談談平行四邊形的判定

鄭泉水

【摘要】 本文通過對平行四邊形判定方法的探索，幫大家進一步熟悉其基本判定方法的應用，開闊視野，提高邏輯思維能力.

【關鍵詞】 平行四邊形;判定;開闊視野

我們知道，初中數學各種版本的教材中，平行四邊形的判定方法一般有五種，即：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

以此五種基本判定方法為基礎，通過探索，我們得出下面的多種判定方法：

方法1 一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 因為AD∥BC，

所以∠A+∠B=180°.

因為∠B=∠D，

所以∠A+∠D =180°.

所以AB∥DC.

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

方法2 一組對邊相等、一組對角是鈍角且相等的四邊形是平行四邊形.

如圖2，四邊形ABCD中，AB=DC，∠A，∠C是鈍角，且∠A=∠C.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 連接BD.

由正弦定理，得

sin∠1=AB×sin∠ABD，

sin∠2=DC×sin∠CBD.

因為AB=DC，∠A=∠C，

所以sin∠1=sin∠2.

因為∠A，∠C是鈍角，

所以∠1，∠2是銳角.

所以∠1=∠2.

所以△ABD≌△CDB（AAS）.

所以AD=BC.

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

注 上述證明過程中得出三角形全等的一個判定定理“有兩邊及一邊的對邊分別相等的兩個鈍角三角形全等.”

方法3 一條對角線平分另一條對角線、且兩條對角線形成的鈍角所對的一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.

如圖3，四邊形ABCD的對角線相交于O，∠AOD是鈍角，且OA=OC，AD=BC.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 因為∠AOD=∠COB，

且∠AOD，∠COB是鈍角，

OA=OC，AD=BC.

所以△AOD≌△COB

（有兩邊及一邊的對角分別相等的兩個鈍角三角形全等）.

所以OD=OB.

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

方法4 一條對角線平分另一條對角線、且有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.

如圖3，四邊形ABCD的對角線相交于O， OA=OC，AD∥BC.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 因為AD∥BC，

所以∠OAD=∠OCB.

又OA=OC，

∠AOD=∠COB，

所以△AOD≌△COB（ASA）.

所以AD=BC.

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

方法5 一組對角的平分線互相平行且相等的四邊形是平行四邊形.

如圖4，四邊形ABCD中，BE，DF分別是其一組對角的平分線，且BE∥DF，BE=DF.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 因為BE，DF分別是其一組對角的平分線，且BE∥DF，

所以可設∠ABE=∠EBC=∠DFC=α，

∠CDF=∠FDA=∠AEB=β.

因為BE∥DF，BE=DF，

所以四邊形BFDE是平行四邊形.

所以AD∥BC.

所以∠FDA =∠DFC，

即∠α=∠β.

所以∠A=∠C.

所以四邊形ABCD是平行四邊形

（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

方法6 一組對角的平分線互相平行且有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.

如圖4，四邊形ABCD中，BE，DF分別是其一組對角的平分線，且BE∥DF，AD∥BC（或AB∥DC）.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 （1）當BE∥DF，AD∥BC時，四邊形BFDE是平行四邊形.其證法與方法5的證明相同，故從略.

（2）當BE∥DF，AB∥DC時，則有：

∠ABE=∠CDF

（如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等.）

即∠α=∠β.

所以∠A=∠C.

所以四邊形ABCD是平行四邊形

（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

方法7 兩組對角的平分線互相平行的四邊形是平行四邊形.

如圖5，四邊形ABCD中，AE，CF，BH，DK分別是其兩組對角的平分線，且AE∥CF，BH∥DK.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 由角平分線BH與DK互相平行可知：

∠ABH=∠HBK=∠DKC=∠1，

∠CDK=∠KDH=∠BHA=∠2，

并將它們標示在圖上.

利用三角形的內角和是180°，容易得出

∠BAH=∠DCK.

同理可知∠ABE =∠CDF.

故四邊形ABCD是平行四邊形.

方法8 一組對角的頂點到另一條對角線的距離相等，且有一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.

如圖6，四邊形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明留給讀者自行完成.

方法9 一組對角的頂點到另一條對角線的距離相等，且有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.

如圖6，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明留給讀者自行完成.

受上面判定方法的啟示，你還能找出其他判定方法嗎？不妨試試看！