直角三角形應用題的基本類型及解法

張衛新

【摘要】解直角三角形實際問題是各地中考必考大題，閱讀題目根據題意畫出幾何圖形，把實際問題化歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，一般來說，由觀測點向要求目標線段所在直線做垂線段是基本方法.本文從模型構建的角度講解此類中考大題.

【關鍵詞】直角三角形;應用題;數學解題

1 兩條觀測線（視線）夾角為銳角，被觀測點在同一條水平（或豎直）直線上的類型

這種模型中有兩條觀測線，夾角是一個銳角，被觀測點在水平直線上，三條直線圍成了一個斜三角形，也是一個鈍角三角形.題目中看不到直角三角形，所以構造直角三角形成了做題的設想和基本思路，我們先來看看張家界2021年中考題的新穎題面及美妙解法.

中考真題呈現 張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點.某校初三年級在一次研學活動中，數學研學小組設計以下方案測量橋的高度.如圖1，在橋面正下方的谷底選一觀測點A，觀測到橋面B，C的仰角分別為30°，60°，測得BC長為320米，求觀測點A到橋面BC的距離.（結果保留整數，參考數據：3≈1.73）.

解答過程展示 過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖1右圖所示，根據題意得∠B=30°，∠ACD=60°，BC=320m，

因為∠CAB=∠CAM-∠BAM

=60°-30°=30°，

所以∠B=∠BAC，

所以CA=CB=320m，

在Rt△ACD中，∠DCA=60°，

所以sin∠ACD=ADAC，即sin∠60°=AD320，

所以AD=320×32

=1603

≈277（m）.

答 觀測點A到橋面BC的距離是277米.

從題中看不到直角三角形，基礎不好的考生就會陷入僵局，沒了思路，我們不難發現：

過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，就得到了如圖1右圖所示的雙直角三角形模型，是兩個重疊一起的直角三角形，這使得俯角就分別成了兩個三角形的內角.

根據俯角的定義和平行線的性質得到∠B=30°，∠ACD=60°，BC=320m，接著證明CA=CB=320m，然后利用正弦的定義求出AD的長即可.

這種化斜為直的轉化思路真是美妙絕倫.這是個兩個俯角的題目，我們一起來賞析下面的方向角和仰角的相關題目.

方向角相關題目 如圖2，一艘船由西向東航行，在A處測得北偏東60°方向上有一座燈塔C，再向東繼續航行60km到達B處，這時測得燈塔C在北偏東30°方向上，已知在燈塔C的周圍47km內有暗礁，問這艘船繼續向東航行是否安全？（2020年銅仁市中考）.

解答過程 過點C作CD⊥AB，垂足為D.如圖2右圖所示：根據題意可知

∠BAC=90°-60°=30°，

∠DBC=90°-30°=60°，

因為∠DBC=∠ACB+∠BAC，

所以∠BAC=30°=∠ACB，

所以BC=AB=60km，在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=60°，sin∠CBD=CDBC，

所以sin60°=CD60，

所以CD=60×sin60°

=60×32

=303（km）>47km，

所以這艘船繼續向東航行安全.

仰角相關題目 如圖3，某數學興趣小組為測量一棵古樹的高度，在距離古樹A點處測得古樹頂端D的仰角為30°，然后向古樹底端C步行20米到達點B處，測得古樹頂端D的仰角為45°，且點A，B，C在同一直線上，求古樹CD的高度.（已知：2≈1.414，3≈1.732，結果保留整數，2020年湖南省懷化市中考）.

解答過程 由題意可知，AB=20，∠DAB=30°，∠C=90°，∠DBC=45°，

因為△BCD是等腰直角三角形，

所以CB=CD，

設CD=x，

則BC=x，AC=20+x，

在Rt△ACD中，

tan30°=CDCA

=CDAB+CB

=x20+x

=33，

解得x=103+10

≈10×1.732+10

=27.32≈27，

所以CD=27，

答：CD的高度為27米.

對應練習（俯角相關題目） 如圖4，無人機在離地面60米的C處，觀測樓房頂部B的俯角為30°，觀測樓房底部A的俯角為60°，求樓房的高度.