用“跨界融合”（數形結合）的方法解決問題。二次根式中就有通過“跨界融合”（數形結合）的辦法解決的問題。

例4 求代數式[52+（8-x）2]+[12+x2]的最小值。

解：如圖1，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x，則 [AC+CE=52+（8-x）2+12+x2]。

<E：＼初中生＼初中生 八年級7-8＼蔣月蘭-1.tif><E：＼初中生＼初中生 八年級7-8＼蔣月蘭-2.tif>

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

當A、C、E三點共線時（如圖2），AC+CE的距離最短，即為AE的長。過點A作DE的垂線，垂足為F，則AF=BD=8，EF=DF+DE=AB+DE=5+1=6，可得AE=10。

此時二次根式遇上了圖形，竟是如此簡單、妙趣橫生！我們不禁想起大數學家華羅庚的一段話：數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休！

請你嘗試仿照上面的“跨界融合”（數形結合）的方法，求代數式[x2+4+y2+9]的最小值，其中x+y=12，x>0，y>0。

關于二次根式的精彩趣事還有很多很多，在此就不一一列舉了。其實，不僅僅是二次根式，數學知識體系中的每個知識點都有其“成長”的過程，都有許多的“趣事”“巧合”“跨界”等待我們去欣賞、發現。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區第一實驗學校）