動態(tài)幾何定值問題三例

郭鳳

【摘要】動態(tài)幾何是指用運動的觀點研究幾何圖形的位置、大小的相互關系.用動的觀點看幾何定理，常可把幾個定理歸為一類.幾何圖形按一定條件運動，有的幾何量隨著運動的變化而有規(guī)律變化，這就出現了軌跡和極值問題，而有的量卻始終保持不變，這就是定值問題.解答動態(tài)幾何定值問題的方法一般有兩種：第一種是先探求定值.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.

【關鍵詞】動點;定值

例1如圖1，等腰直角△ABC中，∠A=90°，D點在BC上，作DF⊥BC交AC和BA的延長線于E、F兩點，若DE+DF=12，則邊BC的長是.

解法1過點A作AP⊥BC于P.

因為AP∥DF，

所以DEAP=CDCP，

DFAP=BDBP=BP+PDBP，

于是DEAP+DFAP=CDCP+BP+PDCP=2，

所以DE+DF=2AP，

即DE+DF=BC=12.

解法2因為△ABC是等腰直角三角形，

FD⊥BC，

所以△BDF和△DCE也是等腰直角三角形，

于是BD=DF，DE=CD，

所以DE+DF=CD+BD=BC=12.

分析用特位定值法.

（1）把點D放在BC中點上.這時過點D的垂線與AB，AC的交點都是點A，即點E、F兩點重合于A點，得出DE+DF=2DA=BC，從而可確定定值是底邊上的中線的2倍.因此原題可轉化求證

DA+DB=2AD=BC（AD為底邊上的中線）.

（2）把點D放在點C上.這時DE=0，DF=2AP=BC（三角形中位線性質），結論與（1）相同.

還可以把定值定為BCtanB.即求證

DE+DF=BCtanB.

推廣在△ABC中，D、E是BC邊上的兩點，且AD∥EG，EG交AC于F，交BA的延長線于G.若AD是△ABC的中線.則EF+EG=2AD.

例2如圖2，AD是等腰△ABC的高線，P是BD上的動點，過P作BC的垂線，與AB和CA的延長線分別相交于F、E.已知AB=AC=5，BC=6.

（1）設BP=x，PE=y，請寫出y與x的函數關系式;

（2）當四邊形ADPE的面積與△ABC的面積相等時，求BP的長.

解（1）在△ABC中，

因為AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6，

所以BD=CD=3，AD=4，

PC=BC-BP=6-x，且0≤x<3.

又PE⊥BC，

則PE∥AD，

所以△CAD∽△CEP，

所以CDPC=ADPE，

即36-x=4PE，

所以y=PE=43（6-x）=8-43x（0≤x<3）.

（2）由（1），得PE=8-43x（0≤x<3），

梯形ADPE的面積為

S=12（AD+PE）·PD

=124+8-43x（3-x）

=23（9-x）（3-x）（0≤x<3），

而△ABC的面積為

12BC·AD=12×6×4=12，

因此，x是方程23（9-x）（3-x）=12的解，

整理得x2-12x+9=0，

配方得（x-6）2=27（注意到0≤x<3），

解得x=6-33，

即BP=6-33.

例3如圖3，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點（不與B、C重合）.過E作直線AB的垂線，垂足為F.FE與DC的延長線交于點G，連接DE，DF.當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由.

證明△BEF與△CEG的周長之和為定值.

理由1過點C作FG的平行線交直線AB于H，

因為GF⊥AB，

所以四邊形FHCG為矩形.

所以FH=CG，FG=CH，

因此，△BEF與△CEG的周長之和等于

BC+CH+BH.

由BC=10，AB=5，AM=4，

可得CH=8，BH=6，

所以BC+CH+BH=24.

理由2由AB=5，AM=4，可知

在Rt△BEF與Rt△GCE中，有

EF=45BE，BF=35BE，

GE=45CE，GC=35CE，

所以△BEF的周長是125BE，

△ECG的周長是125CE.

又BE+CE=10，

因此△BEF與△CEG的周長之和是24.