高中數學排列組合的解題技巧

嚴步勝

【摘要】高中數學排列組合問題較為抽象，掌握一定的解題技巧，可迅速找到解題思路，提高解題正確率.本文主要介紹捆綁法、插空法、隔板法、間接法、特殊元素法在解題中的具體應用.

【關鍵詞】 排列組合;解題思路;解題策略

1 常見問題以及原因分析

1.1 理論知識薄弱

現階段，在高中數學教學中，針對排列組合主要存在理論知識薄弱的問題，想要了解排列組合，必須要明白“排列”和“組合”這兩種問題的聯系和區別，兩者所涉及到的思維和計算公式存在比較大的區別，對此，教師利用傳統的教學方法，會直接導致學生出現審題不清晰的情況，不能正確認識到問題類型，從而導致在計算過程中出現公式錯誤的現象，長期以往，便會形成錯誤的思維觀念，使其計算結果出現錯誤.

1.2 計算不當

數學知識自發展以來，排列組合便是重要的知識點，主要考查學生的綜合能力和思維能力，但是，由于其計算層面過于單一，沒有涉及到新的方法，學生便會出現粗心的現象，從而經常出現重復計算以及數據遺漏等問題，在這種狀態下，在進行考試時，學生對經常出現丟分等問題.

1.3 重要條件遺漏

在排列組合知識教學中，題目條件是保證解題正確與否的重要環節，由于在常見的問題中，所涉及到的情境比較復雜多變，所體現出來的題目形式也變化多端，對此，學生在進行求解時，會發現可能一個符號的改變將會直接影響到計算條件，從而導致整個計算過程出現偏移.學生在審題過程中，如果不能將題目中現有的信息進行整理，那么將會直接導致其判斷失誤，最終無法得到正確結果.

2 相關方法和思想刨析

2.1 捆綁法

例1 用1～8共8個數字組成不重復的八位數，要求1和2相鄰，3和4相鄰，7和8不相鄰，則這樣的八位數有個__________.

解析 1和2相鄰可將其捆綁成一個元素M，兩者之間可進行全排共有A²₂種排法;同理，3和4相鄰捆綁成一個元素N，也有有A²₂種排法;則M、N、5、6全排有A⁴₄種排法;排好的元素形成5個空隙，將7和8插入空隙中有A²₅中方法.則可組成八位數的個數為A²₂A²₂A⁴₄A²₅=2×2×4×3×2×1×5×4=1920個.

2.2 插空法

例2 5個女孩和6個男孩圍成一個圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同的排法有種________.

解析 女孩有5個，男孩有6個且任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起.先將5個女孩站成一個圈，共有排法5！/5=24種;此時形成5個空隙，將6個男孩按照1、1、1、1、2分成5組，有C²₆=15種分法;將男孩插入到空隙中有A⁵₅=120種方法;站在一起的男孩有2種站法，因此，不同的排法有：24×15×120×2=86400種排法.

2.3 隔板法

例3將15個三好學生名額分給1、2、3、4共4個班級，其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有________種不同分配方案.

解析 3班最多有2個名額，因此，可分為2個名額、1個名額、0個名額三種情況進行討論.（1）當3班有2個名額時，給1班分1個名額，2班和4班每班2個名額，還剩余8個名額;（2）8個名額有7個空隙，插入2個隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₇種;（3）當3班有1個名額時，給1班分1個名額，2班和4班每班2個名額，剩余9個名額有8個空隙，插入2個隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₈種;當3班沒有名額時，給1班分1個名額，2班和4班每班2個名額，在10個名額的9個空隙中插入2個隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₉種;綜上共有分配方案C²₇+C²₈+C²₉=21+28+36=85種.

2.4 間接法

例4 派遣6為老師到甲、乙、丙、丁4個學校開展支教活動，其中甲、乙學校各派遣1人，剩余兩個學校各派遣2個人，要求李老師和王老師不能派遣到一個學校，則可能的方案有多少種？

解析 可先不考慮兩位老師的特殊要求，對名額進行全排，而后減去兩位老師派遣到一個學校的情況.從6位老師選取一位到甲學校，有C¹₆種選法;在剩余5位老師中選取一位到乙學校，有C¹₅種選法，剩余4位教師平均分成兩組，派遣到剩余兩個學校，共有C²₄C²₂/A²₂×A²₂種排法;將李老師和王老師派遣到一起，到丙學校或者丁學校，共有2種可能;在剩余4為老師中選出一位到甲學校，有C¹₄種方法;在剩余3位老師選出一位到乙學校共有C¹₃種方法.最后兩位老師均到同一所學校，有1種可能.綜上滿足題意的方案有C¹₆×C¹₅×C²₄C²₂/A²₂×A²₂-2C¹₄C¹₃=180-24=156種.

2.5 特殊元素法

例5 用0～5共6個數字，組成能夠被5整除且不重復的五位數有多少個？

解析 先分析被5整數的五位數有什么特點，即，個數數是0或5，而后在進行分類分析.當末尾數為0時，則從1～5位數數字選取4個全排，共有A⁴₅=120個;當末尾數為5時，則首位不能為0，首位有C¹₄種選法，中間數字無限制，共有排法A³₄種.綜上滿足題意的五位數有A⁴₅+C¹₄A³₄=120+96=216個.

2.6 分類討論法

在數學教學中，分類討論法是比較常見的數學方法，其主要核心是在解題過程中結合現有對象存在的差異進行劃分類別，同時，要保證在分類時明確分類原則的確定.只有在解題過程中充分利用分類討論法，將題目中存在的條件等因素進行分類討論，這樣才能夠在解決排列組合問題時，避免出現重復和數據遺漏等問題，

例6 箱子中有8個大小完全相同的小球，其中5個小球的顏色相同，而剩下3個小球分別為紅、黃、綠，這三個小球代表優秀獎、先進獎和進步獎，顏色相同的小球為鼓勵獎，現將這些小球放入箱子中，安排4位學生進行抽取，試討論獲獎情況.

解析 由現有條件可知，每個學生可以得到兩個小球，對此，可以對其進行以下分類：

由已知條件可知，每個人會得到兩個小球，可以進行如下分類：首先，如果一個人獲得兩個獎項，一個人獲得一個獎項，剩下的學生沒有獲得獎項.其次，如果其中四個人中有三人個人分別獲得獎項，那么剩余一人沒有獎項.按照這種方式，進行分類討論時，便要充分將這兩種情況納入到計算中來，可以有效對每一種類別進行計算.對此，在計算中，需要從有獎的小球中進行挑選，放到A位置，其中有C²₃=3（種）可能，那么剩下的小球便有各有一個無獎和有獎，在其他位置中，各有兩個無差別的無獎小球;接著從其他角度出發，現已知有獎的為A、B，從四位學生中隨機抽選出兩位學生進行抽獎，在此期間，要保證結構存在差異性，對此，將其問題轉換為排列問題，其中A=12，那么共有36種情況.另外一種方法，便是從四人中選出三人去抽獎，最后一位學生在其余三人抽獎結束后進行，對此，在這種方法下，共有24種情況，從上述分析中，可以發現總共有60種情況.

綜上所述，排列組合不同的解題技巧有著對應的適用情境，因此，應做好不同解題技巧適用題型的總結，把握相關解題技巧的特點，搞清楚各解題技巧之間的區別與聯系，尤其認真分析各解題技巧應用時的注意事項以及細節，并靈活應用于解題中，促進解題能力的進一步提高.