初中數學解題中數形結合的應用

梁玲

【摘要】借助數形結合解答初中數學習題，可簡化解題過程，提高解題效率.為提高學生應用數形結合解答數學習題的意識與能力，本文圍繞具體案例開展教學活動，尤其通過展示相關解題過程，使學生更好地把握應用細節.

【關鍵詞】數學解題;數形結合;解題效率

例1 有理數a，b，c在數軸上的位置，如圖1所示，設x=|a-b|+|a-c|，y=|a-b|+|b-c|，z=|a-c|+|b-c|，則x，y，z中計算結果最小的是（）

（A）x. （B）y.

（C）z. （D）根據a，b，c.的值才能確定

解 由a，b，c在數軸中的位置可知a<0

=b+c-2a;

y=|a-b|+|b-c|=b-a+b-c

=2b-a-c;

z=|a-c|+|b-c|=c-a+b-c

=b-a;

則x-z=b+c-2a-b+a

=c-a>0，x>z;

y-z=2b-a-c-b+a

=b-c>0，y>z，

因此，結果最小的是z，選擇C項.

例2 如圖2所示，已知A，B兩點坐標分別為（3，2），（0，1），射線AB繞點A逆時針旋轉30°和x軸交于點C，則過A，B，C三點的二次函數y=ax2+bx+1中a，b的值分別為（）

（A）a=2，b=-533.（B）a=12，b=-36.

（C）a=3，b=-833. （D）a=-13，b=233.

解 設過點A、B的直線為y=kx+b，已知A、B兩點坐標分別為（3，2），（0，1），代入得到1=b，2=3k+b，解得k=33，b=1，即，y=33x+1，

令y=0解得x=-3，即，C1（-3，0）.

過點A向x軸作垂線垂足為點N，

則|C1N|=23，|AN|=2，

則tan∠AC1N=|AN|/|C1N|=33，

則∠AC1N=30°，

又由∠BAC=30°，則∠CAN=30°，

則|CN|=|AN|tan∠CAN=233，

則|OC|

=|ON|-|CN|=3-233=33，

則C點坐標為（33，0）.

將其和A點坐標分別代入解得a=2，b=-533 ，選擇A項.

例3 二次函數y=-x2+mx的圖象如圖3所示，其對稱軸為直線x=2，關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數）在1

（A）t>-5.（B）-5

（C）3

解 由二次函數y=-x2+mx的圖象的對稱軸為直線x=2可得，m2=2，則m=4，二次函數為y=-x2+4x.

將一元二次方程-x2+4x-t=0，看成y=t和y=-x2+4x圖象在1

由圖可知將x=1，x=5時，分別代入y=-x2+4x中得到y=3，y=-5，顯然要想滿足題意t的取值范圍為-5

例4 如圖5，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）和x軸交于點A（-1，0），頂點坐標為（1，n），和y軸的交點在（0，2）和（0，3）兩點之間（包含端點），則下列正確的結論有（）

①不等式ax2+c<-bx的解集為x<-1或x>3;②9a2-b2<0;③一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根分別為x1=13，x2=-1;④6≤3n-2≤10.

（A）①②③. （B）①②④.

（C）②③④ . （D）①③④.

解 點A（-1，0）由圖5可知，其對稱軸為直線x=1，則其和x軸的另一交點為（3，0），由圖可知ax2+c<-bx的解集為x<-1或x>3，①正確;

由對稱軸為直線x=1，可得x=-b2a=1，即，b=-2a，則9a2-b2=9a2-4a2=5a2>0，②錯誤;

ax2+bx+c=0中x1+x2=-ba=2，

x1x2=ca=-3，

一元二次方程cx2+bx+a=0，

轉化為cax2+bax+1=0，

即，3x2+2x-1=0，（3x-1）（x+1）=0，

其根分別為13和-1，③正確;

由b=-2a，a-b+c=0，

解得a=-13c，b=23c，

而n=4ac-b24a，即，3n-2=4c-2，2≤c≤3，

可得6≤3n-2≤10，④正確.

綜上正確地結論有①③④，選擇D項.

結語

綜上所述，數形結合是一種重要的解題思想，是初中數學日常測試以及中考的常考內容.教學實踐中應注重將數形結合融入到教學的各個環節中，使學生掌握數形結合相關理論，并結合教學進度，篩選精講典型習題，給運用數形結合解題帶來良好的啟發.