用好斜邊上的高

李玉榮

【摘要】 斜邊上的高是直角三角形的一條重要線段，適時構造，可以幫助我們解題.

【關鍵詞】 直角三角形;斜邊;高

定理 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似.

例1 如圖1，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P.

（1）求證：CP=CB;

（2）若OB=4，CB=3，求線段BP的長.

解 （1）略;

（2）如圖1，易知∠OBC=90°，

OC=5，OP=2，

PA=AO2+PO2=25，

作OD⊥AB于點D，

因為OC⊥OA，

所以△ADO ∽△AOP，

可得AOAP=ADAO，

即425=AD4，

所以AD=855，

AB=2AD=1655，

進而PB=AB-AP=1655-25=655.

例2 如圖2，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，將△AOB繞頂點O逆時針旋轉到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E恰為BO的中點，則線段B′E的長為.

解 如圖2，因為AO=3，BO=6，

所以AB=35，

過點O作OF⊥A′B′于點F，

因為∠A′OB′=90°，

OF⊥A′B′，

所以△A′FO∽△A′OB′，

所以A′OA′B′=A′FA′O，

即335=A′F3，

所以A′F=355，

從而A′E=2A′F=655，

所以B′E=35-655=955.

例3 如圖3，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分別在AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱，P是邊DC上的一動點.

（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形;

（2）當△PEF的周長最小時，求DPCP的值;

（3）連接BP交EF于點M，當∠EMP=45°時，求PC的長.

解 （1）、（2）略;

（3）如圖3，因為AB=2，AD=4，

所以AC=25，

設BP交AC于點Q，作BN⊥AC于點N，

因為∠EMP=45°，

所以OM=OQ，NQ=BN，

由AB·BC=AC·BN，得

2×4=25BN，

所以NQ=BN=455，

在Rt△ABN中，

AN=AB2-BN2

=22-4552

=255，

所以AQ=AN+NQ=655，

CQ=AC-AQ=455，

由AB∥CP，得 △ABQ∽△CPQ，

得ABCP=AQCQ，

即2PC=655455，

解得PC=43.

例4 如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則APAT的最大值是.

解 如圖4，過點A作AG⊥BD于G，

因為BD是矩形的對角線，

所以∠BAD=90°，

所以BD=AD2+BD2=5，

因為12AB·AD=12BD·AG，

所以AG=125，

因為BD是⊙C的切線，

所以⊙C的半徑為125，

過點P作PE⊥BD于E，則

∠AGT=∠PET，

因為∠ATG=∠PTE，

所以△AGT∽△PET，

所以AGPE=ATPT，

所以PTAT=512PE，

因為APAT=AT+PTAT=1+PTAT=1+512PE，

要使APAT最大，只需PE最大，連接PC，CH，顯然

PE≤PC+CH=2×125=245，

所以APAT最大值為1+2=3.

例5 如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，AC =8，BC=6，點E為BC中點，以AC為直徑的⊙O與AB交于點D，

（1）求證：DE是⊙O的切線;

（2）點F為直線CB上一點，AF交⊙O于點G，連接CG，求CGAF的最大值.

解 （1）略;

（2）如圖5，作GH⊥AC于H，連接OG，

因為∠AGC=90°，

GH⊥AC，

所以△CHG∽△FCA，

可得CGAF=HGAC，

因為HG≤OG，

所以CGAF≤OGAC=12，

即CGAF的最大值為12.