利用二次函數求幾何最值

李先兵

【摘要】 幾何最值是中考數學熱點問題之一，此類問題考查知識點豐富，綜合性強，而且具有一定的技巧性，備受命題者的追捧.今年來，為了遏制技巧，考查本質，將幾何最值扭轉為用二次函數的性質進行求解.本文將利用二次函數求幾何最值問題進行歸類，然后進行分析求解，并給出了此類問題的解題策略.

【關鍵詞】 中考數學;幾何最值;二次函數的性質

利用二次函數求幾何最值只需充分運用條件，根據圖形的特點，綜合運用所學知識，如勾股定理，相似三角形，圖形的面積等尋求數量關系，從而構造出二次函數，再利用二次函數的性質即可求解.現舉例說明.

1 求圖形面積的最值

例1 圖1

如圖1，銳角△ABD（AB

解 過M作MG⊥BD，MH⊥AC，垂足分別為G，H.

設AO=a，BO=b，

則BG=a+b2，

MG=a-b2.

因為⊙M半徑為5，

△ABO的面積為72，

所以a+b22+a-b22=52，ab2=72，

解之得a=7，b=1，

即AO=7，BO=1.

因為∠DEF=∠DAB，

而∠DAB=∠DMG，

所以∠DMG=∠DEF.

又因為∠DMG+∠MDG=90°，

所以∠DEF+∠MDG=90°.

所以∠EFD=90°，

所以△DEF∽△DMG，

所以EFFD=MGGD=34.

設EF=x，則

DF=43x，MF=5-43x.

所以△MEF面積=12×x×5-43x

=-23x2+52x，

所以當x=158時，△MEF面積取得最大值7532.

注 關于幾何圖形面積最值問題，通常用二次函數的性質解決.此題中的條件轉化可得該三角形恰好是直角三角形，這樣就更加堅定了用二次函數性質解決問題的策略.

2 求線段長度的最值

例2 圖2

如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O，BD為直徑，AD上存在點E，滿足AE=CD，連接BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連接CE，CG，若CE=BG，AD=2.求CG的最小值.

解 過點C作CH⊥BF于點H.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠BAD=90°，

因為AE=CD，

所以AB+DE=BC，

所以∠BEC=∠AGB.

所以∠CEF=∠BGD.

又因為EC=BG，∠ECF=∠GBD，

所以△CFE≌△BDG.

所以BD=CF，∠CFH=∠BDA.

因為∠BAD=∠CHF=90°，

所以△BAD≌△CHF.

所以FH=AD=2.

而AE=CD，

所以AD=EC，

所以BG=EC=AD=2.

因為BD是直徑，

所以∠BCF=90°，

而CH⊥BF，

所以CH2=BH×HF.

設GH=x，則BH=2-x，

CH2=（2-x）×2=4-2x.

在Rt△CHG中，

CG2=CH2+GH2

=4-2x+x2

=x2-2x+4.

當x=1時，CG2的最小值為3，

所以CG的最小值為3.

注 此問題求線段的最小值，一般都會理解為C點固定，然后去尋找G點的軌跡，此題的圖形較為復雜，很難直接得到其軌跡，進入死胡同.回過頭來研究圖形發現，圖中的全等三角形比較多，這樣數量關系相對比較明確，我們就可以利用函數的思想，設其中一條線段的長度為自變量，然后表達圖中的其他線段，不難發現此題的數量關系，進而得到所求線段關于自變量的函數表達式，再利用二次函數的性質即可解決問題.

3 求圖形周長的最值

例3

如圖3，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等邊三角形DEF的頂點D，E，F分別在直角三角形的三邊上，求△DEF周長的最小值.

解 過點D作DG⊥AB于點G，

因為△DEF是等邊三角形

∠A=30°，

所以∠B=∠EDF=60°，

所以∠CDF=∠DEB，

DG=32BD，

因為DE=DF，

所以△CDF≌△GED，

所以CF=DG.

設BD=x，則CD=1-x，

CF=DG=32x，

在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2，

所以DF2=（1-x）2+32x2=74x2-2x+1.

所以當x=47時，DF最小，最小值為217，

故△DEF周長的最小值為3217.

注 此問題初看起來應該是想方設法將三角形的三邊利用圖形的變換轉移到一條折線，再利用化曲為直思想求得最小值，但是由于D，E，F三點的位置都不確定，操作起來很麻煩.過點D作DG⊥AB，△CDF≌△GED就顯而易見了.圖中的線段似乎都有一定的數量上的聯系了，于是選擇一條線段的長度為自變量，所求量為因變量，建立等量關系，從而轉化為函數關系，問題即可迎刃而解.

4 求線段的積的最值

例4 圖4

如圖4，直線l：y=12x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為直徑作⊙M，點P為線段OA上一動點（與點O，A不重合），作PC⊥AB于C，連接BP并延長交⊙O于點D.連接OC，當點P在線段OA上運動時，求OC×PD的最大值.

解 連接OD.

因為PC⊥AB，

所以∠BCP=90°，

所以O，P，B，C四點共圓.

所以∠PBC=∠POC.

又因為∠AOD=∠ABD，

所以∠AOD=∠AOC.

而∠BAO=∠BDO，

所以△ACO∽△DPO.

所以OCOP=ACPD，

所以OC×PD=OP×AC.

設OP=t，則AP=8-t.

AC=AP×cos∠BAO

=（8-t）×845=255（8-t），

所以OC×PD

=OP×AC=t×255（8-t）

=255t（8-t），

所以當t=4時，OC×PD取得最大值3255.

注 直接求兩條線段的乘積比較困難時，通常會根據線段成比例轉移線段.此題中對線段OC表達應該是沒有問題的，但是對線段PD的表達卻顯得無從下手，這時自然會想到轉移線段的乘積.首先從感性思維的角度觀察OC和PD兩條線段分別放在哪兩個三角形中，而這兩個三角形看起來是相似的，不難看出△ACO與△DPO符合我們的想法，接下來進行驗證.根據同弧所對的圓周角相等即可得到∠BAO=∠BDO，只需再尋找一對角相等.目標明確，思維順暢，完全避開了幾何最值的套路.