隱性軌跡問題

莊保海

【摘要】 動點在運動過程中產生的軌跡問題，是近年來中考數學中的一個常考題型，這類問題的難度一般都比較大，通常得分率比較低.究其原因主要是以下幾個方面，其一是學生基礎知識掌握不好，因為這類問題綜合性通常都比較強，它會綜合矩形、菱形、正方形、平行四邊形等特殊四邊形、圓形、三角形等知識，再結合三角函數，以及點的運動，所以難度可想而知;其二是學生對從動點的運動軌跡不會判斷，也就是不知道軌跡是什么樣子的，更不用想求它的問題了.

【關鍵詞】 隱性軌跡;隱形圓;模型

解題中，我們常常遇到隱性軌跡的問題，隱性軌跡指的是不太明顯的軌跡，需要我們去發現，去探尋，有時，發掘隱性軌跡是解題的必經之路.下面舉例說明中考中常考的隱性軌跡問題.

1 軌跡為線段或射線

例1 圖1

如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B，C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（? ）

（A）52.??? （B）52.

（C）533.（D） 3.

分析 如圖2，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性質證明∠AFQ=90°，推出∠AEF=60°，推出點Q的運動軌跡是射線FE，求出DH，可得結論.

解 如圖2，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE于H.

因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠ABP=∠BAE=90°，

因為△ABF，△APQ都是等邊三角形，

所以∠BAF=∠PAQ=60°，

BA=FA，PA=QA，

所以∠BAP=∠FAQ，

在△BAP和△FAQ中，

BA=FA，∠BAP=∠FAQ，PA=QA，

所以△BAP≌△FAQ（SAS），

所以∠ABP=∠AFQ=90°，

因為∠FAE=90°-60°=30°，

所以∠AEF=90°-30°=60°，

因為AB=AF=5，

AE2=AF2+EF2=AF2+12AE2，

解得AE=1033，

所以點Q的運動軌跡是線段FM（M是射線FE與直線CD的支點），

當點P與C重合時，點Q與點M重合.

因為AD=BC=53，

所以DE=AD-AE=533，

因為DH⊥EF，

∠DEH=∠AEF=60°，

所以∠HDE=30°，

所以DH2=DE2-EH2=DE2+12DE2，

解得DH=52，

根據垂線段最短可知，當點Q與H重合時，DQ的值最小，最小值為52，故選（A）.

注 本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的性質以及勾股定理等內容，難度中等，是中考熱考的內容.

例2 如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是.

分析 如圖4，分別找到當F與A點重合時和F與C重合時，點E的位置，記為M和N，可知E的運動路徑是MN的長;由已知條件可以推導出△DMN是直角三角形，利用勾股定理可求MN.

解 如圖4，點E的運動路徑是的MN長，

因為AB=4，∠DCA=30°，

所以BC=433，

當F與A點重合時，點E的對應點為M，在Rt△ADM中，

AD=433，∠DAM=30°，∠ADM=60°，

所以DM=233，∠CDM=30°.

當F與C點重合時，點E的對應點為N，

在Rt△DCN中，∠NDC=60°，

DN=2，

所以∠NDM=90°，

在Rt△DNM中，MN=DM2+DN2=433，

故點E的運動路徑長為433.

注 本題考查點的軌跡;能夠根據E點的運動情況，分析出E點的運動軌跡是線段，是解題的關鍵.

2 軌跡是圓或圓弧

例3

如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是平面內一個動點，且AP=3，Q為BP的中點，在點P運動過程中，設線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是.

分析 取AB的中點M，連接QM，CM，分析可知，點C，M是定點，點Q是動點，且點Q在以點M為圓心，QM長為半徑的圓上運動，當點C，M，Q三點共線，且點Q在線段CM上時，m取得最小值，當點C，M，Q三點共線，且點Q在線段CM的延長線上時，m取得最大值，可得結論.

解 如圖6，取AB的中點M，連接CM，QM.

因為AP=3，

所以P在以A為圓心，為半徑圓上運動，

在Rt△ABC中，

AB=AC2+BC2

=82+62

=10，

因為M是Rt△ABC斜邊AB的中點，

所以CM=12AB=5.

因為Q是BP的中點，M是AB的中點，

所以MQ=12AP=32.

所以5-32≤CQ≤32+5，

即72≤m≤132.圖7

注 本題考查了三角形的中位線的性質，三角形三邊長關系，勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

例4 如圖7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3.P為△ABC內一點，且滿足PA2+PC2=AC2.當PB的長度最小時，△ACP的面積是（? ）

（A） 3.??? （B） 33.

（C）334.（D）332.

分析 由題意知∠APC=90°，又AC長度一定，則點P的運動軌跡是以AC中點O為圓心，12AC長為半徑的圓弧，所以當B，P，O三點共線時，BP最短;在Rt△BCO中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點P是BO的中點，由線段長度即可得到△PCO是等邊三角形，利用特殊Rt△APC三邊關系即可求解.

解 因為PA2+PC2=AC2，

所以∠APC=90°，

取AC中點O，并以O為圓心，12AC長為半徑畫圓（圖8），

由題意知：當B，P，O三點共線時，BP最短，

所以AO=PO=CO，

因為CO=12AC=12×23=3，

BC=3，

所以BO=BC2+CO2=23，

所以BP=BO-PO=3，

所以點P是BO的中點，

所以在Rt△BCO中，

CP=12BO=3=PO，

所以△PCO是等邊三角形，

所以∠ACP=60°，

在Rt△APC中，

AP=CP×tan60°=3，

所以S△APC=12AP×CP=3×32=332.

注 本題主要考察動點的線段最值問題、點與圓的位置關系和隱形圓問題，屬于動態幾何綜合題型，中檔難度.解題的關鍵是找到動點P的運動軌跡，即隱形圓.

例5 如圖9，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△DBE，點C的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD.

（1）求證：BC∥AD;

（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉所經過的路徑長之和.

分析 （1）只要證明∠CBE=∠DAB=60°即可;

（2）由題意，BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

利用弧長公式計算即可.

解 （1）由題意 △ABC≌△DBE，

且∠ABD=∠CBE=60°，

所以AB=DB，

所以△ABD是等邊三角形，

所以∠DAB=60°，

所以∠CBE=∠DAB，

所以BC∥AD.

（2）由題意 BA=BD=4，

BC=BE=1，

∠ABD=∠CBE=60°，

所以A，C兩點旋轉所經過的路徑長之和等于

60·π·4180+60·π·1180=5π3.

注 本題考查軌跡，全等三角形的性質，等邊三角形的判定，弧長公式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

當然隱性軌跡還有可能是其他模型，需要同學們在學習中注意總結利用.總之，隱性軌跡問題具有較強的探究性，可能出現在幾何問題或代數問題里，需要發掘和利用才能順利解決問題.