基于事件觸發的Buck型DC-DC變換器有限時間控制

吳 悔，黃世沛，曾國強，張正江

(溫州大學 電氣數字化設計技術國家地方聯合工程實驗室，浙江 溫州 325035)

0 引言

DC-DC降壓變換器廣泛應用于現代工業，如海島微電網，電動汽車和太陽能電池能源管理等。隨著分布式發電和智能微電網發電技術的發展，對于DC-DC降壓變換器的可靠性的要求越來越高。傳統的變換器的控制方法集中于線性控制方案，如傳統的PID控制是基于目標誤差而不是模型的控制，雖然可以實現對系統輸出電壓的控制，但是動態響應較慢、控制效果較差。

近年來，很多現代控制方法被提出來，如狀態空間法、Lyapunov直接法等，用于改善DC-DC變換器的控制性能。文獻[8]基于狀態空間法，設計了基于極點配置的反饋控制器，使得系統的穩態特性和動態特性得到了進一步的改善。文獻[9]提出了一種基于Lyapunov直接法的非線性控制方法保證了系統大范圍漸近穩定。文獻[10]針對具有輸入擾動的DC-DC升壓變換器，結合狀態空間理論提出了一種狀態觀測器的設計方法，有效地降低了系統輸出電壓的超調量。文獻[11]利用了切換線性系統的理論，對DC-DC變換器進行建模與控制，最終也是能夠保證系統的漸近穩定性。近年來，由于有限時間控制的系統不僅具有收斂速度快的優點，還具有較好的抗干擾性能，被廣泛研究，用于各類系統的設計。文獻[13]研究了一類線性系統的有限時間有界跟蹤控制問題，所提出的控制方法使得閉環系統的誤差信號可以處于給定的界內。文獻[14]設計了一種有限時間控制器，解決了具有參數不確定的剛體航天器的姿態跟蹤控制的問題。文獻[15]基于有限時間穩定性理論，針對發生混沌現象的四階電力系統，設計了一種有限時間控制器，能較好地抵抗外界干擾。文獻[16]針對輸入電壓未知的Buck型DC-DC變換器提出了一種快速的電壓收斂控制算法，保證了輸出電壓在有限時間內收斂于參考電壓。文獻[17]結合齊次滑?？刂评碚撛O計了有限時間的無電流傳感控制器，解決了Buck變換器輸出電壓的有限時間控制問題。文獻[18]提出了一類依賴駐留時間的切換規則，實現了DC-DC切換仿射系統的有限時間穩定。

需要指出的是，上述所討論到的研究結果均是基于連續時間控制的，即控制器時刻都在更新。當系統狀態趨于穩定時，數據的傳輸、控制器的實時更新可能就會造成通信資源的浪費。隨著數字控制技術的發展，周期采樣控制被提出用于閉環控制系統的分析和設計。然而，為了較好地獲得期望的性能，一般周期采樣控制的更新周期很小，此方法仍舊會導致頻繁的數據傳輸。基于上述討論，如何高效的利用通信資源變得十分重要。有研究指出事件觸發控制既能保持系統的穩定性，還能夠彌補傳統連續時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足。文獻[20]提出了3種新的事件觸發設計策略，分別是基于固定閾值策略，相對閾值策略和切換閾值策略，保證了系統跟蹤誤差指數收斂到一個可調的緊集。文獻[21]提出了一種基于切換閾值策略的事件觸發控制器，保證閉環系統的所有信號有界。

綜上所述，目前關于DC-DC變換器的漸近穩定控制或有限時間控制的結果都是基于連續時間控制的，還未見有DC-DC變換器事件觸發控制的結果。因此，本文主要研究基于事件觸發機制的Buck型DC-DC變換器有限時間控制。首先，將Buck變換器建模成一類反饋型非線性系統。然后，構造一種狀態變換，基于此變換設計一種事件觸發機制。接著，采用反步法設計一種狀態反饋控制器，該控制器僅在事件觸發條件滿足時才更新。通過構造一類Lyapunov函數，證明閉環系統的有限時間穩定性，即變換器的輸出電壓能在有限時間內收斂到給定電壓，同時通過對事件觸發誤差求偏導數證明所提出的有限時間事件觸發控制方案不會產生Zeno現象。最后，通過仿真結果與分析，表明所提出的有限時間事件觸發控制方案的有效性。

1 問題描述

針對Buck型DC-DC變換器，其工作原理如圖1所示，根據開關管的導通和關斷兩種狀態，在開關頻率足夠快的情況下，建立如下的Buck型變換器的狀態空間模型：

(1)

其中：

v

是輸入電壓；

v

是輸出電壓；

S

是MOS型開關；

D

是二極管；

R

為負載電阻，

L

、

C

分別是電感和電容；

i

為電感電流；

μ

(

t

)∈[0,1]是控制輸入，該信號最終用于驅動PWM波。

圖1 Buck變換器電路圖

定義輸出電壓誤差：

x

=

v

-

v

，其中

v

為參考輸出電壓，則Buck電路的誤差動態方程如下：

(2)

式中，

(3)

(4)

本文的控制目標是實現Buck型DC-DC變換器(1)的有限時間輸出跟蹤控制，即設計基于事件觸發的有限時間控制器，保證輸出電壓有限時間跟蹤到給定參考電壓的同時減少不必要的通信資源浪費。

為了后續的設計和分析，給出如下定義和引理。

定義1：考慮如下系統

引理1：考慮如下系統

2 控制器設計和穩定性分析

本節將給出主要結果。首先提出有限時間控制器與事件觸發機制設計結果，然后對閉環系統進行有限時間穩定性分析，最后討論所設計的事件觸發機制不會發生Zeno現象。

2.1 事件觸發控制器的設計

在本小節，將給出有限時間控制器與事件觸發機制設計方法。其中，反步法是一種遞推的設計方法，通過若干步驟設計系統的控制器(不會超過系統的階數)。本小節利用反步法設計整個系統的反饋控制律，首先構造如下坐標變換：

(5)

步驟1:構造如下Lyapunov函數

(6)

(7)

步驟2： 構造如下函數

V

(

z

,

z

)=

V

(

z

)+

W

(

z

)

(8)

(9)

運用young不等式，對式(9)進行放縮可得：

(10)

(11)

為了后續分析設計簡便，在本節中定義{

t

,

j

=1,2,…},

t

<

t

+1為觸發序列，其中

t

=0是初始的觸發時刻。首先定義如下的事件觸發誤差：

(12)

且有事件觸發機制設計如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

2.2 閉環系統穩定性分析

基于上述分析，將總結以下定理證明所設計的控制方案能夠保證Buck型變換器系統(1)的有限時間穩定性。

定理1：針對系統(1)，在控制器(16)下，閉環系統的狀態將在有限的時間內收斂到原點，即Buck變換器的輸出電壓能夠有限時間收斂到給定值。

證明：當

t

∈[

t

,

t

+1)時，根據式(4)、(5)以及事件觸發控制器(16)，可知式(11)中有下式成立：

(17)

又根據觸發機制中的式(13)和式(14)，可知在

t

∈[

t

,

t

+1)時，有下式成立：

(18)

(19)

(20)

(21)

式中，

a

=2(1-1(2-1))

r

1((2-1)*)，

a

=21-1+(1-1(2-1))

r

1((2-1)*)。

將式(18)～(21)代入到(17)，可以得到如下結論：

(22)

其中:

ε

=

β

22-1((2-1)*)

r

1((2-1)*)+

(23)

因此，將式(23)代入到式(11)，可以得到：

(24)

其中:

b

>0是一個常數。通過選取足夠小的

r

可以使得:

因此式(24)可以轉換成：

(25)

根據young不等式有：

2(|

z

|+|

z

|)

(26)

結合式(25)和(26)，可以得到如下結論：

(27)

根據式(27)、引理1以及定義1可知，閉環系統(1)是有限時間穩定的，即Buck變換器的輸出電壓可以有限時間收斂到給定的電壓值。

注2：根據式(10)可知，參數

τ

和虛擬控制器增益

β

的選取決定了控制器增益

β

的大小，進一步影響了

r

的取值。又由式(27)和引理1可知，系統(1)的收斂時間也取決于

τ

的大小。當

τ

的值取得相對較小時，系統狀態的響應速度也較快。結合事件觸發機制(12)～(15)以及(24)可知，

τ

的取值較大會增加事件觸發的次數，進而會降低系統輸出電壓的收斂速度以及造成系統通信資源的浪費。

2.3 Zeno現象的排除

由于事件觸發的引入，需要考慮在執行所設計的事件觸發控制方案時，系統中是否會發生Zeno現象，即考慮在一個事件觸發區間內，系統是否會存在無窮次采樣的現象。因此，結合上述定義的事件觸發誤差和所設計的事件觸發方案，總結以下定理表明系統的事件觸發區間間隔存在一個正的下界，即在本文所提出的控制方案下，系統不會產生Zeno現象。

定理2：考慮系統(1)，在事件觸發機制(12)～(15)和控制器(16)下，閉環系統不會發生Zeno現象，即系統的事件觸發區間間隔存在正的下界

d

，即

t

+1-

t

≥

d

，

j

=1,2,…。證明：當

t

∈[

t

,

t

+1)時，事件觸發誤差

e

(

t

)關于時間的導數為：

(28)

(29)

根據

z

(

t

)的定義，有以下不等式成立：

(30)

其中：

γ

>0是一個常數。所以，式(29)可以進一步改寫為：

(31)

因此，可以推斷出:

(32)

綜上所述，觸發區間間隔存在一個正的下界，即：

(33)

因此，排除了系統中Zeno現象存在的可能性，以上完成了定理2的證明。

注3：值得注意的是，本文構造了不同于文獻[15-16]中所設計的事件觸發誤差:

3 仿真實例分析

為了驗證本文所設計的事件觸發有限時間控制方案的有效性，本節將給出Buck變換器的仿真結果。首先給出系統控制器設計步驟如下：

1)選擇合理的參數

τ

。2)選取虛擬控制器增益

β

，結合參數

τ

確定控制器增益

β

的大小。

3)基于所設計的事件觸發方案，構造事件觸發控制器(16)并計算占空比：

值得注意的是，所設計的參數

τ

,

β

和

β

的選取可能會影響事件觸發的頻率，以及系統狀態的收斂速度，不宜過大或過小，應當結合輸出電壓的調節速率和事件觸發發生的頻率來權衡選擇。

仿真結果如圖2～5所示。圖2給出了三組參數下Buck變換器的輸出電壓曲線，從圖中可以明顯看出，本文的控制方案能夠使得輸出電壓在有限時間內收斂到參考電壓。控制增益

β

越大，Buck變換器輸出電壓收斂的越快，

β

=10時輸出電壓收斂時間是在0.39 s，

β

=5時輸出電壓收斂時間為1.57 s，

β

=1

.

5時輸出電壓收斂時間超過5 s。由此可見，同樣的控制方案但是選擇不同的參數，雖然均能實現控制目標，但是系統的響應速度受到影響。參數

β

越大，輸出電壓的收斂速度越快。因此，參數

β

的選取需要參考輸出電壓的收斂速度以及系統調節精度的要求。圖3描述的是三組參數下Buck變換器中電感電流的變化情況，從圖中可以看出，電感電流在有限時間內也達到了穩態，參數

β

越大，電感電流的收斂速度也越快。

圖2 系統的輸出電壓vo

圖3 電感電流iL

圖4給出了參數

β

=10下系統的觸發時刻和事件觸發間隔的仿真結果，可見在0.39 s內僅發生了41次事件觸發，避免了控制輸入信號連續傳輸，由于在0.39 s之后系統已達到有限時間穩定，故0.39 s之后不再發生事件觸發。同時每次事件觸發間隔均大于0，表明所提出的事件觸發方案有效地節省了系統的通信資源，也避免了Zeno現象的發生。圖5給出了三組參數下所設計的基于事件觸發方案下的占空比?？梢钥闯稣伎毡染谟邢迺r間內達到一個恒定值。仿真結果表明，本文所提出的事件觸發控制方案不僅能夠很好的保證系統的有限時間穩定性，實現系統輸出電壓的有限時間跟蹤，還能有效地利用系統的通信資源，從而避免不必要的浪費。

圖4 事件觸發機制(β1=10)

圖5 占空比μ(t)

4 結束語

本文針對Buck型DC-DC變換器，提出了一種基于事件觸發的有限時間控制器設計方法。采用反步法設計了一種事件觸發機制和有限時間狀態反饋控制器。通過理論分析證明了所提出的控制方案在減少不必要的通信資源浪費的同時，也保證了Buck變換器的輸出電壓在有限時間內收斂到給定的參考電壓，也證明了閉環系統不會存在Zeno現象。最后，仿真結果說明了本文所提出的控制方案的有效性。在未來工作中，我們將考慮把本文提出的事件觸發有限時間控制方案推廣到具有不確定參數或者負載未知的Buck變換器。