借力預(yù)習(xí)單與微課，突破難點(diǎn)

陳維烈

摘 要：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角“鴿巢問(wèn)題”，以前定義為奧數(shù)內(nèi)容，是不進(jìn)入課本的，如今進(jìn)入課本，教師就不能回避了，得引導(dǎo)孩子去學(xué)。“鴿巢問(wèn)題”的理論本身并不復(fù)雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數(shù)學(xué)證明”是難點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生理解“鴿巢原理”這種“存在性問(wèn)題表達(dá)方式”也是一個(gè)難點(diǎn)，也就是說(shuō)學(xué)生難以理解“總有一個(gè)鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學(xué)生總覺(jué)得“鴿巢里的鴿子數(shù)”還可以更少。下文將闡述如何借力預(yù)習(xí)單與微課，突破這課的教學(xué)難點(diǎn)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決策略的目的。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)單 ; 微課 ; 突破難點(diǎn);“鴿巢原理”

在開(kāi)啟你的學(xué)習(xí)之旅前，請(qǐng)了解一段有趣的數(shù)學(xué)文化。我校高年級(jí)數(shù)學(xué)組正在開(kāi)展《基于學(xué)生真問(wèn)題的分享式教學(xué)模式》的校本課題研究。所以我們特別注重課前預(yù)習(xí)單的設(shè)計(jì)，預(yù)習(xí)單既要簡(jiǎn)潔明了，還要能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣，所以教師制作了一段關(guān)于“鴿巢”問(wèn)題怎樣發(fā)現(xiàn)的微課，并發(fā)到班級(jí)微信群里，引領(lǐng)學(xué)生完成預(yù)習(xí)單。課前完成預(yù)習(xí)單與課堂上的及時(shí)思考相比，思考時(shí)間長(zhǎng)，思考比較深入。在思考中，“思而不得”就會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題，這些問(wèn)題才是“真問(wèn)題”。

一、情境導(dǎo)入，理解“至少”

數(shù)學(xué)課堂上最應(yīng)該做的事情是激發(fā)興趣。教師借助撲克牌，設(shè)計(jì)操作活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的興趣，在具體的表象和比較中，從而理解“5張牌至少有2張花色相同。”這句話(huà)中“至少”的含義。理解“至少”的含義后設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)“鴿巢”問(wèn)題的欲望，為下邊探究“所以然”做鋪墊。

二、組內(nèi)交流

首先PPT呈現(xiàn)：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒至少有2支鉛筆。為什么呢？例如：學(xué)生通過(guò)獨(dú)立學(xué)習(xí)，有了疑惑是好事，就看教師怎么處理更有效。在創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入后，這時(shí)組織討論，能達(dá)到四個(gè)目的：一是方法相同的同學(xué)派一人講解自己的思路，其他同學(xué)補(bǔ)充，可以讓自己的思路更清晰，更全面;二是從同伴那里獲得不同的方法;三是提出自己的困惑，向同伴請(qǐng)教，簡(jiǎn)單問(wèn)題可以在組內(nèi)得到解決;四是梳理組內(nèi)還沒(méi)解決的問(wèn)題，是本節(jié)課的核心“真問(wèn)題”，需要借力老師才能解決。

三、問(wèn)題解決

（一）理解原理

“鴿巢”問(wèn)題的理論本身并不復(fù)雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數(shù)學(xué)證明”是難點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生理解“鴿巢原理”這種“存在性問(wèn)題表達(dá)方式”也是一個(gè)難點(diǎn)，也就是說(shuō)學(xué)生難以理解“總有一個(gè)鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學(xué)生總覺(jué)得“鴿巢里的鴿子數(shù)”還可以更少。此處教師呈現(xiàn)學(xué)生的作品，組織學(xué)生碰撞交流，在比較中直觀(guān)地理解了“鴿巢原理”是研究鴿子數(shù)最多的那個(gè)鴿巢的鴿子數(shù)的最少數(shù)。

（二）思維提升

部分學(xué)生對(duì)列式計(jì)算這種方法難以理解，教師沒(méi)有采用講解的方式，而是讓其他學(xué)生來(lái)解惑，提問(wèn)和解惑的主體都是學(xué)生。教師只是在關(guān)鍵處提問(wèn)，幫助學(xué)生總結(jié)方法。

四、問(wèn)題延伸

教師通過(guò)一組對(duì)比練習(xí)的呈現(xiàn)，使學(xué)生初步感知“鴿巢”問(wèn)題只是一個(gè) “模型”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)——數(shù)量之間的關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成“鴿巢”問(wèn)題的“數(shù)學(xué)形式”及其解題策略體系，開(kāi)始初步建構(gòu)關(guān)于“鴿巢”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

五、前后呼應(yīng)

人教版義務(wù)教材六年級(jí)下冊(cè)安排的“數(shù)學(xué)廣角”滲透的是有關(guān)鴿巢原理的一些基本思想方法。教材將此內(nèi)編排為三個(gè)例題對(duì)鴿巢原理進(jìn)行闡述，讓學(xué)生逐步加深對(duì)“鴿巢原理”的理解。學(xué)生總覺(jué)得“鴿巢里的鴿子數(shù)”還可以更少。怎么突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)呢？

（一）課前了解學(xué)情，為“真學(xué)習(xí)”做準(zhǔn)備

為了達(dá)到“真學(xué)習(xí)”的目的，筆者精心設(shè)計(jì)了預(yù)習(xí)單和制作了微課。通過(guò)檢查預(yù)習(xí)單，發(fā)現(xiàn)只有兩個(gè)學(xué)過(guò)奧數(shù)的學(xué)生運(yùn)用假設(shè)法列式計(jì)算證明結(jié)論的正確性。絕大部分學(xué)生運(yùn)用數(shù)的分解法、圖示法解釋這個(gè)結(jié)論。在“我的疑惑”一欄，學(xué)生主要提了這幾個(gè)問(wèn)題：

A、為什么不說(shuō)“總有一個(gè)筆筒至少有1支筆”？

B、哪些問(wèn)題屬于“鴿巢”問(wèn)題？

C、如果鉛筆數(shù)很多，是不是也是“總有一個(gè)筆筒至少有2支筆”？

這些問(wèn)題正囊括了這堂課的重難點(diǎn)。可見(jiàn)大多數(shù)學(xué)生只“知其然，不知其所以然”。這些問(wèn)題來(lái)自學(xué)生本身，此時(shí)要做的事就是引導(dǎo)學(xué)生步步釋疑。

（二）情境導(dǎo)入，引導(dǎo)理解“至少”

《2011版課標(biāo)》指出：盡管每堂數(shù)學(xué)課有既定的目標(biāo)，也有各自的重心所在，但整體來(lái)看，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們最應(yīng)該下功夫的“點(diǎn)”和最需要做的事情之一就是“激發(fā)學(xué)生的興趣”。于是開(kāi)課環(huán)節(jié)，例如：以“玩魔術(shù)”導(dǎo)入，讓孩子在去掉大小王后，從52張撲克牌中任意抽取5張。故意說(shuō)：我猜“至少有2張牌花色相同”，并板書(shū)“至少2張牌花色相同”，同時(shí)問(wèn)學(xué)生相信嗎？學(xué)生一下子興趣來(lái)了，紛紛要上臺(tái)驗(yàn)證教師寫(xiě)的結(jié)論。學(xué)生上臺(tái)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)的確“至少有2張花色相同”。這樣的設(shè)計(jì)，一是使教師和學(xué)生進(jìn)行自然的溝通交流;二是調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究欲望;三是為今天的探究埋下伏筆，初步理解“至少”的含義。

（三）多次對(duì)比，領(lǐng)悟本質(zhì)

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切。”小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學(xué)中充分運(yùn)用對(duì)比的方法，有助于突破教學(xué)難點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)新知本質(zhì)的領(lǐng)悟。第一次對(duì)比是學(xué)生有序地用圖示法驗(yàn)證結(jié)論，一個(gè)按從多到少的順序放，一個(gè)按從少到多的順序放，在比較中，培養(yǎng)學(xué)生有序思維，同時(shí)也直觀(guān)地表達(dá)了“總有一個(gè)筆筒至少有2支筆”的本質(zhì)。第二次對(duì)比是列式計(jì)算法和圖示法的比較，學(xué)生在比較中認(rèn)識(shí)到列式計(jì)算法的優(yōu)越性。第三次對(duì)比把5支筆放進(jìn)3個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒至少放進(jìn)幾支筆？一種用“商+1”，一種用“商+余數(shù)”，在對(duì)比教學(xué)中，學(xué)生領(lǐng)悟到求至少數(shù)與余數(shù)的大小無(wú)關(guān)，不管余數(shù)是幾，都是用“商+1”。第四次對(duì)比是呈現(xiàn)三個(gè)具體情境：“（1）11本書(shū)放進(jìn)4個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)了幾本書(shū)？（2）張伯伯喜歡養(yǎng)鴿子，他做了5個(gè)鴿籠，每個(gè)鴿籠住2只鴿子。他一共養(yǎng)了幾只鴿子？（3）高速路口同時(shí)有250輛車(chē)通過(guò)5個(gè)收費(fèi)口，總有一個(gè)收費(fèi)口至少通過(guò)幾輛車(chē)子？”讓學(xué)生判斷誰(shuí)是“鴿巢”問(wèn)題，并深化了“鴿巢”問(wèn)題的本質(zhì)——都是多個(gè)物體進(jìn)入少個(gè)空間的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版） .北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012.02.