建坐標系法解一類中考題

沈建新

【摘要】 同一類型的題雖然從表面上看，條件、結論都不同，但其有共同的解題思路、技巧與方法，我們把這樣一類題歸并在一起講解，可以提高學生的綜合與歸納能力，并使知識系統化.本文以建直角坐標系法為例，多題一法，試用2021年浙江省若干中考題來進行闡釋，與大家分享.

【關鍵詞】 建直角坐標系;多題一法;平面上兩點間的距離公式

例1 如圖1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點D，BD=3.若E，F分別為AB，BC的中點，則EF的長為（? ）

（A）33.?? （B）32.

（C） 1.（D）62.

解 如圖2，以D為原點建直角坐標系，根據題中信息分析可得

AD=BD=3，CD=1，

所以可得A（0，3），B（-3，0），C（1，0），

因為E，F分別為AB，BC的中點，根據平面直角坐標系中線段中點的坐標公式可得E-32，32，F-3+12，0，再根據平面上兩點間的距離公式得

EF=-3+12--322+0-322

=14+34=1，

故選（C）.

例2 如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連接DE，點F，G分別是BC和DE的中點，連接AG，FG，當AG=FG時，線段DE長為（? ）

（A）13.? （B）522.（C）412.（D） 4.

解 如圖4，以A為原點建直角坐標系，根據題中信息分析可得B（5，0），C（0，5），D（0，2），設E（x，0），因為點F，G分別是BC和DE的中點，所以可得

F52，52，Gx2，1.

因為AG=FG，

所以可列方程

x2-02+（1-0）2

=x2-522+1-522，

解得x=3，

所以E（3，0），易得DE=22+32=13，

故選（A）.

例3 由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖5所示.過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連接CG，延長BE交CG于點H.若AE=2BE，則CGBH的值為（? ）

（A）32.??? （B）2.

（C）3107.（D）355.

解 如圖6，以B為原點建直角坐標系，由題意可設BE=x，則AE=2x，AB=5x，易得BE=AP=DF=CN=x，小正方形PENF邊長也等于x，大正方形ABCD邊長為5x.因為∠PFE=∠DFG=45°，易得△DFG為等腰直角三角形，所以DG=DF=x.過點G作GM⊥CD的延長線于點M，

易得∠GDM=∠ADP，

且∠M=∠APD=90°，

所以△GDM∽△ADP，

得DGAD=GMAP=DMDP，

即x5x=GMx=DM2x，

求得GM=5x5，DM=25x5，

故可得G45x5，75x5，

因為C（5x，0），

所以CG=45x5-5x2+75x52

=10x.

因為FN=CN=x，

所以N為CF中點，

又因為PQ∥EH，

易得NH為△CFQ中位線，

所以FQ=2NH，

又因為FG=EF=2x，

即F為EG中點，

且FQ∥EH，

所以FQ為△EGH中位線，

所以EH=2FQ，

得EH=4NH，

所以EN=3NH，

即NH=13x，

所以BH=73x，

所以CGBH=10x73x=3107，

故選（C）.

例4 由沈康身教授所著，數學家吳文俊作序的《數學的魅力》一書中記載了這樣一個故事：如圖7，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖傳正方形地毯，先將地毯分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分），則圖中AB的長應是.

解 如圖8，建直角坐標系，由題意得三個小正方形（陰影部分）的面積為1，則每個小正方形的面積為13，可得ED=33.

在Rt△ODE中，由勾股定理可得

OE=63.

易得△ODE∽△OCD，

所以OEOD=DECD，

即631=33CD，

求得CD=22，

所以C1，22，

易得直線OC解析式為y=22x，

所以可求得點B的坐標為（2，1），繼而可求得

AB=2-1.