一道高等數(shù)學(xué)求極限習(xí)題的不同解法背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識與原理

摘要：本文研究了普通高等學(xué)校少數(shù)民族預(yù)科教程（修訂版）《高等數(shù)學(xué)配套練習(xí)冊》中的一個(gè)求極限練習(xí)題的不同解法，引出一類分式（分子和分母至少有一個(gè)為幾個(gè)式子的代數(shù)和）是否能直接利用等價(jià)無窮小代換求極限的兩種情形的問題.情形一，分子或分母只有其中一個(gè)可化簡成乘積的形式，而另一個(gè)不能;情形二，分子和分母都不能化簡成乘積的形式.結(jié)合例題，本文進(jìn)一步分析，分別討論了在這兩種情形下，如何利用等價(jià)無窮小代換求極限的方法，回答了教學(xué)過程中學(xué)生的一系列相關(guān)疑問.

關(guān)鍵詞：極限;無窮小;等價(jià)代換;四則運(yùn)算

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0062-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：李霞（1985.10-），女，云南省楚雄人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 由一題多解引發(fā)的疑問

普通高等學(xué)校少數(shù)民族預(yù)科教程（修訂版）《高等數(shù)學(xué)配套練習(xí)冊》（人民出版社）第一章函數(shù)與極限中，第8頁的一個(gè)練習(xí)題.此題屬于“0/0”型，在學(xué)生還未學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則求極限時(shí)，有以下幾種解法：

利用等價(jià)無窮小代換求極限可以使得計(jì)算簡化，從以上幾種方法比較來看，方法三與四應(yīng)該是所有解法中較簡單的，但是卻很少有甚至沒有同學(xué)用這兩種方法做.

在講課本第一章第3節(jié)無窮大與無窮小，利用無窮小量進(jìn)行等價(jià)代換求極限時(shí)，我們通常對學(xué)生強(qiáng)調(diào)，可以對分式的整個(gè)分子或分母進(jìn)行等價(jià)代換，也可以代換分子或分母中的因式，但分子或分母為多個(gè)式子的代數(shù)和的時(shí)候，一般不能代替其中的一項(xiàng)，否則就易出錯(cuò).為什么不能代換，很多書上避而不談，可為什么如上問題結(jié)論又是對的，那樣做到底對不對，這或許就是很多同學(xué)迷惑的原因.

2 解決疑問有妙招：極限四則運(yùn)算法則來幫忙

例1利用等價(jià)無窮小求極限的問題，可以歸結(jié)為分式中分子或分母只有其中一個(gè)可直接等價(jià)代換或只有其中一個(gè)可化簡成乘積的形式進(jìn)行代換的情形，怎么求極限呢，我們可以結(jié)合極限的四則運(yùn)算法則來解決.

總之，使用等價(jià)無窮小代換，是求函數(shù)極限常用的一種方法之一，在一定條件下，恰當(dāng)?shù)乩玫葍r(jià)無窮小代換求極限，可以很大程度上簡化極限的計(jì)算.當(dāng)然，等學(xué)生學(xué)習(xí)了第二章導(dǎo)數(shù)及第三章微分中值定理以后，對于這種“0/0”型的極限計(jì)算，也可以考慮用洛必達(dá)法則求極限.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 羅守山.普通高等學(xué)校少數(shù)民族預(yù)科教程（修訂版）高等數(shù)學(xué)配套練習(xí)冊[M].北京：人民出版社，2006.

[3] 祝微，楊春艷.等價(jià)無窮小代換定理的拓展[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，29（1）：12-14.[責(zé)任編輯：李璟]B847C921-F4F9-4BE3-B4E4-9109C39FC643