二次函數與等腰三角形結合的解題策略

滕麗

【摘要】二次函數動點問題常常被作為壓軸題，這類題目考察范圍較廣，對于學生基礎知識掌握能力及思維方式均有較高的要求.本文就這類題目的解題思想及具體過程進行分析，主要是借助分類討論思想并結合中考數學題實例進行分析，從而將二次函數動點問題進行剖析，幫助學生增加解決復雜數學題的信心.

【關鍵詞】分類討論;二次函數;等腰三角形

1 典型例題呈現

二次函數與等腰三角形結合的動點問題是十分常見的，本文重點以下題為例進行解析，這也是經過多方面比較分析后確定的典型例題，具有一定的代表性.具體如下：

如圖1，已知拋物線：y=ax2-5ax+4與坐標軸分別交于點A、C ，過點C作BC∥x軸交拋物線于點C，若AC=BC.

（1）試求此拋物線的對稱軸;

（2）求解該三角形中各個頂點的坐標，并試求拋物線的解析式;

（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且是處在x軸下方的動點.試探討是否存在點P使△PAB為等腰三角形？若存在則求出對應點P 的坐標;若不存在，則說明不存在的理由.

2 解題思路簡要分析

第（3）題是該例題也是本文探究的重點所在，主要是利用分類討論的思想進行解題，

以下重點對此進行探討分析：對該題進行分析可知，可以將這類情況分為兩種，即以AB為底或是為腰，當以AB為底時，還需要考慮到頂角的位置，即∠A或是∠B為頂角屬于兩種情況.對此，可以找到兩個△PAB. 當以AB為底時，則△PAB中的頂角必然為∠P，這種情況下也能找到一個對應的△PAB.

分析了不同的情況后，按照各種情況進行獨立求解即可.按照這一思想，在研究第一種情況時無需考慮第二種情況，這便是所謂的分類討論思想，將復雜的問題進行簡化，求解過程也更為簡便.

3 運用分類討論的思想解決上述例題

在提供了解題思路的基礎上，便可以運用分類討論的思想解決具體問題，本文中即重點探討上述例題中第（3）題解題方法.

解 經分析后可知，存在這樣的點P使△PAB為等腰三角形，且這樣的點P共有三個.

各個點P的位置可如圖2所示.首先求解決以AB為腰、∠A為頂角的情況，此時標記為點P1.過點B作x軸的垂線與x軸交于點Q，直角三角形AQB中由勾股定理可得AB2=AQ2+BQ2=80.

可知在Rt△ANP1中有AN2=AP12-P1N2，將相關數據帶入后可求出P1N=1992，由此也可得對應點P1坐標（2.5， -1992）.

第二種情況則為以AB邊為腰，以∠B為頂角的△PAB，將該點P標記為P2，如由圖2中的Rt△BMP2，再由勾股定理得BM2=BP22-P2M2.將題中相關數據代入式中可求得P2M=2952，則點P2對應的坐標為（2.5，4-2952）.

最后一種則是以AB邊為底，∠P為頂角的△PAB，此時點P標記為P3，如圖2中所示.作AB的垂直平分線，由△ABC為等腰三角形可知，垂直平分線過點C且與直線MN交于點P3.再過點P3作y軸的垂線，其垂足為點K，此時可知△CKP3與△AQB相似，因而有P3KCK=BQAQ=12，P3K=2.5，則可求出CK=5，OK=1，由此可得對應的點P3坐標為（2.5，-1）.綜合上述的分析可知，符合題意要求的點P共三個，其對應點坐標分別為P1（2.5，-1992），P2（2.5，4-2952），P3（2.5，-1）.

4 其他例題解析

如圖3所示，拋物線解析式為y=-45x2+245x-4，其與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M.P則為動點，在x軸上方且與M、C不在同一直線上，過點A及點B作CP的垂線，相交于點D、E，連接MD、ME.

△MDE可以為等腰三角形嗎，若可以則求點P坐標，否則說明理由.

能，已知拋物線解析式，可求得對稱軸為x=3，即對應點M（3，0）

令x=0，則y=-4，所以C（0，-4），△MDE為等腰三角形，此時可以分為三種情況;

第1，若DE⊥EM，則由題中DE⊥BE可知點E、M、B在同一直線上，B、M在x軸上，因而點E應當在x軸上;

由DE⊥BE可知點E與O重合，即直線PC與y軸重合，則不符合題意，排除這一情況.

第2，若DE⊥DM則同上，可以排除;

第3，若EM⊥DM，設直線PC與對稱軸交于點N，因為EM⊥DM，MN⊥AM，

所以∠EMN=∠DMA，在△ADM與△NEM中，有∠EMN=∠DMA，EM=DM，∠ADM=∠NEM=135°，

所以△ADM∽△NEM，MN=MA=2，

所以N（3，2）設直線PC解析式為y=kx+b，將點N、C坐標代入解得

k=2，b=-4，所以y=2x-4帶入拋物線解析式可得2x-4=-45x2+245x-4，

解得x=0或x=72，當x=0時交點為C，當x=72時有y=2x-4=3，

所以P（72，3）.綜上所述，△MDE可以為等腰三角形，此時點P為（72，3）.

參考文獻：

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