中考數(shù)據(jù)分析問題舉例

王炳力

【摘要】 在中考試題中，和數(shù)據(jù)分析有關(guān)的計算問題出現(xiàn)較多，題型多樣，特別是綜合型問題更是受命題者的青睞.

【關(guān)鍵詞】 平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù);方差

1 已知一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，求未知數(shù)據(jù)

例1 喜迎建黨100周年，某校將舉辦小合唱比賽，七個參賽小組人數(shù)如下：5，5，6，7，x，7，8.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（? ）

（A） 5.（B） 55.（C） 6.（D） 7.

分析 先根據(jù)平均數(shù)的公式計算出x的值，再求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)即可.

解 因為5，5，6，7，x，7，8的平均數(shù)是6，

所以（5+5+6+7+x+7+8）÷7=6，

解得x=4，

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8，最中間的數(shù)是6，

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，

故選（C）.

注 此題考查了中位數(shù)，掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)或最中間兩個數(shù)的平均數(shù).

2 由已知平均數(shù)，求其他數(shù)據(jù)平均數(shù)

例2 已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，則數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均數(shù)為.

解 因為x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，

所以x1+x2+x3+…+xn=5n，

所以x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均數(shù)為

12×[（x1+5）+（x2+5）+（x3+5）+…+（xn+5）]

=1n×（x1+x2+x3+…+xn+5n）

=5n+5nn=10.

注 本題考查平均數(shù)，解題關(guān)鍵在于理解其概念，其次注意計算精度.

3 已知數(shù)據(jù)的中位數(shù)，求未知數(shù)據(jù)

例3 某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5，10，7，x，10.若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的方差為.

分析 根據(jù)題意，由中位數(shù)的定義可得x的值，計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差計算公式列式計算即可.

解 根據(jù)題意，數(shù)據(jù)5，10，7，x，10的中位數(shù)為8，則有x=8，

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

15（5+10+7+8+10）=8，

則這組數(shù)據(jù)的方差

S2=15[5-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2]=36.

注 本題考查數(shù)據(jù)的方差計算，關(guān)鍵是由中位數(shù)的定義求出x的值.

4 已知數(shù)據(jù)的眾數(shù)求未知

例4 一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：x，3，4，4，5（x為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是4，則數(shù)據(jù)x是（ ?）

（A） 1.????? （B） 2.

（C） 0或1.（D） 1或2.

分析 根據(jù)眾數(shù)的定義得出正整數(shù)x的值即可.

解 因為一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：x，3，4，4，5（x為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是4，

所以數(shù)據(jù)x是1或2.

故選（D）.

注 本題主要考查了眾數(shù)的定義，根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)得出x的值是解題的關(guān)鍵.

例5 圖1是小穎前三次購買蘋果單價的統(tǒng)計圖，第四次又買的蘋果單價是a元/千克，發(fā)現(xiàn)這四個單價的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a=（? ）

（A） 9.（B） 8.

（C） 7.（D） 6.

分析 根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)和題意，可以得到a的值，本題得以解決.

解 由統(tǒng)計圖可知，前三次的中位數(shù)是8，

因為第四次又買的蘋果單價是a元/千克，這四個單價的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，

所以a=8，

故選（B）.

注 本題考查條形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

5 已知一組數(shù)據(jù)的方差求未知數(shù)據(jù)

例6 已知一組數(shù)據(jù)x，y，8，9，10的平均數(shù)為9，方差為2，則xy的值為.

分析 根據(jù)平均數(shù)以及方差列出x，y的關(guān)系式，最后通過恒等變形求解即可.

解 由題意8+9+10+x+y5=9，

所以x+y=18，

又由題意

（x-9）2+（y-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（10-9）25=2，

整理得x2+y2-18（x+y）=-154，

所以x2+y2-18×18=-154，

x2+y2=170，

所以xy=（x+y）2-（x2+y2）2=182-1702=77.

注 本題考查平均數(shù)和方差的綜合應(yīng)用，靈活運用平均數(shù)和方差的計算公式是解題關(guān)鍵.

6 綜合運用統(tǒng)計量進行決策

例7 某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣，獲得了100個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分數(shù)據(jù)如下表：

序號12…2526…50

月均用水量/t1313…4545…64

序號51…7576…99100

用均用水量/t68…1113…25628

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為92t，你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按15倍價格收費，若要使75%的家庭水費支出不受影響，你覺得這個標準應(yīng)該定為多少？

分析 （1）利用所給數(shù)據(jù)，即可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，從平均數(shù)與中位數(shù)的差異可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均數(shù)，有節(jié)約用水觀念，少數(shù)家庭用水比較浪費;

（2）由于100×75%=75，所以為了鼓勵節(jié)約用水，要使75%的家庭水費支出不受影響，即要使75戶的家庭水費支出不受影響，故家庭月均用水量應(yīng)該定為11t.

解 （1）由表格數(shù)據(jù)可知，位于最中間的兩個數(shù)分別是64和68，

所以中位數(shù)為64+682=66（t），

而這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為92t，它們之間差異較大，主要是因為它們各自的特點決定的，主要原因如下：

①因為平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動;主要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)，當出現(xiàn)偏大數(shù)時，平均數(shù)將會被抬高，當出現(xiàn)偏小數(shù)時，平均數(shù)會降低.

②中位數(shù)將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，它的求出不需或只需簡單的計算，它不受極端值的影響;

這100個數(shù)據(jù)中，最大的數(shù)據(jù)是28，最小的是13，因此平均數(shù)受到極端值的影響，造成與中位數(shù)差異較大;

（2）因為第75戶用數(shù)量為11t，第76戶用數(shù)量為13t，因此標準應(yīng)定為11≤a<13（其中 a為標準用水量，單位：t）.

注 本題考查中位數(shù)及利用統(tǒng)計表獲取信息的能力;利用統(tǒng)計表獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計表，才能作出正確的判斷和解決問題.